三重积分的应用探讨

余小飞，刘 斌

(河南工业职业技术学院，河南 南阳 473000)

三重积分的应用探讨

余小飞，刘 斌

(河南工业职业技术学院，河南 南阳 473000)

本文根据三重积分的应用，主要研究空间立体的体积、物体的质心、转动惯量等。

三重积分；体积；质心；转动惯量

1 空间立体的体积

根据三重积分的定义可知，空间区域Ω的体积为

案例1 求由曲面x2+y2+z2=2az与z2+y2≤z2所界的立体的体积．

解析将其变换为柱面坐标，有

r2+z2=2az，r2≤z2，

因而区域Ω为

于是，所围成立体的体积为

2 物体的质心

设有一物体，占有R3中闭区域Ω，在点(x,y,z)处的密度为ρ(x,y,z)，假设ρ(x,y,z)在Ω上连续，该物体对xOy平面、yOz平面、zOx平面的静矩Mxy，Myz，Mzx分别为

解析因为均匀物体的密度为常数，即ρ(x,y,z)≡c(c为常数)，因此

又由对称性，知

Myz=Mzx=0，

所以

3 转动惯量

设在R3内有一质点，其坐标为(x,y,z)，质量为m，由力学知，该质点对x轴，y轴，z轴的转动惯量为

Ix=(y2+z2)，Iy=(z2+x2)，Iz=(x2+y2)．

如果设点(x,y,z)处的密度为ρ(x,y,z)，且在闭区域Ω内连续，则根据三重积分的概念可知，

例3 设球在动点P(x,y,z)的密度与该点至球心距离成比例，求质量为M的非均匀球体x2+y2+z2≤R2对于其直径的转动惯量：

解析不失一般性，取Oz轴在球内的一段作为直径．令

x=rcosφcosθ，y=rsinφcosθ，z=rsinθ，

则其质量为

由此，得

从而，密度为

于是，所求的转动惯量为

[1]费定辉，周学圣．数学分析习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，2008：368-369．

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].第三版下册.北京:高等教育出版社，2006：247-251.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社，2004：709 -718.

(编辑 赵欣宇)

Discussion on the Application of Three Integral

YU Xiaofei, LIU Bin

(Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473000, China)

In this paper, based on the application of three integral, the volume of space, the center of mass and the rotational inertia are mainly studied.

three integral; volume; center; rotational inertia

2017-03-10

余小飞(1986-)，男，理学硕士，讲师。主要研究方向：基础数学。

G712

A

1672-0601(2017)06-0119-02