一种有限频域内的有界实引理

张洪波，李飞，路晶晶

（1.海军航空工程应用所，北京100071；2.海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001；3.海军七〇四工厂，山东青岛266109）

一种有限频域内的有界实引理

张洪波1，李飞2，路晶晶3

（1.海军航空工程应用所，北京100071；2.海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001；3.海军七〇四工厂，山东青岛266109）

针对传统有限频域内有界实引理在设计时可能带来的保守性问题，对其进行了改进；引入松弛变量，推导出一类保守性较小的有限频域内的有界实引理。首先，直接给出新的有界实定理；然后，通过引进投影引理证明了新的定理。新的有界实引理不仅考虑了系统频率特性，而且在引入松弛变量后，使得多约束设计能够具有更小的保守性。

有限频；有界实引理；松弛变量

作为鲁棒控制中的重要引理，有界实引理对于解决H∞控制问题提供了简单的线性矩阵不等式形式，方便了研究者直接使用。自从文献[1]针对连续线性系统提出了著名的有界实引理后，经过近十几年的发展，该引理得到了广泛的应用和改进[2-5]。但是传统的有界实引理以及很多改进方法只能在全频域内处理，而干扰往往属于某些特定的频范围，因而当前的有界实引理具有很大的保守性。

近十年来，有限频设计得到了越来越多学者的重视，也已被证实能改善系统性能。Iwasaki和Hara提出了扩展KYP（GKYP）引理[6]，并给出了有限频鲁棒设计的不等式，奠定了有限频设计的基础；文献[7]将传统H∞范数的概念推广到有限频段，提出窗口H∞范数的概念，该概念具有重要的意义，并得到了一定的发展；有限频设计在很多控制问题中得到了应用，例如主动悬架的控制[8]、故障检测[9-11]和故障估计[12]等。

尽管部分学者已经进行了有限频鲁棒控制的研究，但是在实际设计控制器或观测器时，往往需要考虑多种约束条件，形成多个LMI，在Lyapunov矩阵设计上，传统做法是让各个LMI的Lyapunov矩阵相同，这势必会带来设计上的保守性，甚至可能导致无解。文献[13-14]在处理多约束条件时，引入松弛变量，每个LMI仍然保留了独立的Lyapunov矩阵，降低了设计的保守性。本文将松弛变量的设计思想引入有限频的界实引理中，为有限频域内的控制器或观测器设计提供保守性较小的定理。

1 主要结论

定义1[7]：定义性能指标如下：

下面直接给出本文的主要结论：有限频域内的有界实引理，见定理1。

定理1：对于连续系统：

假设det(jωI-A)≠0(∀ω∈W)，则以下2个条件等价：

2）存在对称正定矩阵P、Q、S和尺度因子ε，使得以下不等式成立。

对于低频范围W：|ω|≤ωl，存在

对于中频范围W：ωl≤|ω|≤ωh，存在

对于高频范围W：|ω|≥ωh，存在

在实际进行鲁棒设计时，往往会存在多个约束不等式，且每个不等式都会存在不同的Lyapunov矩阵，为了求解方便，传统做法是所有Lyapunov矩阵相同，然而这却增加了算法的保守性[15]，并可能导致多约束设计问题无解。

文献[13-14]使用松弛变量，每个约束不等式仍然保留了独立的Lyapunov矩阵，降低了设计的保守性。因此，本文主要结论也引入了松弛变量。

2 主要结论证明

为证明定理1，引进投影引理并推导出定理3。

引理2[16]：（投影引理）给定矩阵Σ=ΣT，Λ、Υ存在矩阵Θ满足Σ+ΛTΘTΥ+ΥTΘΛ＜0，当且仅当以下其中一式成立：

Υ⊥、Λ⊥分别代表Υ、Λ的右零空间矩阵。

定理3：考虑系统（3），如果存在对称正定矩阵P和Q，使得式（7）～（9）满足，则系统（3）在相应的频段内满足窗口H∞性能：

对于低频范围W：|ω|≤ωl，

对于中频范围W：ωl≤|ω|≤ωh，

对于高频范围W：|ω|≥ωh，

证明：首先证明低频范围情形。

根据GKYP引理[7，17]可知，在低频范围W： |ω|≤ωl内，的充要条件是：

式（11）两边除以γ，令则变为：

根据schur补引理可得式（12）和式（7）等价。

相似地可证明中频和高频情形的正确性。证毕。

在推导出定理3之后，下面对引入松弛变量S的定理1进行证明。

证明：若要定理1成立，只要证明式（4）和式（7）、式（5）和式（8）以及式（6）和式（9）之间的等价性即可。首先证明式（4）和式（7）之间的等价性。

根据schur补引理，式（4）等价于：

式（13）可以表示为引理2中的

那么，根据引理2的式（1）、（4）等价于

即

根据schur补引理，式（15）等价于式（7），因此式（7）和式（4）等价。相似地，可证明式（5）和式（8）以及式（6）和式（9）之间的等价性。证毕。

3 结论

针对有限频域内的有界实引理在设计控制器或观测器时带来的保守性问题，本文引入松弛变量，提出一类有限频有界实定理，能够降低设计时的保守性，该引理为控制问题中的有限频鲁棒设计提供了简单可直接使用的线性矩阵不等式。

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A Bounded Real Lemma in Finite Frequency

ZHANG Hongbo1,LI Fei2,LU Jingjing3
（1.Naval Aeronautical Engineering Application Institute,Beijing 100071,China;2.Department of Control Engineering, NAAU,Yantai Shandong 264001,China;3.Naval 704thFactory,Qingdao Shandong 266109,China）

In order to overcome the design conservation,the traditional bounded real lemma(BRL)in finite frequency was improved,and the new lemma was deduced.Firstly,the new BRL was given directly.Secondly,the new theorem was proved through the projection lemma.The new BRL not only considered the system frequency characteristic,but intro⁃duced the slack variabl which could reduce the conservatism in multi-constraints design.

finite frequency;bounded real lemma;slack variable

TP273

A

1673-1522（2017）02-0227-03

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.02.009

2016-09-01；

2016-11-12

国家自然科学基金资助项目（61473306）

张洪波（1967-），女，高工，大学。