一道数学题两种不同解法合理性的思考

陈冠基

摘要：小学数学教学应当在“数学直觉”这一方面教育学生，为学生的数学能力的发展做好铺垫，本文就笔者与小学数学科组长们在Q群关于一道数学题两种不同解法讨论中出现的两个不同答案究竟哪个答案合理进行的思考。

关键词：数学题；不同解法；合理性；思考

最近，在我们区小学数学教师群，一位老师的问题引来老师们的热议，以下是这位老师的问题和老师们的相关讨论：师1、师2……代表不同教师）

师1：请问各位老师：

铺一个长6米，宽5米的长方形客厅，用边长为0.3米的方砖来铺，至少需要多少块这样的方砖？

方法一： 方法二：

（6×5）÷（0.3×0.3） （6÷0.3）×（5÷0.3）

=30÷0.09 ≈20×17

≈ 334（块） =340（块）——实际上就需要这么多。

请问哪种方法更合理？

师2：从数学的角度考虑，我觉得是方法一比较合理。

师3：题中的关键字“至少”，选择方法一，在实际铺的话也是可以实现的。

师4：

师5： 如果采用方法一的话：长边可以放20块方砖，短边由于不是方砖边长的整倍数，放16排后还留有0.2米的空隙。这时还剩334-320=14块。把这14块都锯掉0.1米，铺上。还有6个空位，每个空位铺上锯下来的0.3*0.1两个，最后还剩两个0.3*0.1细条。

方法一的确够铺，可是难看，我想谁家都不会这样铺吧。所以现实生活中往往会选择方法二。

师6：学生两种方法都正确，但是方法二更合理。附效果图

师7：建议把客厅改为长6米，宽5.1米。

师8：需要多少块是可以切割瓷砖的，所以用方法一就好。

……

一番热议，这个题目究竟哪个答案正确，或者两个答案都可以？在部分老师的心目中还是不明确的，数学答案大多客观性强，在实际教学中如果这个答案可，那个答案也可，实际上是模棱两可，留在学生的脑中的，将会是什么？亚里士多德认为：“真理不掌握在老师手里，掌握在讨论中。”对这两种解题方法究竟哪一种合理且正确进行探究显得十分必要。

一、从小学数学思维的角度思考

郑毓信教授指出：小学数学教学应当在“数学直觉”这一方面教育学生，为学生的数学能力的发展做好铺垫。师一所问这道题的内容属于北师大版小学三年级数学长方形、正方形的面积《铺地面》的知识的应用，要求铺地用方砖的块数，将总面积除以单位面积即可求得，学生在遇到此类问题采用这种方法解决，我想这就是此类问题解题的数学直觉。

例如以上老师讨论的这道数学题，我认为从这样的角度去理解，因为方砖是可以切割的，只要小方砖的总面积等于或稍大于长方形客厅的面积即可实现对这个客厅的铺设。方法一将客厅的总面积除以一块方砖的面积利用进一法得到至少334块的答案，我想就是学生解题的“数学直觉”其正确性不用怀疑。

二、从小学生认知角度思考

小学数学思想应该是“就简不容繁、好教不难学、直来直去不绕弯、好听易懂不求全，由已知开头，常识铺路、顺理成章”。从小学生的认知水平和认知角度分析，方法二相信绝大部分学生的理解应该是：“6除以0.3表示客厅长是方砖边长的20倍，5除以0.3表示客厅的宽约是方砖边长的17倍”，两个倍数相乘得出块数会让他们迷惑，而小学数学的教育目标要求我们应当充分重视小学数学的特殊性，要帮助学生学会数学地思维，特别是所有的教学活动都不应脱离小学生的实际认知水平。

根据数学的理性精神，什么是数学的理性精神？借用一个事实来说明：“从中小学课程中，儿童们认识到他们所做的大多数事情是凭个人见解来判断的，文章的质量、绘画的质量或外语发音的好坏都是如此。甚至是明显是以事实为基础的学科，如历史，也只得不予深究地加以接受。只有在数学中可验证其确定性。告诉一个学生 第二次世界大战持续十年，他会相信；告诉他两个4的和为10，就会引起争论了，借助已有的数学能力，学生们知道什么是对的，什么是错的，同时还能自己验证”。“至少需要要多少块这样的方砖？”抛开“美观”这个角度（本道题其实也没有从美观这个角度作出要求）师6所述答案可以是334，也可以是340，是矛盾的，既然334块够铺，显然335块、336块……340块（或者更多的块数都够铺），在334块至340块这7个数量中选一个最少的数，根据数学的理性精神我想学生会正确选出，因有“至少”这个要求，所以这道题答案应该是多少块就显而易见了。

三、从美观的角度思考

数学来自于生活服务于生活，新课标要求课堂教学内容注重紧密联系现实生活，切实反映学生生活经验，改变学生生活和现实世界相脱节的状况，师4从美观的角度来考虑这道题两个不同答案的合理性是有一定道理的。但令人反思的问题是我们联系生活经验真的还不够深入，还停留在习惯性思维，不假思索，想当然地认为铺设完整块方砖后将切割出来的方砖碎块铺设在客厅的一角，（见图一）这样铺出来的效果当然不美观，现实生活中，如果就给334块这样的方砖让装修师傅铺设这个客厅，我想有经验的装修师傅也不会就这么简单的将完整的方砖铺完后，将切割出来的方砖碎块铺设在客厅的一个角落完事，他总会找设计人员“因材制宜”先设计一番再动工，以求装修效果的美观。

因为可以切割方砖，要实现一定的审美效果，根据数学与无限的关系，点组成线、线组成面，用无限的思想去考虑，只需将方砖无限切割成線、切割成点，就一定能实现客厅铺设效果的整齐划一。用这样特殊化的方法，这道题只要将所有整块方砖切割成0.1乘以0.3的小方条即可实现用最少的334方砖铺设出整齐或一的效果。当然现实生活中没有谁会这样做，但受此特殊化方法的启发，我们只需将铺设长6乘以0.2米的空隙的砖块全部切割成的0.3*0.1细条，均匀而艺术地用来作为间隔线即可实现铺设效果的美观。

综上所述，方法一既符合题目用最少的方砖块数，经过设计又能实现铺设效果的美观，师1所提的问题用方法一解答我认为是正确且合理的。

参考文献：

郑毓信.《数学思维与小学数学》[M].南京：江苏教育出版社，2008.8

（作者单位：广东省深圳市龙岗区教育局平湖教研中心 518111）endprint