基于三视图形成与投影规律下的教学探讨

戴杏冰

摘要：三视图是《高中數学新课程标准》增加的内容之一，也是近几年高考的高频考点，考查方式是给出简单组合体的三视图，让考生还原出几何体形状，并计算其表面积、体积或棱长。在学习三视图时，很多学生缺乏对成像本质的认识，难以从三视图联象到立体模型。本文从三视图投影规律教学和还原成几何体的方法出发，帮助学生建立空间观念，让学生在解决三视图问题上做到有迹可循，从而培养学生的空间想象能力和逻辑思维。

关键词：三视图 投影规律

三视图是近几年的高考热点，主要考查学生由三视图还原几何体的能力，考试难度适中。但是，学生的得分率并不理想。笔者从三视图投影规律的教学和三视图还原成几何体的方法人手，帮助学生解决了三视图问题，构建了空间想象力，提高了学生的空间想象能力和逻辑思维介绍。

一、深入原理，分析透彻

1.“投影”教学不可忽视

在介绍三视图之前，教材先呈现了投影的概念。由于课时紧张，部分教师会选择一带而过，但是投影的概念是学习三视图、三视图还原成空间几何体的基础。如图1所示，物体在垂直于投影面的一束平行光照射下，在地面或墙壁上投下影子，使得影子与物体的形状有一定联系，我们把这种联系进行抽象和优化，得到了物体的正投影。观察图1可知，投影面的图形与实物并不一样，“所见非所实”。在教学中，笔者拿着一支粉笔，面对学生从横方向旋转至竖方向，让学生观察粉笔所成的像：由一条线段逐渐退化成为一个点，让学生体会到像与物之间的关系。这部分知识会直接影响学生学习由三视图求几何体体积、表面积。

2.“三视图投影规律”教学过程必不可少

在教学过程中，教师会把作图原理编成口诀“长对正、高平齐、宽相等。”学生理解口诀并不困难，但要求学生做出较复杂几何体的三视图，或由三视图求几何体的表面积和体积就不那么容易了。究其原因，是学生对三视图成像原理理解不透彻造成的。三视图主要是体现几何体在空间中三个维度的相对位置，如由正视图和侧视图得到几何体的相对高度，但对于几何体的侧面是什么图形，不能从正视图和侧视图直接得到。

例2.（2014年·湖北省高考理科）如图3所示，空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体顶点坐标是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）。给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

分析：解答本题的难点一是根据四面体顶点坐标在坐标系做出四面体直观图，利用斜二测画法体现空间立体感；难点二是由直观图过渡到三视图，利用好“投影幕”，看出点、线、面在投影幕对应位置所成像，由点生线，由线生面。

掌握三视图投影规律，为三视图还原为几何体打下了坚实的基础。如图4所示，由直观图得出，故答案为选项D。

二、运用规律，巧妙还原

1.熟练运用简单几何体的三视图

复杂的几何体是由简单几何体组合而成，复杂三视图能分拆出简单的几何体，而简单几何体构造特征可通过制作简单模型得出。在制作中逐步建立常见几何体的直观认知，可总结一些常见模型，如正（长）方体基本构造型，棱锥（柱）基本构造型，以及各种常见柱、锥、台体的组合体。掌握基本空间图形和几何体的差别和关联，能加深学生对模型的形象认识，提升学生在解题时对三视图、直观图的想象能力。此外，教师还可以建议学生多观察粉笔盒，摆动和旋转粉笔盒，同时思考其三视图，体会“一物多变”。

2.划分框线法解决叠加式组合体

顾名思义，划分框线法就是要划分图形、画框线，即先在三视图中找出形状特征比较明显的视图，按框线将其几何体划分成几部分，结合简单几何体的三视图或三视图作图原理，想象出它们的形状，最后根据整体三视图确定位置，形成一个整体。

例3.（2013年·新课标Ⅰ高考理科）某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为（ ）

A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

解：①划分线框。从侧视图人手，将其几何体按线框划分为两部分，如图6所示；②对投影，想形状。从侧视图开始，分别在正视图、俯视图上的对应投影找出线框1和线框2，从而想象出每组投影所表示的几何体分别为长方体和半圆柱，如图7、图8所示；③合起来，拼整体。在找出每个部分的几何体的基础上，根据三视图研究它们的相对位置，进而拼凑成一个整体的几何体，如图9所示，并计算出该几何体的体积为16+8π，故答案为选项A。

3.为简单三视图为载体，还原复杂几何体

近几年的高考题中，越来越注意考查学生三视图还原原几何体的能力，除了常见的叠加式组合体之外，还出现了切割形组合体或“不规则放置”的几何体。根据“棱角分明”的三视图，学生可以判断该几何体是以正方体（或长方体）为载体。在此基础上还原几何体，对空间想象能力较弱的学生还是存在困难，教师可引导学生运用排除法解决问题。

例4.某几何体的三视图，如图10所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）。

A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.2/3

分析：

第一步，根据其三视图可以判断几何体以正方体为载体。由等腰直角三角形的正视图得出，几何体的顶点不可能在正方体的左下方，所以在正方体左下方的顶点打叉。

第二步，在第一步的基础上，由左视图判断正方体哪些顶点需排除，注意左视图的等腰直角三角形左上角对应的是几何体的后方，这里假设了一个投影面在物体的右方就更加直观了。此时，可排除正方体后下方两个顶点，断定正方体的右前方顶点为几何体的顶点。

第三步，由俯视图得几何体在底面的投影有正方形的四个顶点，根据第一、二步排除剩下的顶点可以进一步正方体上表面正方形的三个顶点。

第四步：正方体还有一个顶点是否在几何体中还没确定，根据俯视图的对角线判断是不存在的，将确定的顶点连线，可还原原几何体为三棱锥，计算该几何体的体积为1/6，故答案为选项A。

无论在教学中注意的问题，还是提到的具体方法，对于三视图而言，更多的是考查学生的空间想象力，学生通过平时练习中的三视图，不断培养三维立体感和空间想象力，才能在考场上得心应手。