中值定理的行列式法证明及推广

王文华，陈峥立，李 玮

(1.陕西师范大学 a.民族教育学院；b.数学与信息科学学院，西安 710062;2.武警工程大学 理学院，西安 710078)

【自然科学基础理论研究】

中值定理的行列式法证明及推广

王文华1a，陈峥立1b，李 玮2

(1.陕西师范大学 a.民族教育学院；b.数学与信息科学学院，西安 710062;2.武警工程大学 理学院，西安 710078)

首先根据罗尔中值定理，构造行列式证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理；其次，分别建立了3个函数和4个函数的中值定理以及二阶可导函数的广义中值定理；最后,列举了通过构造行列式解决具体问题的实例。

行列式；导数；中值定理

0 引言

微分中值定理是微积分学中的一组重要定理，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，在微积分教学与研究中具有承前启后的作用。然而，在证明了罗尔中值定理之后，如何再去证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，是一个比较困难的问题。通常采用的方法是构造辅助函数法，并且与微分中值定理相关的证明题，大多数也需要作辅助函数才能完成，因而构造辅助函数是证明此类问题的关键。目前的参考书上介绍了多种构造辅助函数的方法[1-3]，但对于学生来讲，要构造合适的辅助函数仍是比较困难的。目前已有不少关于如何构造辅助函数的讨论与研究，例如：文献[4]给出了用原函数法和系数法构造辅助函数；文献[5]用构造行列式法给出证明；文献[6]根据Darboux定理构造另类函数；文献[7]在通常的辅助函数上，采用区间套方法给出证明；文献[8]总结了4种构造辅助函数的方法；文献[9]通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数，并明确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法；文献[10]通过构造含参数的辅助函数证明中值定理。这些证明方法中，行列式法将线性代数用于微积分，其证明方法简捷明了，不仅让初学者认识并理解微分中值定理，而且为其以后的学习打下了坚实基础。

本文应用行列式理论以及求导方法，在罗尔中值定理的基础上，对拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行了再一次证明，并得到了一些广义中值定理。

1 预备知识

首先我们给出行列式的求导法则和罗尔中值定理的内容。

定理1[1]设fij(x)(i,j=1,2,…,n)为可导函数，则

定理2 (罗尔中值定理)[1]如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得f′(ξ)=0。

2 中值定理的行列式法证明

证明 构造行列式

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续, 开区间(a,b)内可导, 且

进一步计算得φ(a)=φ(b)=0。 根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即(b-a)f′(ξ)+f(a)-f(b)=0。 故

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且φ(a)=φ(b)=0，并有

根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

[f(b)-f(a)]g′(ξ)=[g(b)-g(a)]f′(ξ)。

故

3 中值定理的推广

定理5[5]如果函数f(x),g(x)及h(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且φ(a)=φ(b)=0,并有

根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

[g(a)h(b)-g(b)h(a)]f′(ξ)+[f(a)g(b)-f(b)g(a)]h′(ξ)

=[g(a)h(b)-g(b)h(a)]g′(ξ)。

定理6[5]如果函数f(x),g(x)及h(x),p(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且φ(a)=φ(b)=0。

根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且φ(a)=φ(c)=φ(b)=0，并有

根据罗尔中值定理知，至少存在点α∈(a,c)，β∈(c,b), 使得φ′(α)=φ′(β)=0。

又因为φ′(x)在闭区间[α,β]上连续, 在开区间(α,β)内可导，且

f″(x)(cb2+ac2+ba2-ca2-bc2-ab2)。

再次利用罗尔中值定理知，至少存在一点ξ∈(α,β)⊂(a,b)，使得φ″(ξ)=0。 故

定理8 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内三阶可导, 那么对∀c,d∈(a,b),(c

显然φ(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且φ(a)=φ(c)=φ(d)=φ(b)=0。

根据罗尔中值定理知，至少存在点α∈(a,c)，β∈(c,d)，γ∈(d,b), 使得

φ′(α)=φ′(β)=φ′(γ)=0。

又因为φ′(x)在[α,β]及[β,γ]上分别连续, 在(α,β)及(β,γ)内可导，则至少存在点μ∈(α,β)，ν∈(β,γ)，使得φ″(μ)=φ″(ν)=0。

再次利用罗尔中值定理，则至少存在一点ξ∈(μ,ν)，使得φ‴(ξ)=0。 由于

4 应用

例1 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少存在一点ξ, 使等式f(a)=ξf′(ξ)+f(ξ)成立。

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，并有

根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

f(a)-ξf′(ξ)-f(ξ)=0。

从而，f(a)=ξf′(ξ)+f(ξ)。

特别地，当f(a)=f(b)=0时，有ξf′(ξ)+f(ξ)=0。

例2 如果函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b](ab>0)上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且g′(x)在(a,b)内的每一点处均不为0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且φ(a)=φ(b)=0，并有

根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

故

显然φ(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且φ(a)=φ(b)=0，并有

根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

由罗尔中值定理知，在区间[a,1]上，至少存在一点ξ∈(a,1)⊂(0,1), 使得φ′(ξ)=0，即

f(ξ)+ξf′(ξ)=0。

[1] 同济大学数学教研室．高等数学：上册[M]．第6版．北京：高等教育出版社，2007．

[2] 同济大学数学教研室．高等数学：下册[M]．第6版．北京：高等教育出版社，2007．

[3] 朱永忠，郑苏娟．高等数学：上册[M]．北京：科学出版社，2008．

[4] 刘文武．两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨[J]．数学的实践与认识，2005，35(8)：242-247．

[5] 杨耕文．用行列式法证明微分中值定理[J]．洛阳大学学报，2006，21(4)：49-52．

[6] 王秀玲．微分中值定理的另类证明与应用[J]．安庆师范学院学报(自然科学版)，2010，16(4)：93-95．

[7] 王家军．微分中值定理的另类证明与推广[J]．大学数学，2008，24(4)：169-171．

[8] 余丽．微分中值定理的证明及应用中的辅助函数构造[J]．重庆三峡学院学报，2014，30(3)：21-24．

[9] 宋振云，陈少元，涂琼霞．微分中值定理证明中辅助函数的构造[J]．高师理科学刊，2009，29(2)：10-13．

[10] 程建玲．微分中值定理的证明及推广[J]．枣庄学院学报，2014，31(5)：63-66．

【责任编辑 牛怀岗】

TheProofsofMeanValueTheoremsbyUsingDeterminantMethodandExtension

WANGWen-hua1a，CHENZheng-li1b，LIWei2

(1a.SchoolofEthnicNationalitiesEducation；1b.SchoolofMathematicsandInformationScience，ShaanxiNormalUniversity，Xi’an710062，China；2.CollegeofScience,EngineeringUniversityofCAPE,Xi’an710078,China)

Firstly，according to Rolle mean value theorem，the determinants to reprove the Lagrange mean value theorem and the Cauchy theorem are constructed.Secondly，the mean value theorems of three functions and four functions are established，respectively，as well as the generalized mean value theorems of high order differential function are obtained.Finally，several examples are showed to illustrate the application of the determinant method to solve the problem.

determinant; derivative; mean-value theorem

O151.22

A

1009-5128(2017)08-0026-07

2017-01-15

国家自然科学基金项目：量子绝热计算的理论与应用(11601300)；国家自然科学基金项目：PT-对称量子系统的基础理论研究(11571213)；国家自然科学基金项目：线性算子的谱结构及其扰动分析(11471200)；国家自然科学基金项目:多体量子关联的动力学与时间演化(11401359)；国家自然科学基金项目：量子态分类与量子绝热逼近中的算子论方法(11371012);中央高校基本科研业务费项目：无限维绝热量子计算模型(GK201703093)

王文华(1987—)，女，陕西渭南人，陕西师范大学民族教育学院讲师，理学博士，主要从事算子理论与量子信息研究;陈峥立(1973—)，男，陕西西安人，陕西师范大学数学与信息科学学院副教授，理学博士，主要从事算子代数与量子信息研究。