高中数学教学中运用化归思想的案例分析

覃静

【摘 要】本文阐明化归思想的重要性、原则（简化原则、转熟原则、直观原则）以及方法（配方法、分解法、换元法），通过相关的案例进行具体的阐述。

【关键词】高中数学 教学方式 化归思想 案例分析

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）05B-0152-03

作为数学教学的基本思想之一，化归思想指的是当遇到复杂的数学问题时，通过采用转化以及变化的方法，将复杂的问题简单化，从而解决相关问题。化归思想的本质就是将新知识通过转化的方式转变为已知的知识。

基于此，高中数学教师在实际的教学过程中需要加强对这一教学方法的应用，继而以此为基础，培养学生学会将未知转化为己知，将复杂转化为简单，将新知识转化为旧知识的能力。相关的教学实践显示，高中生如果掌握化归思想，那么就能够更快地提升其解题能力。

一、化归思想的其中三个原则

（一）简化原则

简化原则，是指在进行数学问题解答的过程中，通过将复杂的问题转化为简答的问题，以促进解题效率的提高。关于简化原则的案例，笔者总结如下。

以人教版高中数学必修 1 中的“函数值域”一课的教学为例。在进行函数值域的解答过程中，由于函数概念过于抽象，故而在实际的解题过程中难度较大。基于此，就要根据简化原则，借助几何图形的概念进行解答。

通过对题目的分析可以得知：点（2cos x，4sin x）在轨迹方程的椭圆上，故而在进行值域求解的过程中，将其转化为椭圆上的点与点（4，-1）连线的斜率。基于此，学生可以借助几何图象进行相关的解答，并最终确定值域的范围为。

〖解〗依题知，点（2cos x，4sin x）在轨迹方程的椭圆上。

因 sin x2+cos x2=1，所以题中所求值域就是椭圆上的点和点（4，-1）连线的斜率。

设切线方程为 y+1=k（x-4），将其与椭圆联立，得判别式为 0，即

4x2+[k（x-4）-1]2=16

（4+k2）x2-（8k2+2k）x+16k2+8k-15=0

[-（8k2+2k）]2-4（4+k2）（16k2+8k-15）=0

12k2+8k-15=0

（2k+3）（6k-5）=0

或

故取值范围为

（二）转熟原则

所谓的转熟原则指的是在进行高中数学学习的过程中，将陌生的知识转换为熟悉且已经掌握的知识，从而以此为基础帮助解答题目。事实上，数学题目尽管类型较多，但是其解题方式以及思路都存在着相似性，故而为题型之间的转换提供便利。总体而言，借助转熟原则进行相关作业的过程中，确保学生在遇到陌生的题目时能够快速地解决问题，促进学习效率的提高。

以高中函数教学为例，学生在解答“求解 x”一题的过程中，虽然三次方的方程式对于大部分学生而言存在解答的难度，基于此，为解题的便利性，需要学生加强对转熟原则的运用，将 x 设定为己知量，将 a 设置为，从而将原式转换为求解 a 的二次方程“x3+（1+a）x2-a2=0”，继而实现对 x 值的求解。转换完成的方程式可以进一步化简为（x-a）3=0，即得 x 的值为。

（三）直观原则

在利用直观原则进行化归思想教学的过程中，需要教师在实际的操作过程中加强对学生进行数形结合能力的培养，并以此为基础，确保学生在实际的学习过程中能够将抽象的数学问题转变为直观的图形问题，继而促进相关问题的有序解决。

以高二理科教材选修 2 中定积分的一个例题为例，计算下列定积分：

〖分析〗这个例题被积函数都是一样的，可是积分的上限、下限不一样，通过计算结果发现，可以利用梯形的面积来表示这几个导数的结论。

（1）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值且等于曲边梯形的面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值且等于曲边梯形的面积的相反数；

（3）当位于 x 軸上方的曲边梯形的面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0。

通过这个例题使学生了解定积分的值不一定等于曲边梯形的面积，但要注意条件，画正弦函数的图象来分析就是直观原则。

二、化归方法以及案例分析

（一）配方法

在高中数学解题的过程中，作为常用的解题方法就是配方法。相关的实践显示：配方法的运用能够进一步实现对于复杂问题的解答，继而以此促进学生学习效率的提升。

诸如在进行题目“已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，求长方体对角线长度”解答的过程中，需要将几何题目转换为数学表达式，设长方体长宽高分别为 x，y，z，则，以此来求对角线长 。在实际的求解过程中，需要借助配方法进行具体的解答。

设长方体长宽高分别为 x，y，z，由已知“长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24”得

，

由此求得对角线长度

。

（二）分解法

此外，在借助化归思想进行高中数学学习以及解题的过程中，除了需要加强对配方法的运用之外，还需要进一步对分解法的使用。所谓的分解法指的是将题目中所出现的方程式（图形）进行分解，将复杂的问题转变为几个简单的部分，从而促进相关问题得到高效解决，促进学习效率的提高。例如，在进行函数解答的过程中，学生往往需要通过化简复杂的多项式继而将之转变为合理的几个组，然后以此为基础进行解答。

如例题，已知函数 ，其图象在 x=2 处的切线方程为 3x+2y-11=0。

（1）若函数 f（x）解析式；

（2）若函数 y=f（x）的图象与的图象有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围。

（三）换元法

在借助化归思想进行高中数学教学的过程中，还需要教师加强对换元法的运用，从而以此为基础将形式较复杂的方程、不等式、函数转换为简单且操作便捷的基本问题。这种方法又被称之为“局部换元法”。其思想内涵指的是将未知的式子看作一个整体，用一个变量去替代，最终由此促进题目得到有效解答，促进教学任务的有效开展。

比如在解答“若 ，则 tanα 的值为多少？”一题的过程中，需要学生将 x 和 y 分别取代 cosα 和sinα，将上述的方式转换为 。再依据三角函数性质 ，推算出 x2+y2=1。然后将上述的方程进行联立从而求出二元二次方程的解，最终解答出 tanα=2。该题目的解题过程如下。

随着新课标改革的不断推进以及教学事业的发展，我国的高中数学课程在教学方式以及教学理念方面出现了不同程度的变革。在这样的背景之下，为了进一步促进高中数学教学活动的有效开展，需要教学者在实际的教学过程中加强对化归思想的运用，继而促进教学效果的提升，推动教学任务的完成。本文基于此，探讨了化归思想及其重要性、化归思想的原则（简化原则、转熟原则、直观原则）以及化归思想的方法（配方法、分解法、换元法），并通过相关的案例进行具体的解答，希望能以此培养学生的数学能力，促进学生进步。

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（责编 卢建龙）