数学教学：因“结构”而精彩

汪明峰

摘 要：数学学习是个体自我认知结构不断完善和发展的过程。在数学教学中，教师首先要认识数学的知识结构和儿童的认知结构状态，在识“联”的基础上求“联”。通过知识连线、知识勾面、知识成体，优化儿童的认知结构，让儿童的“认知结构”更具活性、质性和生长性。

关键词：数学教学 知识结构 认知结构

认知心理学认为：各种知识都是对于按照一定的关系或一定的模式构成的事物结构的认识。因此每门学科也就是与事物结构相应的知识结构。儿童对数学知识的掌握不仅仅指理解了知识点的本质，更重要的是通过对数学知识结构的同化或顺应而形成认知结构。知识结构是客观的，而认知结构则是主体的，它依赖于儿童的记忆、思维、直觉、想象等数学认知活动。每个人的数学经验、认知特点、认知风格等存在差异，因此儿童的认知结构也呈现出个体化、个性化的特征。在数学教学中，教师要重视“三联”，即联系、联结、联想，在“识联”基础上“求联”。

一、“识联”：两种“结构形态”的分析

认识数学知识形态和儿童的认知结构形态是“求联”的教学基础。在数学教学中，数学知识结构形态和儿童认知结构形态的分析往往是交融在一起的，常见的方式有“同化”和“顺应”。“同化”即儿童原有的认知结构与数学知识结构是相匹配的，能够正向迁移、纳入、整合；“顺应”即儿童原有认知结构与数学知识结构是不适应的，需要儿童主动调整、改组甚至更新自我原有认知结构。

（一）数学知识结构形态分析

从系统论的角度看，数学知识有着极强的整体性、系统性；从认知论的角度看，数学知识有着很强的结构性、关联性。因此，教师要用联系、发展的眼光观照数学知识。例如教学“分数的基本性质”一课时，教师要有“顾后的思索”，即“分数的基本性质”和“商不变的规律”是一致的，可以运用“商不变的规律”引导儿童展开自主探索。同时，教师亦要有“前瞻的眼光”，分数的基本性质指向通分和约分，而通分和约分指向异分母分数的加减法和分数的乘除法。华东师范大学李士琦教授指出，数学的知识结构可看成是由“节点”和“连线”组成的网络，“节点”即数学对象在心理上的表征形态，“連线”即知识点之间的联系。其中，“节点”指数学“基点”（基本知识点或核心知识点）。在数学知识节点周围环绕着许多相关的数学知识，笔者称之为“附点”。附点在某种数学情境中是为基点服务的，主要是反映基点的特质，但在另一数学情境中，附点又会成为新的基点。

（二）儿童认知结构形态分析

儿童的认知结构以数学知识节点为“原材料”，以儿童自身个性心理特征为“黏合剂”而形成的具有个性化、层次性和逻辑性的网络心理结构。数学认知结构是在对数学节点和附点知识把握的基础上形成的，包括感受、理解与经验等。儿童运用自身形成的感受、理解、经验等而形成各自解决问题的心理通道，这些心理通道将会在儿童学习数学新知时发挥作用。心理通道有时能够顺利同化新知，有时却和新知产生矛盾、冲突。当心理通道和认知产生冲突时，儿童就需要屏蔽一些心理通道，打开新的心理通道。例如学习“长方形的面积”知识点时，学生已有“长方形面积=长×宽”的认知，再加上学习了“平行四边形可以推拉成长方形”知识点，因此自然地形成了“平行四边形的面积=底×斜边”的观念，而且这一观念是深刻的、持久的。即便学生通过“平行四边形的面积推导”掌握了平行四边形面积计算方法后，原来心理结构中形成的旧有观念还会不时地冒出来。针对这种情况，教师一方面要强化学生新的心理通道，使之深刻掌握平行四边形面积的推导过程；另一方面要将新旧知识进行对比辨析，让儿童顺应原有认知心理结构。

二、“求联”：结构教学视野下儿童认知的心理建构

数学学习是认知结构的组织和建构。教师要依循数学知识的结构性特点和儿童的认知特点，一方面，把零散、孤立、繁杂的数学知识联结起来，形成有机的知识结构；另一方面，帮助儿童将数学知识结构转化成稳定的心理结构。

（一）知识线的联结

特级教师吴正宪说：“知识犹如珍珠，如果不会整理，只是一盘散沙，没有太大的价值。只有穿成美丽的项链，才会价值连城。”教师要有意识地将一个个零散的知识点串联起来，帮助儿童形成具有生长性的认知结构。运用同化和顺应两种心理机制，用大问题、高观点、全视野来观照数学知识，帮助儿童掌握清晰的知识轨迹，深刻理解知识的来龙去脉。例如教学“认识小数”一课，笔者运用数轴帮助学生理解一位小数的产生以及一位小数与两位小数、整数与一位小数之间的关系。首先让学生通过数轴直观感知自然数，然后运用课件动画截取0和1之间的一段，0到1之间平均分成10份，产生9个均分点，让学生在数轴上标出整数部分为0 的9个一位小数。之后，在1到2、2到3之间平均分成10份，让学生在数轴上标出整数部分不是0的一位小数。启发学生思考在0到0.1之间再平均分成10份，每一份是多少。如此逐层递进，学生既理解了一位小数的意义，又为第二学段学习多位小数奠定基础。清晰的知识线，有效沟通了数学知识之间的关联，形成了线性的儿童认知结构。

（二）知识面的联结

一条条知识线不是相互平行的，而是交织成一个个知识面。因此，教师在教学中不仅要“瞻前顾后”，更要“左顾右盼”。要善于把握知识线之间的关联，使之形成知识面，促进学生认知结构的形成。例如教学“异分母分数相加减”一课，笔者首先带领学生复习了整数相加减、小数相加减的计算法则，让学生懂得计数单位相同才能直接相加减，异分母分数加减中分数单位不同，所以不能直接相加减，必须先统一分数单位，由此催生儿童的“通分意识”。这是知识线上的认知构建。不仅如此，在这个过程中，学生对分数单位、小数的计数单位、自然数的单位等都有了深刻的认知。在此基础上，笔者还告诉学生，名数的加减法要统一单位，做数学习题要统一单位，等等。这样一来，一种“统一”的数学意识渐渐种植在儿童的头脑中。教师要将教学视角放置于计算中，敏锐地捕捉到整数相加减、小数相加减、分数相加减的联接点——计数单位，通过类比、迁移等方法让学生自主建构数学知识，形成加减运算的结构面，分辨分数、小数、整数相加减的异同，并由这样的结构面拓展至量的计量，拓展至一般的解题乃至生活。

（三）知识体的联结

完善的认知结构需要儿童将数学知识串联成线、勾连成面、织编成网，如此认知结构才具有更强的包摄性、迁移性、生长性。根深才能叶茂，良好的认知网有助于提高儿童认知结构的可利用性、可辨别性和稳定性。例如教学“平面图形的复习”一课，笔者首先让学生复习了三角形、四边形、五边形。在复习四边形时选择了各个击破，梳理平行四边形、长方形、菱形和正方形的特征以及它们之间的关系。在此基础上，重点复习了判定方法和沟联关系，使之形成一个有机的结构体。如向学生提问：什么样的菱形是正方形？什么样的长方形是正方形？什么样的平行四边形是正方形？什么样的四边形是正方形？等等。在这个过程中，学生对所学的知识有了深刻的理解和把握，逐步形成自身的认知结构系统。

参考文献：

[1]顾志能.数学认知结构的形态及其运作方式[J].教学月刊（数学），2014（1-2）.

[2]刘佳.认知结构：在整体视角下有效建构[J].江苏教育研究（实践版），2014（6）.

[3]章世倩.优化认知结构 促进数学学习[J].江苏教育（中学教学），2016（2）.

（作者单位：江苏省苏州市高新区实验小学）