中国和新加坡的小学数学教科书中“统计与概率”内容编排的比较研究

周彦池+熊妍茜

摘 要：“统计和概率”是小学数学中的一个重要版块，在生活中具有重要的地位。参照Charalambos Y.Charalambous等（2010）对教科书比较的研究框架，从横向和纵向两个维度对中国西师版和新加坡MCE版两套小学数学教科书中“统计与概率”内容编排进行比较，发现：两套教科书在统计内容上大同小异，其中西师版中有复式条形图与复式折线图的呈现，MCE版教科书没有概率章节；两套教科书在一到三年级的章节分布相同，四到六年级差异较大；两套教科书都注重与生活、小学数学其他领域知识的联系。建议：在内容设置上应注重家长与教师的参与；注意栏目中标点符号的多样化使用，增强内容的情感和对学生的心理暗示；内容设置应该进一步贴近生活。

关键词：小学数学教科书；统计与概率；内容编排；比較

一、研究背景

从20 世纪末开始，世界各国都将“统计与概率”的初步知识作为数学素养的一部分引入小学至高中的课程中。学生应该了解数据分析和有关概率方面的知识，并能做出统计判断——成为见识广博的公民和明智的消费者所必备的技能。我国《义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》（2001版）和《义务教育阶段数学课程标准》（2011版）均在每个学段安排“数与代数”“空间与图形”（“图形与几何”）“统计与概率”“实践与综合运用”四个领域的知识，体现了“统计与概率”已经成为义务教育阶段甚至是小学数学的一个重要版块。

近年来，新加坡中小学数学教育连续三次在“国际数学与科学研究”（TIMSS）国际评估中名列前茅，标志着新加坡已经形成了具有自身特色的数学课程体系。此外，从文化背景看，新加坡和中国都深受儒家文化的影响，文化背景有很多相似之处。从新加坡小学数学教科书发展历史来看，新加坡的数学教育发展史与我国的数学教育发展史类似，最开始从国外引进数学教科书，经过多次改革形成了符合国情的教科书。两国都是在2001年新的数学标准颁布以后，将教科书的编订权利放开，出现了各具特色的多套数学教科书。其中由新加坡Marshall Cavendish Education出版的《MY PALS ARE HERE！Maths》（2nd） （以下简称“MCE版”）是新加坡最成功、使用率最高的小学数学教科书。由中国西南师范大学出版社出版的《义务教育教科书数学》（以下简称“西师版”）已在多个省市使用，反映情况良好。

比较中国和新加坡的小学数学教科书，可以为我国小学数学教科书的编写提供借鉴和参考。新加坡的小学数学对“统计与概率”这一领域非常重视。已有文献中不乏关于中新两国小学数学教科书、数学课标的比较研究，其中也有涉及“统计与概率”这一领域的比较，但是并没有对小学数学中的“统计与概率”这一领域进行特定研究。因此，比较研究中国与新加坡小学数学教科书中的“统计与概率”领域是具有一定的意义及价值的。

二、研究设计

（一）概念界定

《义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》（2001版）中对“统计与概率”领域的内容要求为：主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画来帮助人们做出合理的推断和预测。《义务教育阶段数学课程标准》（2011版）中对“统计与概率”领域的内容要求是收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。新加坡2007年启用的数学课程标准中在“统计与概率”这一领域主要是数据分析，没有涉及概率。综合两国课标，界定本研究中的“统计与概率”主要包含收集、整理和描述数据，用平均数处理数据，从数据中提取信息并进行简单推断，简单随机事件及其发生的概率。

（二）研究对象

本研究是对MCE版与西师版两套教科书中“统计与概率”领域内容的编排进行比较研究。

MCE版教科书基于2001年新加坡教育部出台的新的针对学生学习的教学大纲进行编写，对于不同学生的学习需求都能满足。这本教科书在新加坡很成功，小学每个年级都可以使用，且每个年级有两本（A本与B本，和我国上、下册的概念一样）。西师版教科书是在2001年《义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》颁布之后产生的，在教科书的编写上有很多需要改进的地方，尤其是“统计与概率”这个相对新颖的领域。

（三）研究方法

本研究采用文本分析法、比较分析法。参照Charalambos Y.Charalambous等（2010）总结的教科书比较的研究框架，从横向和纵向两个维度对MCE版和西师版进行比较。横向分析维度是指教科书的整体结构；纵向分析维度是指教科书的内容与其他方面的联系。

三、研究结果与分析

（一）“统计与概率”领域内容编排的横向比较

根据Charalambos Y.Charalambous等（2010）关于教科书比较的研究框架，横向比较包含单元数、单元结构编排、所含内容的编排顺序。

1. “统计与概率”领域单元数比较

西师版在“统计与概率”领域共设有10章，分布于9个学期，共有73页，其中概率内容涉及3个学期、3个单元，有12页；MCE版在“统计与概率”领域共设有6章，分布于6个学期，共有74页。

从表1中可以看出MCE版并没有专门设置概率章节。MCE版的知识分布更均匀。西师版在四年级占最大比例的统计知识，占总体的35.6%，MCE版每一章节都在15%左右，知识分布比较均匀；西师版从一到三年级分别只有一学期涉及“统计与概率”的知识，四到六年级每学期都涉及，MCE版从一到六年级都分别只有一学期涉及。

2. “统计与概率”领域单元结构编排比较

每个单元都是由很多个小栏目组合构成，要比较单元结构的编排，可以通过比较单元的栏目设置及其顺序达到目的。

丰富的栏目设置增加学生了解数学的机会，符合小学生身心发展规律，促进教学活动多样化和学生的自主学习，另一方面也打破了教师传统的“满堂灌”的单一教法。

通过表2可以发现，两套教科书在栏目设置上存在的主要差异具体如下：

①栏目针对的对象范围不同。MCE版的栏目设置针对的对象有学生、教师和家长，西师版则以学生参与为主，注重学生之间的交流互助，并未涉及与教师的交流，更缺少家长的参与。

②栏目设计意图的具体要求和具体目的存在区别。MCE版的“Lets Learn！”中创设情境，引入新知识，与西师版章首的情景导入作用相同，只是西师版没有设置特定的栏目；“课堂活动、练习题”与“Carry out this activity、Play This Game、Put On Your Thinking Caps！、Lets Practice！”所起的作用大同小异，但后者在名称和内容上都更加突出数学的趣味性（如图1），“Carry out this activity、Play This Game”中通过与朋友们共同做游戏巩固知识，“Put On Your Thinking Caps！”中运用这一节所学习的知识解决一些非常规问题，“Lets Practice！”中给出一些练习题；“试一试”与“Try IT！”部分相同，不过后者明确要求要借助计算机等工具完成练习；“思考题”与“Maths Journal”都强调主动思考解决问题，但是后者还提到要与教师分享自己所学到的知识，自己找一个数学问题，还强调要了解其中的数学思维过程，注重语言表达和数学思维的养成。

③MCE版教科书的“特色栏目”。“Lets Explore！”用于概念学习的一些活动，“Lets Wrap It Up！、Lets Revise！”是对这一节所学的知识的总结和复习，“Home Math”里的建议是为家长有意义参与活动做准备，使数学概念运用在家里或是周围常见的场景中，让数学变得鲜活，另一方面，通过家长和学生一起完成内容，可以让学生发现数学概念常被运用于生活中，这样可以提高学生学习数学的兴趣和用数学解决现实问题的能力。这四个内容在西师版的栏目设置中没有。

④西师版教科书的“特色栏目”。“你知道吗”这一栏目中编排了一些数学史知识，使学生在学习中了解知识的历史过程，学习数学家的精神，“综合与实践”栏目是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“说一说、议一议、你知道吗、综合与实践”在MCE版的栏目设置中没有。

⑤MCE版教科书利用标点符号“！”的潜在作用。MCE版一共出现11种栏目，其中就有6个栏目标题使用了“！”，给学生一种心理暗示“你一定行！”，相比之下，西师版的表达方式就略显温柔和平淡，缺少激情。感叹号与逗号相比有强调某个内容、突出重点的作用，感叹号还可以表示内容的突出、强烈和紧迫。感叹号一般用于感情比较强烈的句子，使用感叹号的句子有两种：一种是表示意义和语句有所感叹的， 另一种是表示强烈请求、热烈祝愿、坚决命令和大声召唤等。

总结得到，西师版与MCE版都注重新知识的情景导入、在活动和具体情景中学习与运用。MCE版在栏目的标题选取和内容设置上更注重体现数学的趣味性，发展学生的数学思维和对知识的整体把握，强调工具的应用以及重视家长在学生学习过程中的参与。《新加坡数学课程标准》（2007）的教育目标谈到要发展学生的数学思维和问题解决能力，认识并运用数学思想间的联系，培养学生对数学的积极态度，在数学学习和应用中有效使用各种数学工具。西师版在栏目内容设置上注重数学交流。“你知道吗”这一栏目为学生提供关于相应知识点的数学文化知识，在教学中适时介绍一些相关背景知识，激发学生学习数学的兴趣，逐步感受数学家治学的严谨，更能体现数学的美。“综合与实践”部分在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次。

3. “统计与概率”领域内容编排顺序比较

MCE版与西师版两套教材中“统计与概率”领域的章节顺序如表3所示。

从表3可以看出，西师版与MCE版的“统计与概率”领域都涉及数据收集、整理和描述，用平均数处理数据，从数据中提取信息并进行简单推断，但是MCE版并没有专门设置概率章节。两套教科书在内容选取及顺序安排上差别比较明显。在结构上，两者的前面两单元都是以实例或图片构造一些具有简单统计思想的情景介绍数学知识，然后再把条形统计图、折线统计图、扇形统计图和平均数分别安排成一章，贯穿整个小学阶段。两者的不同之处有四：其一，就“统计”部分而言，西师版中“统计”内容的编排梯度较MCE版更小，西师版相比之下在三年级下册多设置了“简单的统计活动”这一章，让学生“体验”一些简单的统计活动，了解统计的基本知识，为接下来的学习做准备，因为四年级上册马上就要学习“条形统计图”；其二是平均数被安排的年级不一样，西师版是安排在四年级下册，在讲折线统计图之前，而MCE版安排在五年级下册，在折线统计图之后；其三是西师版在统计中交叉、螺旋安排了概率内容；其四是MCE版中把“表格”作为章节标题与折线统计图安排在一章，且在正式介绍表格之前并没有用过规范表格，而西师版没有对“表格”做一个特别安排，而是从一年级就自然出现，潜移默化地参与、影响学生的学习，作为统计中最基本、应用非常廣泛的统计表，其定义非常简单直观，学生理解起来不是问题。

（二）“统计与概率”领域内容编排的纵向比较

根据Charalambos Y.Charalambous等（2010）总结的教科书比较的研究框架，纵向分析维度是指教科书的内容与其他方面的联系。数学教科书的内容与其他方面的联系可以从数学教科书中的背景素材情况进行分析。PISA（2012，2015）测试题目中都把题目的现实背景分为个人、社会、职业和科学。“个人”现实背景特指以家庭和非学校内的与学生直接相关的生活为背景。“社会”现实背景是指与学生没有直接关系，但确实是现实生活中的背景。由于研究对象均是小学数学教科书，所以“职业”特指学生，相对应的现实背景即为学校生活。“科学”现实背景指小学数学教科书中除数学以外的其他学科的知识。综上分析得到：教科书内容与其他方面的联系主要分为与生活的联系（按照与学生是否有直接关系，又分为与个人生活联系和与社会生活联系）、与小学其他学科的联系、与小学数学其他知识领域的联系。在《义务教育阶段数学课程标准》（2001）与《义务教育阶段数学课程标准》（2011）中，数学知识都包括四大类：数与代数、空间与图形或图形与几何、统计与概率、综合与实践；在《新加坡数学课程标准》（2007）版中小学一到四年级数学知识包括数、测量、几何、数据分析，五年级增加了分数、小数、百分数、比例，六年级增加了比率、速度和代数，总的来说可以归结为数、代数、测量与几何。根据两国课标把小学数学其他知识领域界定为数与代数、图形与几何两类知识。

两套小学数学教科书都是以题为最小单位构成每个单元，因此欲比较两套教科书内容与其他方面的联系，可以通过比较两套教科书在“统计与概率”领域的所有题目的背景素材来得到。所以对两套教科书在“统计与概率”领域的所有题目（MCE版92道题，西师版147道题）按其现实背景（与生活的联系、与其他学科知识的联系、与小学数学其他知识领域的联系）进行统计（不对纯数学题目进行归类），得到结果：西师版中与生活有联系的题目有134道，与小学其他学科知识有联系的有28道，与小学数学其他知识领域有联系的有62道；MCE版中与生活有联系的题目有80道，与小学其他学科知识有联系的有9道，与小学数学其他知识领域有联系的有76道。具体如表4所示。

西师版和MCE版都注重数学与生活的联系、数学与小学数学中其他知识领域的联系。In addition，it can be argued that for almost all students，the motivation to learn mathematics increases when they see the relevance of what they are learning to the world outside the classroom and to other subjects. （学生所学内容与课堂之外的世界以及与其他学科之间有关联时能提高学生学习的动机。）弗莱登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中写道：“我完全同意恩格尔的主意，即在学生刚刚学过分数以后，就可以把概率渗透到所有的数学中去。这样做不仅可为以后的概率教学带来方便，而且能使学生所学的数学更加接近现实。这样安排的概率，不是一门充斥着定理和公式的枯燥的学问，它充满着大量的具体的问题，这时的概率被学生当作生活的一部分来体验。” 这说明概率不是一个孤立的知识，而应与数学中的其他知识相联系。其实不仅限于概率，任何一个数学知识都不是孤立存在的。

考虑到学生的不同来源（农村和城市的学生都有），西师版教科书的素材在选取时既有源于农村情景的素材，又有源于城市情景的素材，还有源于工厂的情景素材等。

研究还发现，在对学生的要求方面，西师版比MCE版更高；西师版更乐于让学生在“游戏”中学，MCE版偏向于设置现实背景帮助学生学习的。西师版在平均数这一章继续涉及条形统计图和复式条形图，折线统计图里涉及复式折线图；MCE版并没有涉及复式统计图，在平均数这一章也没有涉及其他统计知识。西师版在平均数这一章继续深入条形统计图的学习是为了让学生体会平均数的作用，既能计算平均数，又能用自己的语言解释其实际意义。

MCE版中与生活相联系的部分有接近90%的内容都与个人生活有联系，比如设置的情景有学生个人生活、超市、野炊等，也有少量游戏；西师版中与生活相联系的部分有77%左右的内容与个人生活有联系，剩下的部分多与社会生活相联系，比如工厂生产、某店的销售额等。西师版较多是以小组形式做游戏，在游戏过程中学习、强化。两版教材都注重知识的形象具体化，符合学生的身心发展特点，从“做中学”到“做中用”。

四、研究建议与思考

截至2011年7月，新加坡人口将近507万，其中华人占了76.8%。新加坡与中国有着相似的东方传统教育思想，除引进西方的教学理论之外，也力求改善和更新其数学课程、教材和教学法。但是，两者之间仍然存在差异，新加坡中小学数学教育连续三次在“国际数学与科学研究”（TIMSS）国际评估中名列前茅，这标志着新加坡已经形成了具有自身特色的数学课程体系。比较两国的教材，可以为统计与概率的教科书编写提供借鉴和参考，根据比较结果，为西师版“统计与概率”领域的编写提出以下几点建议，以供思考。

（一）提供更多教师与学生交流、家长参与的机会

在内容设置上应该满足让家长与教师都能够参与进来。在现代教育理念中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者，既要注重学生之间的交流合作，也要注重学生与教师的交流，更要注重家长的参与。1998年5月，全国家长教师协会（National Parent Teacher Association，即NPTA）制定了《家长、家庭参与教育计划国家标准》（National Standards for Parent/Family Involvement Program），提出了六条家长、家庭参与教育的标准，其中第三条是学生的学习（Student Learning），指家长在帮助孩子学习方面起着不可或缺的作用；《2000年的目标：美国教育法案》（Goals 2000 ：Educate America Act）和新修订的《初中等教育法案》（Elementary and Secondary Education Act）中，都将家长参与教育放到了优先的地位。美国学者安妮·汉得森（Anne Henderson）和南茜·波拉（Nancy Berla）在大量而广泛的调查研究的基础上编写了一套丛书，得到关于家长参与教育的研究结果为：不论家长的贫富、种族背景以及受教育程度如何，只要他们参与到孩子的学习中，孩子的学业成绩就能提高；家长参与的范围越广，学生就越容易取得较好的成绩；家长参与到孩子的教育中，孩子考試就能得高分，课堂出勤率就高，就能正常地完成家庭作业；家长的参与能使学生用积极的态度对待学习；有家长参与的孩子的毕业率高，进入高一级学校学习的入学率也高等。日本采用PTA（Parent Teacher Association）运作模式，即父母与教师联合会。PTA致力于沟通学校与家庭、社区的联系，为的是创造一个有利于青少年成长的环境，这成为中小学教育中不容忽视的教育力量。

（二）用词趣味化，标点符号运用多样化，潜在激发学生信心

“思考题、试一试、说一说、议一议”这些用词简明扼要，若能再在里面增加一些趣味性词语，便能增加学生对教科书的喜爱程度，引起学生学习数学的兴趣，使学生在使用数学书时有一种探索奥秘、徜徉在游戏世界中的感觉。“思考题”可以考虑“你行你来做！”，“试一试”可以考虑“不试不知道，一试吓一跳！”，“说一说”可以考虑“掀起你的思绪来”，“议一议”可以考虑“你一言我一语”等。注意栏目中标点符号的多样化使用，增强内容的情感和对学生的心理暗示。在“你知道吗”这一栏目中完全可以加上“？”。季建萍（2005）从心理学角度阐述了标点符号的修辞作用。标点符号作为刺激物，可引起人们的注意，产生新异性。标点符号具有表示停顿、语气以及词语的性质和作用，它还是建筑文章大厦必不可缺的材料；标点可以渲染特定的环境气氛，突出表达重点，借以体现语言层次；有的标点符号能体现出作者思维的跳跃，有的标点符号能引导读者思索探究进程。

（三）内容设置更加生活化、亲近化

内容设置应该进一步贴近生活。《义务教育阶段数学课程标准》（2011）的课程理念中这样提到：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”统计与概率本就注重应用，由于又是小学教科书，重点应该在小学生的应用，因此应用的背景也应该与小学生的生活很接近。在西师版中，“统计与概率”有超过80%的内容都与生活有关，但其中没有多少内容是与学生个人及家庭生活相关，很多都是以工厂的产量为背景，虽然也是实际生活，但不免离学生较远，平时学生根本没有机会实际接触。西师版教科书虽然考虑到有农村学生使用的情况，设置了农村素材，但是这些素材同样也与学生的距离较远。此外，《义务教育阶段数学课程标准（实验版）》（2001）在基本理念中这样谈道：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。……由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”因此，更多地以学生个人及家庭生活为背景，可以更好地贯彻课标理念，也可以更好地激发学生学习的主动性。

（四）更多地與其他学科知识相融合

In addition，it can be argued that for almost all students，the motivation to learn mathematics increases when they see the relevance of what they are learning to the world outside the classroom and to other subjects.（学生所学内容与课堂之外的世界和与其他学科之间有关联时能提高学生学习的动机。）数学知识是学习所有学科的基础。M.克莱因曾说：“音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能够做到所有这一切。”数学与很多学科都有很大联系。亚历山大洛夫说：“归根到底，数学的生命力的源泉在于它的概念和结论，尽管抽象，但却如我们所坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用。这一点，对于了解数学是最重要的。”顾泠沅、邵光华（2009）在《作为教育任务的数学思想和方法》中说道：“几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值，但是却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。”M.克莱因在《古今数学思想》中系统论述了各个不同历史时期数学与文学、绘画、哲学、宗教、美学、音乐、人文科学、自然科学等文化领域的内在联系。在与其他学科相融合的时候，要考虑到学生的接受能力和心理发展特点，要尽可能符合学生平时能够接触的范围。