数学原理教学及其设计

方友明　李丽芳

摘 要 以促进中学数学原理课的教学效果为目的，在总结国内数学原理课教学及其设计的研究现状基础上，分析中学数学原理的本质、学习的程度以及原理课教学所采取的由原理到例子的教学内涵，并设计由原理到例子的数学原理课教学设计的案例，以期为中学教师的教学提供帮助和借鉴。

关键词 数学原理 教学设计 案例

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2017）12-0025-03

在中学数学教学中，数学原理课是一门很重要的课程，在数学学习中起着很重要的作用，而部分教师在原理教学过程中只教会了学生数学原理要记住数学公式、数学法则、数学性质和数学定理，而并没有让学生理解这个原理的真正的数学意义。因此讲授数学原理时不仅仅是让学生单纯的学会数学公式、数学性质、数学定理、数学法则，而是要他们理解数学原理的真正含义并能实际运用。而原理课的教学设计是教师为了使学生在学习数学原理时更容易接受和更好的理解数学原理。教学中教师要让学生理解并掌握数学原理，把握住数学思想，感悟出数学的思维方式，提高学生学习数学原理课的兴趣，还要使学生了解原理的公式、性质、法则、定理在整个数学知识系统中的作用、地位和价值，寻找如何在中学数学原理教学中让学生轻松学好原理的方法。

本文主要探讨是原理课的教学和设计，讲述中学数学学习原理课的本质、学习的程度以及学习原理课的几种形式，列举原理课的教学设计的案例，为中学教师的教学提供帮助和范例。

一、数学原理教学的研究现状

我国在很早以前的教育史上就出现了关于数学原理的研究，他们不仅注重数学原理的言语性信息还注数学原理的本质。到了当代，数学原理的教学及其设计的理论与实践出现了勃勃生机。从上世纪80年代到现在，我国教育界对数学原理的教学及其设计进行了许多的理论与实践研究。近年来国内关于本论文的研究很多，有学术性论文、硕士论文和博士论文，杨勤合于2012年在《学周刊》第5期刊登了《新课程理念下数学原理的教法和学法》一文，分析了新课程下的原理教学的方法以及做好原理课设计的各项工作。数学原理教学及其设计的理论研究以及各种模式的教学实验已出具规模，对其教学和设计的课程的开展提供了理论依据。

数学原理课的教学及设计有着长久的历史，从古至今，国内外关于数学原理教学的文章有很多，由此可见，数学原理教学及其设计是具有重要意义的课题，值得我们去关注，并通过案例解析。同时，对数学原理教学及其设计的研究也是有理论依据和研究背景的，广大学者的研究结晶有助于我们进一步实践。教师在教学过程中改变原理课的教学方式、教学手段，通过案例分析，突出数学原理课的重要性，可以提升其教学设计情操和能力，融入学生，做学生的良师益友，让学生喜欢数学原理课，提升学生学习数学的兴趣。

二、数学原理教学的本质

1.数学原理的本质

数学原理的理解一般分为两种，一种理解为客观原理，采用言语符号信息来描述概念之间的关系，属于陈述性知识；另一种理解为主观原理，即学习者的心理操作反应系统（产生式系统），是学习者在某些特定的情况下能根据各种关系做出相关响应的反应，属于程序性知识。

数学中的原理主要包含定理、公式、性质和法则。学习数学原理主要是学习数学公式、数学定理、数学性质、数学法则。教师在数学原理教学中应树立以下理念：

（1）数学原理的学习就是数学概念之间关系的学习，概念学习也就成为原理学习的基础。

（2）数学原理的学习不但要习得原理的言语性知识，还得习得原理的心理意義。

（3）习得数学原理的不是孤立地掌握某一个数学原理，而是要在各个原理之间建立起联系，形成一种原理网络。

（4）学习数学原理的本质是习得产生式。只要信息条件满足，相关的行为反应就会出现，学习者可以据此指导自己解决遇到的新问题。

2.数学原理学习的几种程度

了解、理解、掌握和综合应用是数学原理的四种程度学习水平：

（1）了解：能复述出原理的言语信息，并能辨认出这种原理的常见题型，还能列举出一些相关例子。

（2）理解：能区别原理的反例与例证，能与相关的数学原理建立联系，能掌握原理的本质属性。

（3）掌握：在理解的基础上，直接将原理运用在新的问题情境中。

（4）综合运用：在综合类型的题目中运用原理解决问题。

3.数学原理教学的几种形式

学习数学原理不仅要学会原理的言语性知识，还要掌握原理的程序性知识。在数学原理课堂教学中一般有两种教学形式，即由原理到例子的教学和由例子到原理的教学。

由例子到原理的教学是教师先向学生提供丰富的例子，通过教师的适时指导，使学生从例证中顺利、准确地归纳总结出一般结论。这是一种独立发现式学习，对学习者认知水平要求较高，简称为“例子—原理法”。

由原理到例子的教学是教师先向学生呈现数学原理，让学生在掌握构成原理的各个概念、原理的基础上，运用实例来说明原理的准确性（有时需要逻辑证明），并指导学生运用原理解决问题，从而让学生掌握住原理。这是一种接受式学习，简称“原理—例子法”。对学习者认知水平要求不高，初中数学教学过程中主要采取原理到例子的教学形式，在掌握数学原理本质的基础上，运用大量的例证来说明原理所反映的关系。

高中的学习正弦定理和余弦定理，教师可以先呈现正弦定理“在三角形中，各边和它所对的正弦的比相等”和余弦定理“三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。”然后再通过具体的例子来说明这个数学原理的运用，接着通过一些练习让学生掌握这个数学原理。但采用“原理到例子的学习”的前提条件是，学习者必须已经掌握了构成这个原理的其他项的概念。比如说，在正弦定理中，学习者必须已经掌握了什么是正弦角和余弦角，否则就不会运用由这些概念构成的正弦定理。

三、原理到例子的教学设计

1.原理到例子的教学模式

数学原理的学习是有意义的学习，是新旧数学原理知识的相互作用，从而形成新的认知结构的过程。如果学生的认知结构中具备了新原理的相关的适当观念，就能促进新原理的学习。在课堂教学中，老师可以适当引导学生回忆、复习与原来相关的旧知识，以便帮助学生同化新的原理。

在初中学习原理“偶函数的图像关于y轴成轴对称图形，奇函数的图像关于原点成中心对称图形”。老师应该引导学生复习偶函数、奇函数、轴对称图形、中心对称图形、两点关于一条直线对称和两点关于一点对称等概念，这样才可能让学生同化新原理。

2.原理到例子的教学设计

课题两角和的余弦公式。

教学内容三角恒等变换，两角和的余弦公式。

[教学目标]

学会推导并熟记平面内两点间距离公式；能够运用公式从正反两个方向解决简单应用问题，为建立其他两角差的公式奠定基础。

[教学重点和难点]

教学重点：两角和的余弦公式的推導及运用。

教学难点：两角和的余弦公式的灵活运用。

[学法与教学用具]

学法：启发式教学

教学用具：多媒体

[教学过程设计]

（一）导入

让学生先讨论“cos（45€？30€埃？cos45€？cos30€笆欠癯闪ⅲ俊薄#ㄑü厥饨侨呛岛陀嘞液闹涤颉⒓扑闫鳌⒘坑嘞蚁叩某ざ热滞揪督饩鑫侍猓5贸鯿os（45€？30€埃賑os45€？cos30€啊=贸鯿os（ + ）≠cos +cos 这个结论。此时再次提出那么cos（ + ）又等于什么呢？这正是我们今天要研究的内容。（揭示课题：两角和的余弦。）

设计意图：通过创设情境，顺其自然地提出问题，揭示出课题，引导学生思考。使学生明确目标、迅速进入角色。

复习提问：

（1）画出一个钝角、一个锐角的余弦线、正弦线。

（2）如果单位圆与角a的终边相交于某点P，那么点P的坐标可以用角a的三角函数值表示吗？怎样表示？

（3）用在同一坐标轴上的两点写出两点间距离公式。

新课引入：我们在解决上面的三个问题之前，先解决“平面内两点间距离的求法”这一问题。

通过上面的知识点回顾，我们了解了同一坐标轴上两点间距离公式。那么，坐标与平面内两点间距离有什么关系呢？（通过具体的例子让学生观察同一坐标轴上两点间距离和平面内两点间距离的关系。）

教学过程：

3.结论

对于数学原理课的教学设计，不仅需要对原理掌握透彻，而且还需要灵活的运用，善于将知识之间的联系紧密连接起来，因此我们需要不断的分析典型的教学案例，找出其内在的规律与联系，这样才能对原理课的教学及其设计才有更深刻的掌握、理解及运用。

总之，数学原理课的内容形式变化不断，教学设计要有适应性、灵活性，我们要善于思考、分析、总结，才有可能找出问题的突破口，从而解决问题。

参考文献：

[1]陈晓慧.教学设计[M].北京：电子工业出版社，2005.

[2]乌美娜.教学设计[M].北京：高等教育出版社，1994.

[3]马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报，2001，（3）.

（责任编辑 陈 利）