数列极限的求解及其意义

摘 要：数列的极限问题是我们高中学习的一个重要部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要意义。本文通过高中数学所涉及的数列极限问题的求解与探讨，展现了数列极限的几种解题方法，为微积分的学习与理解打下良好的基础。

关键词：数列；数列极限；求解

数列作为高中数学中一个重要的部分，是中学数学中一个必不可少的环节。同时极限的思想对于分析解决一些我们中学会遇到的函数、级数、初等的微积分等都有着重要的帮助。可以说，熟练掌握数列极限的求解与思路，对于我们数学的学习，以及今后对于微积分的理解都有着重要的意义。我通过对高中知识的总结，初步讨论了数列极限的集中常用求解方法。

一、数列的极限

一般，我们设{xn}为一个实数数列，a 为定数。若对任意的正数ε，总能够存在正整数N，使得当 n>N 时有|xn-a|<ε，则称数列{xn}收敛于a，定数 a 就叫做数列{xn}的极限。即当n 趋于無穷大时，{xn}的极限趋于a。反之，如果数列{xn}极限不存在，则称数列{xn}不收敛，{xn}为发散数列。

二、数列极限的求解

（一）初等变形法

初等变形是数列求极限最为基础的方法，通过数学运算，将原本较为繁复的计算式进行一定程度的化简，转化成为一个较简单的数列，进而对之求极限。

例1.求 + +…+ 。

解：由数列Sn=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6

所以上述例题分子12+32+…+（2n-1）2可变形为：

（二）变量替换法

通过适当的加入新的变量，替换式中原有的变量，从而达到简化计算过程的目的。灵活运用变量替换，可以很大程度上完成数列极限求解过程中的计算过程。

例2.已知-1

解：通过分析原式的已知条件，可以令a0=cos？坠，？坠∈（0，？仔），则有：

a1= = =cos

以此类推可知an=cos ，（n=1，2，…）

所以原题的计算可变为：

（三）夹逼定理法

这个方法应用于数列本身的极限不易直接求出的情况下，这时将所求的数列进行一定的变形，使其适当的放大和缩小，通过求解变形之后的数列。若数列两端的新数列的极限值相等，那么原数列的极值即他们的公共值。

例3.求n→∞时，数列 + +…+ 的极值。

解：因为存在 + +…+

通过计算可知 = =

（四）级数展开法

级数一般可以看做是一个无穷数列的和的形式，所以数列可以看做级数的一部分。通过这种方法利用级数的定理加以计算，可以非常方便简洁的求出数列的极限。

作者简介：胡丁群（1999-），男，汉族，河北肥乡县人，武邑中学学生。