双重Stone代数的核理想注记

赵秀兰， 陈丽娟

(1.黄河科技学院数理部， 郑州450063；2.河南工程学院理学院， 郑州451191)

双重Stone代数的核理想注记

赵秀兰1， 陈丽娟2

(1.黄河科技学院数理部， 郑州450063；2.河南工程学院理学院， 郑州451191)

在双重Stone代数上引入核理想概念，借助核理想的性质反映双重Stone代数的结构，在双重Stone代数L上构造了具有核理想I的最大同余关系表达式RI，(x,y)∈RI⟺(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I。根据双重Stone代数的运算特征，获得了具有核理想的最小同余关系与最大同余关系之间的等式关系。主要结果为：设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，I是L的核理想，则RI=δI∨(G*∧G+)，其中(x,y)∈δI⟺(∃i∈I)x∨i=y∨i；(x,y)∈G*⟺x*=y*，(x,y)∈G+⟺x+=y+。所得结论为其它Ockham代数类核理想性质的研究提供了方法，丰富了Ockham代数的发展，为进一步研究Ockham代数类的代数结构提供理论支持。

Stone代数;对偶Stone代数;双重Stone代数;核理想;同余关系

引言

Ockham代数[1]是定义在分配格上的一类序代数，布尔代数、de Morgan代数、Stone代数、伪补代数等是Ockham代数的子代数[1-5]。在序代数结构的研究中，借助理想和滤子研究代数结构是学者的一个研究方向，特别是核理想与余核滤子是人们研究Ockham代数类的结构及同余关系的一个重要工具。文献[6-16]以理想与滤子为工具刻画代数结构。文献[6] 在双重Stone代数上引入核理想的概念，构造了核理想同余关系表达式，获得了双重Stone代数核理想判别定理。根据双重Stone代数的运算特征及主同余表示理论，获得了核理想同余关系的若干等价表达式并证明了双重Stone代数核理想与其同余关系是同构的。方捷和吴丽云[8]证明了PO代数类上具有余核滤子的最小同余和最大同余。王雷波和方捷在文献[12]中分别就双重伪补代数的假值理想和假值同余和几乎伪补格的核理想与W-理想[13]给出了特征表示。本文作为文献[6]的一个补充,在双重Stone代数核理想已有结论的基础上,进一步讨论双重Stone代数核理想同余关系的性质。

1预备知识

定义1[1]设(L;∧,∨,0,1)是一个有界分配格，f是L上的一元运算，若:

(1)∀x,y∈L，f(x∧y)=f(x)∨f(y),f(x∨y)=f(x)∧f(y)；(2)f(0)=f(1),f(1)=f(0)，则称(L;∧,∨,f,0,1)是一个Ockham代数(简记为O)。

定义3[1]设(L;∧,∨,0,1)是一个有界分配格，其上赋予两个一元运算*,+，并且(L;∨,∧,*)是Stone代数，(L;∨,∧,+)是对偶Stone代数，称(L;∨,∧,*,+)是一个双重Stone代数。

引理1[16]设(L;∨,∧,*,+)是一个双重Stone代数，任意的x,y∈L，则

(1)x*≤x+；

(2)x+*=x++≤x≤x**=x*+；

(3)0*=1,1*=0,x*=x***,0+=1,1+=0,x+=x+++；

(4)(x∧y)*=x*∨y*,(x∨y)*=x*∧y*；

(5)(x∧y)+=x+∨y+,(x∨y)+=x+∧y+；

(6)x*∨x**=1,x+∨x++=1。

引理2[6]设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，I是L的理想，则I是核理想的充要条件是(a∈L)a∈I⟹a**∈I。

在L上定义一个等价关系δI:(x,y)∈δI⟺(∃i∈I)x∨i=y∨i。

在文献[6]中,已论证过δI∈ConL且I=KerδI。

设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，记I(L)和KI(L)分别为L的所有理想与所有核理想构成的集合。I(L),KI(L)具有下列性质。

引理3[6]设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，I,J∈KI(L)，则

(1) (∀φ∈ConL)I=Kerφ⟹δI≤φ;

(2)I≤J⟺δI≤δJ。

引理4[6]KI(L)是I(L)的一个子格。

定义4设(L;∨,∧,*,+)是一个双重Stone代数，θ是L的格同余关系，若(x,y)∈θ⟹(x*,y*)∈θ,(x+,y+)∈θ，则称θ是L的同余关系，符号ConL表示L的全体同余关系构成的集合。

定义5设(L;∧,∨)是一个格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I总有y∈I，称子格I是格L的理想。

对偶地，F是格L的子格，若x,y∈L，y≥x∈F总有y∈F，称子格F是格L的滤子。

2核理想的性质

设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，I是L的核理想，考虑定义在L上的下列关系：(x,y)∈RI⟺(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I，则关系RI满足下面的定理。

定理1设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，I是L的核理想，则RI是具有核理想I的最大同余。

证明设I是L的核理想，定义关系：(x,y)∈RI⟺

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I,易见，RI满足自反性和对称性。

证RI的传递性。

设(x,y)∈RI,(y,z)∈RI,则

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I

(y*∧z**)∨(y**∧z*)∨(y+∧z++)∨(y++∧z+)∈I

由于

x*∧z**=(x*∧z**)∧(y*∨y**)=

(x*∧z**∧y*)∨(x*∧z**∧y**)≤

(z**∧y*)∨(x*∧y**)∈I

同理可得

x**∧z*=(x**∧z*)∧(y*∨y**)∈I

x++∧z+=(x++∧z+)∧(y+∨y++)∈I

x+∧z++=(x+∧z++)∧(y+∨y++)∈I

于是(x,z)∈RI,故RI是L上的一个等价关系。

证RI是L上的一个格同余关系。

设(x,y)∈RI,下证对于任意的a∈L,(x∧a,y∧a),(x∨a,y∨a)∈RI

由于

(x∧a)**∧(y∧a)*=

x**∧y*∧a**≤x**∧y*∈I

(x∧a)*∧(y∧a)**=

x*∧y**∧a**≤x*∧y**∈I

(x∧a)++∧(y∧a)+=

x++∧y+∧a++≤x++∧y+∈I

(x∧a)+∧(y∧a)++=

x+∧y++∧a++≤x+∧y++∈I

故(x∧a,y∧a),(x∨a,y∨a)∈RI，所以RI是L上的一个格同余关系。

证RI∈ConL。

设(x,y)∈RI，则

α=(x*∧y**)∨(x**∧y*)

∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I

由于在双重Stone代数中，∀x∈L,有

x***=x*,x+++=x+

x*+=x**,x+*=x++

x*++=(x*+)+=(x**)+=(x*)*+=x***=

x*,x+**=(x+*)+=x+++=x+

将(x*,y*),(x+,y+)代入α，并结合上述运算性质得

β=(x**∧y*)∨(x*∧y**)≤α

γ=(x++∧y+)∨(x+∧y++)≤α

因此β，γ∈I，即(x*,y*),(x+,y+)∈RI，于是RI∈ConL。

证I=KerRI。由于在双重Stone代数中，0+=1,1+=0,0*=1,1*=0。设i∈I，由引理2知，i**∈I。由引理1知，i++≤i≤i**，，故i++∈I，从而有i**∨i++∈I。又因

(i*∧0**)∨(i**∧0*)∨(i+∧0++)∨

(i++∧0+)=i**∨i++=i**∈I

因此(i,0)∈RI，即i∈KerRI，所以I⊆KerRI。

设x∈KerRI，即(x,0)∈RI，则

(x*∧0**)∨(x**∧0*)∨(x+∧0++)

∨(x++∧0+)=x**∨x++=x**∈I，又因x≤x**，故x∈I，于是KerRI⊆I，因此I=KerRI。

证RI是具有核理想I的最大同余。

设θ∈ConL，I=Kerθ，令(x,y)∈θ，则(x*,y*)∈θ,(x+,y+)∈θ。

设i∈I，有i*∧i**=0，i+∧i++=0，故x*∧y**≡0(θ),x**∧y*≡0(θ),x+∧y++≡0(θ),x++∧y+≡0(θ)。

所以

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y+)≡0(θ)

则

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y+)∈I

从而(x,y)∈RI，故θ≤RI。定理得证。

设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，在L中有两个基本同余关系：G*，G+，它们的定义为：

(x,y)∈G*⟺x*=y*

(x,y)∈G+⟺x+=y+

结合引理1中，双重Stone代数的运算性质，易得G*，G+∈ConL。定理1中所定义的RI满足下列推论。

推论1设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，I,J∈KI(L)，则

(1)R({0})=G*∧G+;

(2)I≤J⟺RI≤RJ。

证明(1)设(x,y)∈R{0}，由定理1得(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y++)=0，又由双重Stone代数的运算性质知，x**=y**,x++=y++，因此(x,y)∈G*∧G+，故R({0})⊆G*∧G+。

另一方面，设(x,y)∈G*∧G+，则x*=y*,x+=y+，

于是得

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨

(x+∧y++)∨(x++∧y++)=0

故有(x,y)∈R{0}。所以R({0})=G*∧G+。

(2)设I,J∈KI(L)，且I≤J。由RI,RJ的定义知，RI≤RJ。另一方面，若RI≤RJ，则KerRI≤KerRJ，又由定理1的证明知，I=KerRI,J=KerRJ,所以I≤J。

设i∈(x**]∩I，则i≤x**，i∈I。因为y*∧i=y*∧i∧x**=(y*∧x**)∧i≤s∧i=0，故i≤y**，从而i∈(y**]∩I，因此(x**]∩I⊆(y**]∩I。

同理(y**]∩I⊆(x**]∩I。所以(y**]∩I=(x**]∩I。

另一方面令i∈(x++]∩I，则i≤x++，i∈I。

因为

y+∧i=y+∧i∧x++=(y+∧x++)∧i≤s∧i=0

从而i≤y++，故i∈(y++]∩I，因此(x++]∩I⊆(y++]∩I。

反之，设(x,y)∈α，则(x**]∩I=(y**]∩I，

(x++]∩I=(y++]∩I。

于是

(x**∧y*]∩I=(y**∧y*]∩I=0

(x++∧y+]∩I=(y++∧y+]∩I=0

同理(y**∧x*]∩I=0，(y++∧x+]∩I=0。所以，对于任意的i∈I，

[(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y++)]∧i=0

故

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨

设(L;∨,∧,*,+,0,1)是一个双重Stone代数，I∈KI(L)，由定理1知，关系RI是具有核理想I的最小同余，由引理2和引理3知，关系δI是具有核理想I的最大同余。它们满足下列的等式关系。

定理3RI=δI∨(G*∧G+)

证明设(x,y)∈RI，则α=(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y++)∈I，根据双重Stone代数的运算性质得，x**∨α=y**∨α，x++∨α=y++∨α。由同余关系δI，G*，G+的定义可得

所以

(x,y)∈G*∨δI,(x,y)∈G+∨δI

因此

(x,y)∈(G*∨δI)∧(G+∨δI)=

(G*∧G+)∨δI

于是得RI≤δI∨(G*∧G+)。

另一方面，由引理2知I=KerδI,又推论1知δI≤RI，易见G*∧G+≤RI，故δI∨(G*∧G+)≤RI。

综上即得RI=δI∨(G*∧G+)。

3结束语

理想是研究Ockham代数类的结构及同余关系的一个重要工具，结合核理想的性质，使人们对抽象的相关Ockham代数类的结构及同余关系有一个清晰的认识，有助于了解双重Stone代数的结构, 所得结论为其它Ockham代数类核理想性质的研究提供了方法, 同时丰富了序代数结构理论。

[1] BLYTH T S ,VARLET J C.Ockham algebras[M].Oxford: Oxford University Press,1994.

[2] BLYTH T S ,VARLET J C.On a common abstraction of de Morgan algebras and Stone algebras[J].Proc.Roy.Soc.Edinburgh,1983,94A:301-308.

[3] FANG J.Distributive Lattices with Unary Operations[M].北京:科学出版社,2011.

[4] 方捷.格论导引[M].北京:高等教育出版社,2014.

[5] GRATZER G.Lattice Theory[M].New York:W.H.Freeman and Company,1971.

[6] 赵秀兰,陈丽娟. 双重Stone代数的核理想[J].四川理工学院学报:自然科学版,2017,30(1):88-91.

[7] 黎爱平,章书文.双重Stone代数的素理想与同余关系[J].上饶师范学院学报,1999,19(6):12-15.

[8] 方捷,吴丽云.拟补Ockham代数的理想与滤子[J].数学学报.2004,47(4):647-652.

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[10] 罗从文.MS-代数的核理想[J].应用数学,2001,14(1):39-41.

[11] 赵秀兰,初元红,史西专.双重伪补Ockham代数的理想与滤子同余关系的注记[J].汕头大学学报:自然科学版,2016,31(1):35-40.

[12] 王雷波,方捷.双重伪补代数的假值理想的一点注记[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(1):119-122.

[13] 王雷波,方捷.几乎伪补格的核理想与W-理想[J].模糊系统与数学,2012,26(1):61-66.

[14] 牛超群,吴洪博.BRo代数中的*理想及其诱导的商代数[J].江西师范大学学报:自然科学版,2013,37(3):221- 224.

[15] 赵秀兰,马红娟,初元红,等.双重半伪补de Morgan代数的滤子同余关系[J].模糊系统与数学,2015,29(4):19-26.

[16] 朱怡权.双重Stone代数的主同余关系[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(4):520-525.

A Note on the the Kernel Ideal on Double Stone Algebras

ZHAOXiulan1,CHENLijuan2

(1.Department of Mathematics and Physics, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China;2.College of Science, Henan Institute of Engineering, Zhengzhou 451191,China)

The concept of kernel ideal on double Stone algebras is introduced , the expression of the largest congruenceRIon a double Stone algebraLwith kernel idealIis constructed, (x,y)∈RI⟺(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I.According to the operational characteristics of double Stone algebras, some equivalent expressions of the double Stone algebras are obtained. The main results are as follows:LetLbe a double Stone algebra, ifIis an kernel ideal ofLthenRI=δI∨(G*∧G+)，where(x,y)∈δI⟺(∃i∈I)x∨i=y∨i；(x,y)∈G*⟺x*=y*，(x,y)∈G+⟺x+=y+.The conclusion provides a method for the study of the properties of the other Ockham algebras, and enriches the theory of ordered algebraic structures.

Stone algebras; dual Stone algebras; double Stone algebras; kernel ideal; congruence

2017-04-03

国家自然科学基金(11302072)；河南省基础与前沿技术研究(152300410129)

赵秀兰(1982-)，女，河南商水县人，副教授，硕士，主要从事序代数结构方面的研究，(E-mail)xiulanz@126.com

1673-1549(2017)03-0089-05

10.11863/j.suse.2017.03.18

0153.1

A