“解决问题”教学纪实与反思

于鸿儒

教学内容：人教版小学《数学》五年级下册4单元。

教学目标：

1.能在具体生活情境中提炼数学信息、处理信息，并能应用公倍数和最小公倍数的知识解决生活中的實际问题。

2.通过摆一摆、拼一拼、画一画、算一算的方法，经历解决问题的全过程，提高解决问题的能力。

3.在知识的应用过程中，培养观察、归纳、总结的能力，运用转化的数学思想解决生活中的问题。

教学重点：

能在具体生活情境中提炼数学信息、处理信息，并能应用公倍数和最小公倍数的知识解决生活中的实际问题。

教学难点：

在知识的应用过程中，培养观察、归纳、总结的能力，运用转化的数学思想解决生活中的问题。

教学流程：

一、创设情境，激发兴趣

师：上一周我们学校组织了一次创意大赛，我们班一位同学设计的水果密码锁获得了一等奖。（课件演示。）密码锁是由这样两个多边形的水果图案组成的，一个是正五边形，一个是正方形也就是正四边形。两个图案沿着边进行转动，当图案又重新完整拼回时，边转动的次数就是密码。你能快速猜猜密码是多少吗？

生1： 5。

生2： 4。

生3： 20。

师：那好吧，大家一起帮我数一数。

（课件演示，学生数。结果学生发现猜测似乎和实际不一样。）

【设计意图：从游戏入手，一下子就激发学生学习的兴趣。又由于猜测的结果和想象的不太一样，使得学生想探究的欲望更加强烈，因此，学生很快便投入到学习活动中来。】

二、自主合作、探究新知

师：看来这个问题不是想当然的那么简单，所以我们就要进行研究，到底该怎么研究呢？你们觉得用什么方法研究比较好呢？

…………

师：是啊，多好的办法啊，实践出真知，只有亲自动手实践得出的结论才更有意义、更有价值，我们的印象才会更深刻。

接下来，我们就在小组内亲自动手摆一摆，转一转老师为你准备的学具，数一数转了多少次之后，图案又完整地拼合了。首先我们先来看看操作要求。

操作要求：（课件出示。）

1.小组动手操作，旋转图片，发现规律。（每组图片的形状各不相同。）

2.全班汇报。

生1：我们组转了12次。

生2：我们组转了8次。

生3：我们组转了20次。

生4：我们组转了8次……

师：为什么转动这些次数？转动的次数和谁有关？

生：和两个图形的边数有关。

师：这组同学能找到问题的关键进行研究，聪明！其实这个过程就是提炼数学信息的过程。

师：什么规律呢？你能用自己组的例子说出你的发现吗？

生：我们组是正方形和正六边形，边数分别是4和6，它们的最小公倍数是12，所以转了12次，图案就又拼合了。

师：说得好，有根有据，有条有理。谁来继续汇报？（学生边汇报，教师边板书。）

生：我们组是正方形和正五边形，边数分别是4和5，它们的最小公倍数是20，所以转了20次，图案就又拼合了。

生：我们组是两个八边形，边数分别是8和8，它们的最小公倍数是8，所以转了8次，图案就又拼合了。

师：转动20次的小组，正方形转了几圈呢？五边形转了几圈？是怎么算的呢？

生：正方形转了5圈，20除以4等于5。五边形转了4圈，20除以5等于4。

师：正方形和正八边形这一组，分别都转了多少圈呢？

生：分别转了2圈和1圈。

师：真是非常有价值，你们的发现都一样吗？

生：一样。

生：老师，我还发现，当其中一个图形不动，另一个图形绕着它转动时，正好也是转动两个图形的公倍数的次数就可以重合。例如：正方形和正五边形，正方形不动，正五边形绕着正方形转动，正好转20次，图形拼合，正五边形正好转了4圈。

师：你的发现令人惊叹。那如果正五边形不动，正方形绕着正五边形转动呢？

生：也是20次，正方形转动5圈重合。

师：看来，无论是两个图形同时转动，还是某一个图形绕着另一个图形转动，结果都是一样的，是吧？

师：那我们能不能把这个规律用语言概括总结一下呢？

生：我发现这两个图形的边数的最小公倍数是几就转几次，图案就能完整拼合起来。

师：接下来问题来了，为什么转动的次数是两个图形边数的最小公倍数图案就拼合了，为什么不是其他的次数呢？

生：因为图案要想完整地拼合，必须要转动整圈数，也就是五边形一圈需要转动5次 ，四边形一圈需要转动4次。那么想同时转回来需要的是5和4的公倍数。

师：语言准确，精练，具有数学家的潜质啊！我们发现，当遇到实际问题时，可以先从中找到相关的数学信息，然后把它们转化成相应的数学问题，再进行归纳、整理，结论就显而易见了！

师：现在你能快速告诉我，一个七边形和四边形组成的图案，需要转动几次呢？八边形和五边形呢？

师：我们都是在求这一组数据的最小公倍数。（板书：贴在上面。）

小结：看来，科学道理、科学规律并不是凭空产生的。最小公倍数的知识是我们学过的，但是我们很难想象这个事情和最小公倍数有关系。可是一旦联系起来了，就会觉得原来学习最小公倍数是这么有趣。

师：我们在解决实际问题的过程中把它转化成了已知的数学问题，问题是不是就迎刃而解了呢？（板书：实际问题—转化—数学问题。）看来，找到学习的方法，比找到一个结论更为重要。

【设计意图： 让学生通过动手操作经历解决问题的全过程。学生感兴趣的同时，不断提高解决问题的能力。在观察分析、总结归纳中培养学生的数学思维能力。】

三、联系实际，综合运用

我们学校的阅览室还差墙面的装饰没有完成，学校想用长30厘米，宽20厘米的墙砖在墙面上进行装饰，于是向大家征集方案，请问，如果用这种墙砖铺成一个正方形（用的砖必须都是整块的），这个想法能否实现？能铺成边长是多少厘米的正方形呢？

1.独立思考，我们可以怎么解决这个问题呢？你有什么好方法吗？

生1：我们可以动手摆一摆。

师：我不能把墙砖拿来给大家摆一摆啊。

生：我们可以摆学具啊。

师：是啊，学以致用，我们刚刚说过实践是一个好方法。可是我一想啊，这样子准备学具太多了，还要带过来太麻烦。于是我就偷了个懒，没做学具。你们帮我想想还有没有别的好办法了？

生2：可以画图。

师：好方法，可是我怎么画呢？我能把长是30厘米，宽是20厘米的墙砖画到本子上吗？

生：可以缩小了画。

师：怎么缩小呢？

生：可以画一个长3厘米，宽2厘米的长方形。

师：你的提议太好了，既解决了本子上画不下的问题，又使问题变得容易了。

师：还可以怎么画呢？

生：还可以画个草图，标上数字就行了。

师：是啊，这个方法真妙！你与我不谋而合，草图画起来省时，能提高解题的效率。你真是为同学们提了个好建议。

生3：可以算一算。

师：看来我们班的同学不仅会思考，有想法，而且还有方法，我真佩服你们！

3.小组内画一画，说一说有什么发现。

生：能拼成正方形，我们拼的正方形边长是60厘米。

师：为什么是60厘米呢？

生：因为正方形的边长相等，所以要拼成正方形，它的边长必须既是20的倍数，又是30的倍数。也就是它们的公倍数，所以是60厘米。

师：真好，还有不同的结论吗？

生：我觉得可以拼成边长是120厘米的正方形。

师：理由呢？

生：因为120也是20和30的公倍数。所以可以拼成边长是120厘米的正方形。

师：还有不同答案吗？

生：还可以拼成180，240，300，360……

師：有多少种拼法呢？

生：无数种。因为两个数的公倍数的个数是无限的。（板书：公倍数。）

师：看来大家之前的知识掌握得还真是很牢固啊。难道就没有质疑的声音吗？

生：我觉得不能有无数种，因为墙面的大小是有限的，不可能装饰的面积大于墙的面积。

师：你的思维缜密又周全。感谢你的发言，给同学们开启了另一扇思维的窗户。

生：我觉得还不能随便选择一个铺。因为还要考虑作为装饰是否美观的问题。

师：是啊，看看，当我们面临生活中的实际问题时，既要用数学的思维去解决，还要结合实际情况灵活处理。活学活用，才是智慧的表现。

【设计意图：联系生活实际，让学生感受到数学与生活的密切联系，同时又在动手操作中培养学生的数学思维，能总结出解决这类的问题就是要将实际的问题转化成数学问题。】

四、巩固训练，应用提升

课件：

1.小刚和小明决定每天跳绳锻炼身体，小刚每跳3分钟休息1分钟，小明每跳4分钟休息1分钟，两个人什么时间同时休息？第二次同时跳是什么时间？

生：12分钟，3和4的最小公倍数是12。

生：不对，需要休息1 分钟，所以小刚是第4分钟休息，小明是第5分钟休息，他们两个人同时休息，应该是4和5的最小公倍数，应该是第20分钟两个人同时休息。

师：这样分析有道理吗？那么第二次同时跳是什么时间呢？

生：第21分钟。

2.五月份我们学校就要召开春季运动会了，于是我们班的丽丽每天都和爸爸妈妈跑步锻炼身体，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟，丽丽跑一圈用6分钟。你能提出关于公倍数和最小公倍数的问题并解答吗？

小结：这节课，我们运用了公倍数和最小公倍数的知识解决生活中实际的问题。在解决问题的过程中，我们要先提炼出相关的数学信息，然后在头脑中进行加工处理，分析判断，最重要的是找到解决问题的方法，也就是——把实际问题转化成数学问题。最后我们再把它应用到实际问题中去。同学们，是这样吗？

其实，这节课我们运用的公倍数和最小公倍数的知识，只不过是数学知识浩瀚宇宙里的一颗小星星，在今后的学习中，我们可以继续用更多的数学知识来解决生活中的问题！（边说边板书。）

【设计意图：练习难度是逐步提升、循序渐进的，要学会变相思维，多角度地考虑问题。主要是锻炼学生的思维，使学生得到发现问题、提出问题的锻炼，培养学生综合解决问题的能力。】

五、数学文化

其实在古代，希腊与中国等国家或地区都有各自对最小公倍数的认识。古希腊欧几里得在《几何原本》中提出了最小公倍数概念，中国北魏张邱建在《张邱建算经》中阐述了最小公倍数与最大公约数的关系，印度的马哈维拉与日本的关孝和也在后来给出对最小公倍数的理解。

提起神秘的金字塔，人们联想到的是古埃及的灿烂文明，这些令人叹为观止的景象吸引着世界各地的人们前去观光旅游，而对其中的数学家来说，他们真正感兴趣的则是金字塔中的一些象形文字，这些由考古学家在一座金字塔墓碑上发现的象形文字，其中蕴含的数学含义令数学家赞叹不已。 金字塔内引人注目的象形文字，在1822年由弗朗索瓦·高柏良破译得出，原来它们表示的是一个数——2520。数学家经过各种研究，慢慢揭开覆盖在2520头上的面纱，原来2520是自然数1—10的最小公倍数，借此还原了它的奇特面貌。

结束语：看来，数学与生活的关系是密不可分的，希望大家徜徉在数学的王国里，尽情感受数学独特的魅力吧！

反思：

1.精心研究，创新备课。

教学内容，包括例题内容和练习内容是教师组织教学过程、实现教学目标的载体。要达到课堂教学的高效性，就必须努力达到设计教学内容的高效性。因此，我们的教学内容应该是根据学生需要而设定的。在备课的过程中，教材中的例题与最大公因数的解决问题形式类似，对学生来说没有新意。于是，我没有用教材上的例题，而是选择了一个有趣的游戏导入新课。由两个多边形组成的密码锁，当两个图形沿着边转动后，图案再次拼合回来时，转动的次数就是密码。学生一下子就被吸引住了，觉得特别有趣，并产生了想要研究的念头。在第二个环节里，为了使教学有层次性，我创造性地改编了教材，把教材里的3分米、2分米，改成了30厘米和20厘米。学生经历了求两个一位数的最小公倍数到求两个两位数的最小公倍数的过程，难度上稍有提高。

2.通过不同层面的操作，经历探究的过程。

在第一个探索密码的环节，学生兴趣非常浓厚，动手操作直观又形象。为了感受数学的严密性、科学性，感悟“做数学”的基本方法，我给每个小组准备的学具都是不一样的，每个小组之间都是两个不一样的多边形。学生在转动的过程中得出结论，并发现了规律。当最后汇报总结，结果呈现在黑板上时，结论就不言而喻了。学生经历了探究的过程，能力也得到了提高。并且在总结归纳的过程中，学会运用转化的数学思想，让实际问题与数学问题建立了一种联系，将数学应用于生活。在教学第二个环节时，学生已经掌握了学习的方法，于是我给学生自主探究的空间，有的学生思考就能完成，有的学生提出可以画图来解决。于是，我顺势提醒学生画图是帮助你解题的一个好方法。学生经历了动手操作、画图的过程，到最后的理性思考，从中渗透数学思考和数学方法。通过经历这一过程，学生能获得对数学知识更深刻的理解。

3.练习设计有梯度，数学文化有意思。

本节课运用公倍数和最小公倍数的知识来解决实际问题。于是，我在练习题中也创设了筹备运动会锻炼身体的这个情境。第一题虽然是在求两个数的最小公倍数，但在题目上做了文章。小刚每跳3分钟休息1分钟，小明每跳4分钟休息1分钟，什么时间同时休息？最开始，学生们异口同声地回答是12分钟。当我问有没有疑义的时候，有些学生似乎觉得不对了。马上有人发现，问的是什么时间同时休息，其实是第4分钟和第5分钟的最小公倍数，大家豁然开朗。学生总结出解决问题要考虑实际情况，考虑周全的经验。第二道题是一道开放性的题目，让学生自己提出有关于最小公倍数和公倍数的问题并解答。此题的目的也是培养学生提出问题和解决问题的能力。课的最后环节是数学文化，使整节课在理论上达到一个提升，尤其是金字塔里的象形文字既让学生感受到了数学的神秘，又让其对今后的数学学习产生了浓厚的兴趣。

当然，本节课也有很多遗憾的地方，比如，由于第一个环节学生在探究为什么是最小公倍数时耗时过长，导致接下来的环节时间变得紧张，以至于学生有些问题没有说透，甚至自己設计的一处板书也有所遗漏，实属不应该。

（作者单位：哈尔滨医科大学附属逸夫学校）

编辑/魏继军

补 白

1945年8月15日，日本无条件投降的喜讯传到成都，市民们欣喜若狂，以各种形式庆祝，不少人家的门上贴出了大红喜联。其中一联令人过目不忘：

中国捷克日本；

南京重庆成都。

上联为三个国名，下联为三个城市名，全联十二字，一气呵成，明快畅达，大有杜工部《闻官军收河南河北》中“即从巴峡穿巫峡，便下襄阳向洛阳”之势。联语作者用了双关修辞手法：“捷克”作“战胜”之义，“重庆”为“再次庆祝”之义，“成都”当理解为“成为首都”。

1937年12月13日，日军占领南京城，此前国民政府迁都重庆。日本无条件投降，中国战胜了日本，自然应该还都南京，再次庆祝南京成为都城。

此联别具一格，寄寓着胜利者的狂喜之情。