基于Backstepping的多输入极值搜索系统控制器设计

陈勇，张雷，梁涛，于开民

（1.海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001；2.91880部队，山东胶州266300；3.91899部队，辽宁葫芦岛125001）

基于Backstepping的多输入极值搜索系统控制器设计

陈勇1，张雷1，梁涛2，于开民3

（1.海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001；2.91880部队，山东胶州266300；3.91899部队，辽宁葫芦岛125001）

针对一类含未知参数的多输入极值搜索系统的控制器设计问题，设计出极值搜索系统的状态量极值参考轨迹，利用Backstepping方法进行控制器设计，给出未知参数估计律，以实现对目标函数的极值搜索过程。数字仿真验证了所提出的基于Backstepping的控制器设计方法的有效性。

多输入；极值搜索系统；极值参考轨迹；Backstepping控制；未知参数

1954年，Tsien教授明确定义了极值搜索方法，并将极值搜索方法视为是面向实时系统的自适应寻优控制方法的一种[1]。目前，极值搜索方法的研究领域已经向多变量极值搜索系统、随机极值搜索系统和纯反馈系统发展[2]，并已成功地应用于极限环运动控制系统[3-4]、生化反应控制系统[5-6]等多种工程系统中。形成了诸如基于正弦激励信号的极值搜索方法[7]、滑模极值搜索方法[8]、简单半全局极值搜索方法[9]、神经网络极值搜索方法[10]、多单元极值搜索方法[11]等重要方法，已有的方法中采用Backstepping方法进行极值搜索控制器设计的文献尚不多见[12]。利用Backstepping控制方法进行系统控制器设计能够较好地处理参数未知的情况[13]，文献[14-15]针对具有参数不确定性的严格反馈非线性系统，将自适应技术与Backstepping控制方法相结合进行控制器设计。文献[16]针对极值搜索系统进行极值参考轨迹设计，并利用逆最优控制方法进行控制器设计。文献[17]针对一类目标函数含未知参数的极值搜索系统，设计了参数收敛自适应控制器。文献[18]针对一类多变量参数不确定极值搜索系统，设计了状态量极值参考轨迹，利用反演控制方法设计控制器，并给出了未知参数自适应估计律。文献[19]针对单输入极值搜索系统利用Backstepping方法进行控制器设计。文献[20]针对一类多输入多输出仿射型非线性极值搜索系统的控制问题，提出了一种输出反馈滑模控制方法。

本文在文献[18-19]的基础上针对一类含未知参数的多输入极值搜索系统的控制问题，设计出能使目标函数达到极值处的状态极值参考轨迹，基于Backstepping方法逐步递推选取适当的Lyapunov函数进行控制器设计，并给出未知参数自适应估计律，使目标函数搜索到对应的极值。

1 问题描述

考虑如下多输入极值搜索系统：

式（1）中：x=[x1,x2,…,xn+m]T∈ℝn+m为系统状态向量；u=[u1,u2,…,um+1]T∈ℝm+1为系统控制输入向量；y∈ℝ为系统输出；θ=[θ1,θ2,…,θn+m]T∈ℝn+m为常值有界未知参数向量；y=J(x1,xp,θ)为含未知参数的目标函数；为由x1到xi构成的状态向量；xi(i∈[1,2,…,n])是可测的；为由xn+1到xn+m构成的状态向量；gi(∙)和ϕi(∙) (i∈[1,2,…,n+m])为连续有界光滑函数，定义

控制目标：基于Backstepping方法进行控制器设计，使得系统（1）中的目标函数J(x1,xp,θ)搜索到极值处，闭环系统中的所有信号有界。

假设1：目标函数J(x1,xp,θ)存在唯一极值点，当目标处于极值处时其对应的系统状态量满足

2 极值参考轨迹设计

根据文献[18]设计关于状态量Xp的极值参考轨迹。考虑目标函数J(x1,xp,θ)存在唯一的极值点，当状态x1和xp分别沿着各自的极值参考轨迹x1,d和达到时目标函数达到目标函数的唯一极值处。定义，选取Lyapunov函数

由式（4）可得x1和xp应满足

对式（5）求解可得x1的极值参考轨迹为：

将式（5）代入式（6）可得xp的极值参考轨迹为：

将式（6）、（7）代入式（4）可得：

由式（3）可得VJ≥0成立且仅在时存在。由式（4）可得当极值参考轨迹x1,d和xp,d分别如式（6）、（7）所示时可得。当Xp沿着极值参考轨迹Xp,d向着使的方向趋近时，最终可达到状态处，此时目标函数取得极值。

假设2：存在常数J0＞0使得|X1|＞J0成立，极值参考轨迹向量中的元素及其高阶导数都是有界光滑的。

3 基于Backstepping的控制器设计及稳定性分析

利用Backstepping方法进行控制器设计，未知参数向量θ的估计误差为：

利用自适应方法对未知参数进行估计。

整体设计过程如下。

第1步：考虑系统（1）中的第1个子系统，定义状态量x1跟踪极值参考轨迹x1,d误差为z1=x1-x1,d，构造Lyapunov函数求导可得

针对式（9）设计x2的虚拟轨迹：

式中，k1＞0为设计参数。

由定义z1=x1-x1,d和式（9）、（10）可得：

式中，定义z2=x2-x2,d，当x2能够准确跟踪x2,d时，即z2趋近于0。

第i步：考虑系统（1）中的第i(i∈[2,3,…,n-1])个子系统，

定义状态量xi+1跟踪虚拟轨迹xi+1,d误差为zi+1=xi+1-xi+1,d，构造Lyapunov函数求导可得：

参考式（13）设计xi+1的虚拟轨迹：

式中，ki＞0为设计参数。

由定义zi+1=xi+1-xi+1,d和式（13）、式（14）可得：

式中，当xi+1能够准确跟踪xi+1,d时，即zi+1趋近于0。

第n步：考虑系统（1）的第n个子系统

参考式（17）设计控制输入u1为：

式中，kn＞0为设计参数。

第n+1步：考虑系统（1）的第n+1个子系统

依据式（20）设计控制输入u2为：

式中，kn+1＞0为设计参数。

以此类推，第n+2步至第n+m-1步参考第n+1步进行控制输入设计。

第n+m步：考虑系统（1）中的第n+m个子系统

为消除未知参数θ的影响，引入未知参数与其估计值的误差项其中，W=diag{w1,w2,…,wn+m}，其中wi＞0，(i∈[1,2,…,n+m])。针对式（22）构造Lyapunov函数，定义zn+m=xn+m-xn+m,d，对Vn+m求导，代入式（20）～（22）可得：

参考式（23）设计实际控制量和参数估计律分别为：

其中，kn+m＞0为设计参数。

将式（24）、（25）代入式（23）可得：

式中，k=min{2k1,2k2,…,2kn+m}。

对式（26）两边沿(0,t)进行积分可得

定理1：考虑如（1）所描述的一类严格反馈型多输入极值搜索系统，在假设1、2成立的前提下，采用极值参考轨迹如式（6）、（7）所示，虚拟轨迹如式（14）所示，虚拟控制量设计如式（15）所示，实际控制输入量如式（18）、（24）所示，自适应估计律如式（25）所示，以下结论成立：①系统（1）的目标函数J(x1,xp,θ)搜索到对应的函数极值；②系统（1）中的所有信号有界。

4 仿真分析

针对如下数学模型进行仿真分析：

式（28）中：θ1=1为未知参数；x1=1，x3=2时目标函数具有全局极大值

状态量x1,x3的极值参考轨迹x1,d,x3,d为：

系统的状态变量初始值分别为x1(0)=0.5，x2(0)=0，x3(0)=1，未知参数估计值的初始值为，极值参考轨迹初始值分别为x1,d(0)=0，x3,d(0)=0。选取控制器参数w1=1，kd=k1,d=k3,d=1，k1=k2=k3=1。仿真结果见图1～6。

5 结论

本文针对一类含未知参数的多输入极值搜索系统的控制问题，设计出能使目标函数达到极值处的状态量极值参考轨迹，基于Backstepping方法逐步递推选取适当的Lyapunov函数进行控制器设计，并设计未知参数自适应估计律，使系统实现目标函数搜索到对应的极值，仿真验证了本文的方法是可行有效的。

[1]TSIEN H S.Engineering cybernetics[M].New York：Mc-Graw-Hill Book Company，1954：1-5.

[2]左斌，李静，胡云安.极值搜索算法研究及其应用[M].北京：国防工业出版社，2014：1-2. ZUO BIN，LI JING，HU YUNAN.Research on extremum seeking algorithm and its application[M].Beijing：National Defense Industry Press，2014：1-2.（in Chinese）

[3]KRSTIC M，BANASZUK A.Multivariable adaptive control of instabilities arising in jet engines[J].Control Engineering Practice，2006，14（7）：833-842.

[4]PETERSON K S，ANNA A G，STEFANOPOULOU G. Extremum seeking control for soft landing of an electromechanical valve actuator[J].Automatica，2004，40（6）：1063-1069.

[5]BASTIN G，NESIC D，TAN Y，et al.On automatic seeking of optimal steady-states in biochemical processes[C]// Proceedings of the 7thIFAC Symposium on Nonlinear Control Systems.Pretoria，SouthAfrica：IFAC，2007：814-819.

[6]DEWASME L，VANDE W A.Adaptive extremum-seeking control applied to productivity optimization in yeast fed-batch cultures[C]//Proceedings of the 17thWorld Congress and the International Federation of Automatic Control.Seoul，Korea：IFAC，2008：9713-9718.

[7]KRSTIC M，WANG H H.Stability of extremum seeking feedback for general nonlinear dynamic systems[J].Automatica，2000，36（4）：595-601.

[8]DRAKUNOV S，OZGUNER U，DIX P，et al.ABS control using optimum search via sliding mode[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology，1995，3（1）：79-85.

[9]TAN Y，NESIC D，MAREELS I.On stability properties of a simple extremum seeking scheme[C]//Proceedings of the 45thIEEE Conference on Decision&Control.San Diego：IEEE，2006：2807-2812.

[10]胡云安，左斌，李静.退火递归神经网络极值搜索算法及其在无人机紧密编队飞行控制中的应用[J].控制理论与应用，2008，25（5）：879-882. HU YUNAN，ZUO BIN，LI JING.An annealing recurrent neural network for extremum seeking algorithm and its application to unmanned aerial vehicle tight formation flight[J].Control Theory＆Applications，2008，25（5）：879-882.（in Chinese）

[11]SRINIVASAN B.Real-time optimization of dynamic systems using multiple units[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control，2007（17）：1183-1193.

[12]TAN Y，MOASE W H，MANZIE C，et al.Extremum seeking from 1922 to 2010[C]//Proceedings of the 29thChinese Control Conference.Beijing，2010：959-970.

[13]SETO D，ANNASWAMY A M，BAILLIEUL J.Adaptive control of nonlinear systems with a triangular structure [J].IEEE Transactions on Automatic Control，1994，39（7）：1411-1428.

[14]YAO B，TOMIZUKA M.Adaptive robust control of MIMO nonlinear systems in semi-strict feedback forms[J]. Automatica，2001，37（9）：1305-1321.

[15]YAO B，TOMIZUKA M.Adaptive robust control of SISO nonlinear systems in a semi-strict feedback form[J].Automatica，1997，33（5）：893-900.

[16]GUAY M，ZHANG T.Adaptive extremum seeking control of nonlinear dynamic systems with parametric uncertainties[J].Automatica，2003，39（7）：1283-1293.

[17]ADETOLA V，GUAY M.Parameter convergence in adaptive extremum-seeking control[J].Automatica，2007，43（1）：105-110.

[18]SHAKIBA YAGHOUBI，MARYAM DEHGHANI.Adaptive extremum seeking control of a nonlinear system using backstepping technique[C]//The 23rdIranian Conference on Electrical Engineering.Iranian：IEEE，2015：960-965.

[19]张雷，胡云安，张杨，等.基于Backstepping的严格反馈极值搜索系统控制器设计[J].海军航空工程学院学报，2016，31（4）：401-406. ZHANG LEI，HU YUNAN，ZHANG YANG，et al.Control design for strict-feedback extremum seeking systems based on Backstepping[J].Journal of Naval Aeronautical and Astronautical University，2016，31（4）：401-406.（in Chinese）

[20]左斌，张雷，李静.MIMO仿射型极值搜索系统的输出反馈滑模控制[J].北京航空航天学报，2016，42（4）：718-727. ZUO BIN，ZHANG LEI，LI JING.Output-feedback sliding mode control for MIMO affine extremum seeking systems[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2016，42（4）：718-727.（in Chinese）

Controller Design for Multi-Input Extremum Seeking Systems Based on Backstepping

CHEN Yong1,ZHANG Lei1,LIANG Tao2,YU Kaimin3
（1.Department of Control Engineering,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.The 91880thUnit of PLA,Jiaozhou Shandong 266300,China; 3.The 91899thUnit of PLA,Huludao Liaoning 125001,China）

For solving control problems of strict-feedback multi-input extremum seeking system with unknown parame⁃ters,firstly,the extremum reference trajectory of extremum seeking system was designed.Secondly,controller was de⁃signed by Backstepping control method.At last,adaptive estimation law of unknown parameters was given.Objective func⁃tion extremum seeking was realized.Simulation result showed that the proposed design method based on Backstepping con⁃trol was effectiveness.

multi-input;extremum seeking system;extremum reference trajectory;Backstepping control;unknown param⁃eters

TP273+.23

A

1673-1522（2017）02-0215-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.02.007

2017-02-22；

2017-03-13

国家自然科学基金资助项目（60674090）

陈勇（1978-），男，讲师，硕士。