浅谈带电粒子在有界匀强磁场中的运动

甘红德

【摘要】纵观近几年的高考理综物理试题，带电粒子在有界磁场中的运动几乎年年都有，题型有选择题和计算题，更多以压轴题（计算题）的形式出现。这充分说明带电粒子在有界磁场中的运动问题是高考的重点和热点，同时也是难点，它对学生的空间想象能力、分析综合能力和应用数学知识处理物理问题的能力有较高要求。

【关键词】带电粒子；有界匀强磁场；运动；解题思路

一、带电粒子在有界匀强磁场中运动模型的构建

当带电粒子垂直进入匀强磁场时仅受洛伦兹力（粒子重力忽略不计），将做匀速圆周运动，若匀强磁场区域有边界，将是一段不完整的圆周运动。

二、带电粒子在有界匀强磁场中运动问题的解题思路

先确定圆心。一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心；②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。

再画轨迹。先用圆规准确画出粒子做匀速圆周运动的一个完整的圆周，再观察在有界磁场的这段圆弧，这样容易寻找几何关系。

然后求半徑。①用几何关系，有时需添加必要的辅助线；②利用粒子在匀强磁场做匀速圆周运动轨道半径公式求：。

最后求运动时间。设粒子在磁场中运动一周的时间为，即，粒子运动的圆弧所对应的圆心角为，其运动时间可表示为：

三、匀强磁场区域边界类型

（一）直线边界

1. 单边界（进出磁场具有对称性，如图1所示）。

图1

2. 双边界（存在临界条件，如图2所示）。

图2

（二）圆形边界

1. 沿圆形区域径向射入的带电粒子，必沿径向射出（如图3所示）。

2. 带电粒子从圆与某直径的一个交点射入磁场则从该直径与圆的另一交点射出时，磁场区域最小；带电粒子转过的圆心角最大；粒子的运动时间最长（如图4所示）。

图3 图4

四、典型例题分析

例1：（2017全国卷Ⅲ·24）如图5，空间存在方向垂直于纸面（平面）向里的磁场.在区域，磁感应强度的大小为；区域磁感应强度的大小为（常数）.一质量为、电荷量为（）的带电粒子以速度从坐标原点O沿轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿轴正向时，求（不计重力）：

（1）粒子运动的时间；

（2）粒子与O点之间的距离.

图5 图6

解析：（1）粒子在区域运动了半个圆周后，速度方向垂直y轴正向，之后进入区域再运动半个圆周，速度方向再次沿轴正向.

在区域运动时间.

区域运动时间.

所以粒子运动的时间.

（2）粒子第一次到达y轴时离O的距离点.

再次到达y轴时，.

所以粒子与O点之间的距离.

【思路点拨】解答本题应把握以下两点：

（1）熟练运用两个重要结论： .

（2）两次到达y轴的位置关系。

例2：（2010全国卷Ⅰ·26）如图7，在区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为.在时刻，一位于坐标原点的粒子源在平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内.已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场.求：

（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷；

（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.

图7

解析：由题知沿y轴正方向发射的粒子从磁场边界上点离开磁场，利用圆规可做出其轨迹图像如图8，由于粒子速度方向在0～180°范围内，其他方向的轨迹可以通过旋转第一个圆得到（O点为旋转点），如图9所示；从图中可明显发现第（2）问与第（3）问所涉及的粒子轨迹所在位置，利用几何关系便可解答此题。

图8 图9

（1）初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图10中的弧OP所示，其圆心为C.由题给条件结合几何关系可得：

①

②

此粒子飞出磁场所用的时间为 ③

又由周期公式 ④

联立③④式，得 ⑤

（2）同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离必相同.在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、为半径的弧上，如图10所示.

设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为、、。由对称性可知与OP、与OM、与ON的夹角均为.设、与y轴正向的夹角分别为M、N，由几何关系有：M= ⑥ N= ⑦

对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角应满足： ⑧

图10 图11

（3）在磁场中飞行时间最长的粒子转过圆心角必最大，其运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图11所示.由几何关系可知， ⑨，由对称性可知，，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间 ⑩

【思路拨点】解答本题应把握以下三点：

（1）所有粒子运动的轨迹半径相同；

（2）把粒子运动的各种情形画出来进行比较分析，O点为旋转点的一系列旋转圆，这样容易寻找规律；

（3）粒子在磁场中的运动时间与圆弧长度成正比，即与转过的圆心角成正比。

例3：如图12所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，S1、S1、S2分别为M、N板上的小孔，S1、S2、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且.以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场.D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为，板两端点的连线垂直M、N板。质量为、带电量为的粒子，经S1进入M、N之间的电场后，通过S2进入磁场。粒子在处的速度和粒子所受的重力均不计。当M、N之间的电压不同时，粒子从S1到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值。

图12 图13

解析：M、N之间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在极板之间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，转过的圆心角就越小，在磁场中运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短.所以当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短。

粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有

由几何关系得粒子做匀速圆周运动的轨道半径.

粒子在电场中运动时间.

在磁场中运动时间.

出磁场后匀速直线运动的时间.

因此，整个运动的最短时间.

【思路点拨】解答本题应把握以下两点：

（1）一个重要结论：带电粒子沿径向射入圆形磁场区域，则一定沿径向从磁场区域中射出。

（2）判断什么情况粒子运动时间最短，打在收集板上的哪一位置。