帮助学生探明算理的五种方法

徐宏臻

算理是算法的依据，它指导着算法；算法是算理的体现，它外显着算理。在计算教学的起始阶段，必须切实重视算理的教学，做到“理”为先、“理”为要、“理”充分。教师应根据教学内容的特点、教学对象的差异等，采取多种方法帮助学生探明算理，并逐步掌握探理方法，发展自主探究能力。帮助学生探明算理的方法有很多，现结合一些教学实例，简介五种，供大家教学时参考和运用。

一、 操作法

新课标重視学生对所学知识的理解，重视实践能力的培养。操作是学生探明算理的重要途径，在运用时，我们要让学生的操作充分、聚焦且提升，逐步从具体操作向形象操作和符号操作过渡。教师须要明确，数学是思维的科学，操作不是最终目的，发展思维才是根本。所以，我们既要切实重视操作，又要逐步摆脱操作，并适时超越操作，以逐步提高学生的抽象思维水平。

在教学苏教版（以下均为苏教版）《数学》三年级上册“两、三位数除以一位数的笔算除法”例3时，笔者让学生依据已有的知识和经验，先自主探究算理，再根据需要有目的、有次序地展示和交流学生探究出的多种算法，以使学生的思维拾级而上，逐步提升。先展示在主题图上的圈一圈、分一分：学生把4筒羽毛球和6个羽毛球分别平均分成2份，发现每份都是2筒和3个，合起来每份是23。再展示用小棒代替羽毛球的摆一摆、分一分，学生先把4捆小棒平均分成两份，每份是2捆，再把6根平均分成两份，每份是3根，合起来每份是23。接着展示在计数器上的画一画、分一分：先把十位上4个珠子平均分成两份，每份是2个珠子，再把个位上6个珠子平均分成两份，每份是3个珠子，合起来每份是23。最后，引导学生聚焦这三种操作的共同点：先把4个十平均分成两份，再把6个一平均分成两份，最后把两次分得的结果合并，即先算40÷2=20，再算6÷2=3，最后算20+3=23。

仅从一例就引导学生概括算法，笔者认为还不够充分。为此，笔者又让学生看着除法算式（如48÷4，246÷2等），先估一估商，再想像分小棒的过程和步骤，想像在计数器上均分珠子的情况，最后分别用课件进行演示，以验证想像。如让学生看着246÷2，估计商大约是一百多，并在脑中想像分小棒的情况，即先把两大捆（2个百）平均分成两份，每份得一大捆（1个百），再把4小捆（4个十）平均分成两份，每份得2小捆（2个十），最后把6根（6个一）平均分成两份，每份得3根（3个一），合起来每份是123。接着，想像并口述在计算器上均分珠子的情况。这样，学生从中明显感到：48÷4，246÷2等都可以先从高位分起，再依次往下分。

在充分操作的基础上引导学生再次聚焦和讨论：两位数除以一位数都是先分什么，再分什么？三位数除以一位数是先分什么，再分什么，最后分什么？在此基础上，让学生尝试看着除法算式直接口算出商。这样就为学生积累了较多的先从高位除起，再依次往下除的感性认识，为逐步抽象算法和列竖式奠定了充足且坚实的基础，便于学生从动手操作逐步过渡到形象操作和符号操作上来，发展抽象思维能力。尤其是在计数器上均分珠子，更有利于学生借助操作的过程解释算理，理解除法竖式的意义，可以说是形象操作到符号操作之间的一座极好的桥梁。

二、画图法

新课标重视学生几何直观能力的培养，指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。实践证明，画图法在各年级计算教学中都有着独特和神奇的作用，它可以帮助学生理解数的意义和组成，外化算式的含义和算理，使算理形象化、可视化。对于一些难以说明的算理，借助画图法可以化晦涩难懂为通俗易懂。

教学《数学》四年级上册“商不变的规律”，在让学生自己找一些例子，算一算、比一比，看商有没有变化时，总会遇到这样的尴尬：一些学生举出除数是三位数或四位数，如根据100÷20，举出800÷160等，或者举出被除数不能被除数除尽的例子，如根据100÷20，举出（100÷6）÷（20÷6）等。学生或说，不会除，没法验证；或说，除不尽，没法验证。此时，教师常常不知所措，难以跟学生说清道理。尽管说了“商不变的规律永远是成立的，但以你们现在所学的知识还不能解决这样的问题，等到了六年级就会计算了”，但学生半信半疑。怎么办？借助画图可以讲明其中的道理。

设一个长方形的面积是100平方厘米，长是20厘米，宽是多少厘米？列式是100÷20=5（厘米）。如果用两个这样的长方形沿着长拼在一起，成为一个大长方形，从中明显看出长方形的面积乘2，长也跟着乘2，但宽保持不变，即（100×2）÷（20×2）=5（厘米）。同样，用这样的3个、4个……长方形分别沿着长拼在一起，成为一个个大长方形：从中明显看出，长方形的面积分别乘3、4……长也跟着乘3、4……但宽始终保持不变。由此可以推想到：如果长方形的面积和长同时乘一个相同的数（0除外），宽保持不变。顺势推导到：被除数和除数同时乘一个相同的数（0除外），商不变。从而巧妙地化解了除数是三位数或四位数的情况。反过来，如果把原来的长方形对折一次，面积是原来的一半，长也是原来的一半，但宽保持不变。同样，如果把原来的长方形分别连续对折2次、3次……长方形面积分别被除以4、8……长也跟着被除以4、8……但始终宽保持不变。学生容易推想到：如果长方形的面积和长同时除以一个相同的数（0除外），宽始终保持不变。再把上述拼接得到的算式分别与100÷20=5一一作比较，学生容易得到：被除数和除数同时除以一个相同的数（0除外），商不变。

面对（100÷6）÷（20÷6），可以让学生想像，并推理得到：当把大长方形的面积平均分成6份时，大长方形的长也被平均分成6份，但宽保持不变，即（100÷6）÷（20÷6）=5（厘米）。当然，对于其他除法算式也可以引导学生借图类推。这样，数与形结合、想像与推理结合，就巧妙地避开了繁难的计算，有效地化解了教学尴尬，便于学生发现、理解和掌握规律。

三、情境法

新课标要求课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索，要求重视学生的直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系，从学生已有的经验出发建构新知。学生的生活经验是极其宝贵的教学资源，许多生活事理为学生理解数学知识、数学规律等提供了现实的原型支撑。对于一些较难理解且易混淆的算理，我们还可以赋予算式现实意义，通过创设学生熟悉的情境，帮助学生借助生活事理理解数学算理，并逐步实现对情境的超越。

在教学《数学》四年级下册“运算律”时，一些学生对如何简便计算168+98，168-98，168-102等算式，经常混淆不清，错误百出。尽管有些教师跟学生反复讲减号后面如果有括号，去括号后括号里面的数如何变号等，但学生仍然很茫然，即使暂时记住了，但很快又会遗忘。这时，我们可以用学生熟悉的付钱和找钱的事理来帮其理解其中的算理。如对于168+98，可以这样编故事：小英身上原有168元，妈妈又给她98元。现在她一共有多少元？老师问：当妈妈给她100元时，小英会怎样做？学生说：小英会找给妈妈2元，因为妈妈多给了2元。于是得到：168+98=168+（100-2）=168+100-2。在此基础上，再借助多个类似的实例，引导学生逐步理解和掌握a+（b-c）=a+b-c。对于168-98，可以这样编故事：小英身上原有168元，给妈妈98元后，还剩多少元？老师问：当小英付给妈妈100元时，妈妈会怎样做？学生说：妈妈会找给小英2元，因为小英多给了2元。于是得到：168-98=168-（100-2）=168-100+2。在此基础上，再借助多个类似的实例，引导学生逐步理解和掌握a-（b-c）=a-b+c。对于168-102，可以这样编故事：小英身上原有168元，给妈妈102元后，现在还剩多少元？老师问：小英一般会怎样付钱？学生说：一般会先给100元，再给2元。于是得到：168-102=168-（100+2）=168-100-2。在此基礎上，再借助多个类似的实例，引导学生逐步理解和掌握a-（b+c）=a-b-c。

这样，借助学生熟悉的、易懂的生活事理帮其领悟其中深奥的、难懂的算理，学生就易于理解和掌握，不易混淆。在算法迷糊时，他们就会自觉地尝试编情境故事，赋予算式以现实意义，从而借助生活情境探明算理，生成算法。

四、迁移法

新课标指出：数学知识的教学，要注意知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的联系，引导学生感受数学的整体性。迁移法就是利用学生原有知识和经验中可以类比的成分，加以迁移运用，构成一个一以贯之的算理体系，从而帮助学生探明和理解算理，掌握算法。运用的关键是找到前后算理的相关性。

这样，就把相关的算理有机地串联起来，形成一个有意义的算理体系，便于学生迁移和运用。学生从中能更深刻地体悟到数学思想方法的一致性：只有在计数（或计量）单位相同时，才可以把计数（计量）单位的个数直接相加、减，如果不同，就要设法先把计数（计量）单位转化成相同的，然后再加、减。

五、演绎法

根据小学生的年龄特点和认知水平，教材在编写时，往往会引导学生根据几个具体的、典型的例子，进行算理归纳和算法抽象，采用的是合情推理中的不完全归纳法，但不完全归纳法得出的结论具有或然性。随着学生知识的增多和年级的升高，笔者认为，我们应该在侧重合情推理的同时，适时、适度地引进演绎推理，并把两者有机地结合起来，使学生经历完整的探理过程，从而明确算理，学会探究。尤其是对那些难以通过操作、画图和情境等探明算理的，更应如此。

当然，上述五法并不是相互独立的，而是密切联系的，它们都体现了转化、推理、建模等数学思想，都是把未知转化为已知，根据已知求得未知的。可以说，操作法、画图法以及情境法是转化和推理的形象模型，迁移法以及演绎法是推理和转化的直接运用。教学中，我们要引导学生运用多种方法探明算理，并感悟其中的数学思想方法，把学生的思维水平逐步从动作思维引向形象思维和抽象思维，以提升其数学思维水平，增强其自主解决数学问题的本领。

[责任编辑：陈国庆]