对称六相PMSM与三相PMSM串联系统的数学建模

刘陵顺，王锐，闫红广，李永恒

（1.海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001；2.海军政治工作部办公室，北京100841）

对称六相PMSM与三相PMSM串联系统的数学建模

刘陵顺1，王锐2，闫红广1，李永恒1

（1.海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001；2.海军政治工作部办公室，北京100841）

针对表贴型转子结构的对称六相PMSM与三相PMSM串联系统，建立了自然坐标系下的数学模型，并利用解耦变换矩阵将电压矢量方程变换到3个相互正交的αβ-xy-o1o2子空间中去，分别进行了同步旋转变换，推导出两相同步旋转坐标系下的数学模型；最后，利用id=0的矢量控制策略进行了变速解耦运行的仿真验证。

对称六相PMSM；三相PMSM；串联系统；数学模型

在舰船、飞机、机车牵引等领域对动力系统电气化要求越来越高的背景下，多电机调速系统成为重要的研究内容，同一逆变器（VSI）驱动多电机独立控制的模式由于经济性强、节省空间、可靠性高成为当前研究的热点问题[1-3]。近年来提出的单逆变器驱动对称六相PMSM串联三相PMSM系统是一种新型的多电机系统[4-5]。目前，国外对于多电机串联系统的研究还处于理论探索为主，而且大多是以多相感应电机的串联作为研究对象，而对多相永磁同步电机（PMSM）串联系统的研究还较少[6-8]。文献[6-7]的研究结果表明夹角为60°电角度的对称六相感应电机，必须串联三相电机才能实现二者的独立运行，文献[8]证明国内该系统中对称六相PMSM的运行对三相PMSM没有影响，而三相PMSM的每相电流有一半流经六相PMSM中的各相中去。文献[9]研究了一台单逆变器驱动对称六相感应电机和一台三相永磁同步电机的串联系统，证明了这种串联系统与电机的类型无关。文献[10]对这种新型系统的国内外研究现状进行了综述，明确了需要进一步研究的内容。文献[11]研究了夹角为0的2种不同结构的新型六相PMSM电机串联系统。

这种串联系统解耦运行的理论基础是磁动势（MMF）必须为正弦波分布。为此，文献[12-15]分别研究了非正弦MMF的多电机串联系统中谐波对解耦运行的影响规律，提出了几种不同的谐波补偿解耦控制策略。

本文针对表贴型转子结构的对称六相PMSM与三相PMSM串联系统，首先建立起自然坐标系下的数学模型，为实现解耦控制的仿真模型需要，进一步对该模型进行了解耦变换和同步旋转变换，分别推导出两相静止坐标系下和两相同步旋转坐标系下的数学模型，为后续的分析和设计奠定基础，最后进行了相关的仿真验证。

1 串联系统的数学建模

单逆变器驱动对称六相PMSM和三相PMSM串联系统联接关系如图1所示[3-4]。

1.1 自然坐标系下的数学模型

1）磁链关系。设转子磁钢形成的励磁磁场为正弦波，Ns1、Ns2、ϕfm1、ϕfm2、θr1、θr2分别表示对称六相PMSM和三相PMSM的定子绕组匝数、转子磁钢主磁通、转子磁场与定子绕组A相轴线之间的电角度，Lsm1、Lsσ1、Lsm2、Lsσ2分别表示对称六相和三相PMSM每相绕组的主电感和漏感，则有：

式（1）、（2）中：θ1=60°；θ2=120°。

如果设六相VSI输出电流表达式为：

则六相PMSM定子绕组总磁链表示为：

这里，

为了匹配VSI的六相输出电压，对式（2）适当扩展为：

式（5）中：E2为三阶单位矩阵；M2为三相PMSM的互感矩阵，且

三相PMSM定子绕组总磁链表示为：

分别设六阶阵Rs1=diag(rs1)，三阶阵Rs2=diag(rs2)，并对Rs2进行扩展：

2）电压矢量方程。对称六相PMSM和三相PMSM的电压方程表达式分别表示为：

按照图1的串联连接关系，串联系统VSI的输出电压表达式：

3）转矩及运动方程。设p1表示对称六相PMSM的极对数、p2表示三相PMSM的极对数，它们的磁能表达式为[5]：

推导转矩表达式为：

假设对称六相PMSM和三相PMSM的摩擦系数分别表示为F1和F2，负载分别表示为Tl1和Tl2，转速分别表示为ωr1和ωr2，转动惯量分别表示为J1和J2。那么它们的运动方程式分别为：

综上所述，电机串联系统中对称六相PMSM和三相PMSM的数学模型不可避免地存在耦合关系，要达到解耦控制的目标，需要进行坐标变换。

1.2 两相静止坐标系下的模型

根据实变换基本理论，采用文献[3]提供的空间矢量变换矩阵Τ将自然坐标系下逆变器输出电压变换到3个相互正交的αβ-xy-o1o2子空间。

αβ子空间的电压方程为：

xy子空间内的电压方程：

在o1o2子空间的电压方程为：

从上述方程可以看出，对称六相PMSM的θr1、ωr1等运动物理量表现在αβ子空间的方程式内，三相PMSM的θr2、ωr2等运动物理量表现在xy子空间的方程式内，o1o2子空间方程式不存在任何表征机械运动的变量。因而实现了在αβ子空间对对称六相PMSM的控制，在xy子空间对三相PMSM的控制，并通过（21）方程设法降低o1o2子空间的电流，从而减小能耗。

经推导可以得出对称六相PMSM和三相PMSM的转矩方程分别为：

从转矩方程中可以看出，αβ子空间内的iα、iβ控制对称六相PMSM的转矩Te1，xy子空间内的ix、iy控制三相PMSM的转矩Te2。通过坐标变换的方法，实现了串联系统中2台串联PMSM的电压方程、电磁力矩方程在2个相互正交子空间内的独立运行。从电压方程和电磁力矩方程的结构上看，其组成项中依然存在θr1、θr2等表征转子位置角的参数，需进一步变换，变换到同步旋转坐标系下，去除这些参数的影响。

1.3 同步旋转坐标系下的模型

根据两相静止坐标于同步旋转坐标之间的变换关系，不难推出该串联系统在同步旋转坐标系下的数学模型。

对于六相PMSM，令：

则有dq坐标下的电压方程分别为：

对于三相PMSM，令：

则有：

从式（24）、（25）可见，对称六相PMSM和三相PMSM的电压方程只和自身对应同步旋转坐标系下的d1q1和d2q2分量有关系，不再含有转子位置信息θr1和θr2。

电磁转矩方程为：

通过式（26）、（27）可见，对称六相PMSM和三相PMSM的电磁转矩分别由iq1、iq2控制，iq1、iq2又分别处于2个相互正交的子空间内，因而可以分别独立控制。

2 串联系统的控制系统仿真

为形象描述电机串联系统的两级坐标变换过程，图2给出了相关参数的变化流图。

如图2所示，对称六相串联三相PMSM系统的数学模型通过2次坐标变换，最终将自然坐标系下的各个变量转换到同步旋转两相dq坐标系下，达到了2台PMSM各自独立控制运行的目标，采用id=0的矢量控制以及PWM电流滞环控制技术。

对称六相PMSM变速仿真：对称六相PMSM负载，转矩为3 N⋅m，转速为150 r/min，三相PMSM空载转速为100 r/min，在t=0.5 s对称六相PMSM减速到50 r/min，在t=1 s对称六相PMSM加速到150 r/min。2台电机的工作状态如图3所示。

三相PMSM变速仿真：三相PMSM空载转速为100 r/min，对称六相PMSM负载转矩为3 N⋅m，转速为150 r/min，在t=0.6 s三相PMSM加速到200 r/min，在t=1 s三相PMSM减速到50 r/min，2台电机的工作状况如图4所示。

通过仿真波形可知：串联系统中一台电机转速的变化不会对另一台电机的转速和转矩产生任何影响。

3 结论

本文针对表贴型转子结构的对称六相PMSM与三相PMSM双电机串联系统定子绕组的串联连结关系，分别建立了自然坐标系下的磁链关系、电压矢量方程、转矩与运动方程关系，根据解耦控制的需要，利用空间矢量变换矩阵将电压方程转换到3个相互正交的αβ-xy-o1o2子空间中，并进一步推导了两相旋转坐标系下的数学模型，给出了控制系统的转换过程，最后建立了该串联系统基于电流滞环PWM矢量控制的仿真系统，进行了变速解耦运行的仿真验证。

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Mathematics Model of Symmetrical Six-Phase and Three-Phase PMSM Series-Connected System

LIU Lingshun1,WANG Rui2,YAN Hongguang1,LI Yongheng1
（1.Department of Control Engineering,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.The Political Department of the PRC Navy Force,Beijing 100841,China）

The mathematics models of surface rotor symmetrical six-phase and three-phase PMSM series-connected sys⁃tem under natural coordinate were setup.The voltage vector equations were converted to three orthogonalαβ-xy-o1o2subspaces each other by decouple matrix.Then the mathematics model of synchronized rotating coordinate were deduced. The simulation results of variable speed withid=0vector control strategy were proved the decouple operation.

symmetrical six-phase PMSM;three-phase PMSM;series-connected system;mathematics model

TM32

A

1673-1522（2017）02-0209-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.02.006

2017-02-22；

2017-03-07

国家自然科学基金资助项目（51377168）

刘陵顺（1969-），男，教授，博士，博导。