利用隐含条件列方程解题

云南省澄江县第三中学 龚绍林

善于抓住数学问题中的等量关系，正确列出方程，最后通过解方程完成问题的解答是应用方程思想处理数学问题的基本要求，这也是九年义务教育大纲的要求之一。

学生通过教材例题的学习和练习的模仿性练习，基本掌握列方程解题的的方法是不成问题的，但对于相等关系较为隐蔽，已知量与所求量之间的运算关系相对复杂的问题，多数学生列方程解题就以难如愿了。

学生不能顺利地通过列方程完成此类问题的解答，原因多种多样。其中往往忽视隐含条件就列出方程，结果让人沮丧，这往往会造成浪费学生有限的考试时间，进而影响成绩。

本文就初中数学利用隐含条件列方程解题进行探讨。

一、出现“难”的原因

【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，在经过3时12分在C地追上乙，这时两人所走路程的和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？

易错解法：如图1

（图1）

设A、B两地路程为x千米，则B、C两地的路程为（36-x）/2千米，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，根据题意，得：

╳5=x+╳3.02

最后出现0=0

从解题过程可以看出:(1)路程=速度╳时间，方程左右各使用2次，(2)AC=甲速度╳甲走完AC时间，(3)甲走完AC时间=乙走完BC时间，方程两边均未使用。所以所列方程处于不确定状态，导致出现“0=0”

事实上，在题目无误的情况下，列方程解题可重复使用的相等关系只能是基本等量关系，而隐含条件的使用必须做到不重、不漏。

从上面分析可知，解题出现失误的基本原因就是没有完全使用题目中的数量关系。所列方程只是用含所设未知数的两个表面不同形式而内容完全相同的表达式作为方程的左边和右边，所以结果肯定会“0=0”

二、避免出现“难的对策

从根本上来说，列方程解应用题要避免出现“难”的结果，只需要认真审题，找出题目中所有的数量关系，并确保列方程时每一个数量关系的表达式正确无误，准确利用隐含条件，那么列出的方程就能完成问题的解答。

但具体面对一个题目，情况千变万化，要快速找出全部等量关系有时并非易事，因此探求一些具体的方法作为补充，能方便、有效、快速的把握住隐含条件，正确地列出方程。解题时注意下面几个方面。

1.避免重复使用题目等量关系列方程

一般而言，列方程解题如果题目所具有的题目等量关系出现纰漏，是列不出方程的。而要在不使用被遗漏的题目等量关系的情况下强列方程，必然重复使用已找出的等量关系，那结果可想而知。

因此在列方程时，应注意检查所列方程是否重复使用了题目等量关系，是否遗漏了隐含条件，若非得重复使用题目等量关系才能列出方程，得及时回头认真分析题意，找出被遗漏的隐含条件，在行列方程。

2.注意寻找隐含条件

列方程时，学生往往会忽视隐含条件，所以要认真分析题意，借助图形、图表等直观有效的手段找出题目中的隐含条件，是列方程的有效方法。

3.解几何求值问题时要注意分清表示等量关系的同一个定理用于图形不同部分的不同题目等量关系

列方程解几何求值问题时，如果图形中有几个部分同时满足同一个定理的条件，那么分别对这几个部分使用同一个定理则属于几个不同题目的等量关系。不能误认为几个部分使用了同一个定理就认为重复使用了题目等量关系

【例2】在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=4，AD、DE分别为BC边上的中线和高，求DE的长。

(图2)

解：(如图2)设C E=x，则DE=x-3，BE=x+6，由勾股定理可得

-=-

解得 x=1

∴DE=x+3=3+1=4

本体解法列方程左边在Rt△ABE中使用勾股定理，右边在Rt△ACE中使用勾股定理，不属于重复使用题目的等量关系。

4注意弄清常规应用题与可列方程解答的几何求值问题决定相等关系的题目背景材料的差异，以寻找相等关系有的放矢

（1）把握基本等量关系

常规应用题的基本等量关系是由题目所涉及的实际问题决定的，同一类实际问题的任何题目都具有相同的相等关系。如行程问题的基本等量关系是：路程=速度╳时间，工程问题的基本等量关系是：工作量=工作效率╳工作时间，商品销售问题的基本等量关系是：利润=售出价-进货价，利润率=利润/进货价╳100%；等等。而在可列方程解答的几何求值问题中，基本等量关系是由题目图形的性质决定的。通常是图形性质中反映相等关系的几何定理，如三角形内角和定理，勾股定理，切割线定理等。

（2）题目等量关系

由于题目中的等量关系可以由题目语句直接给出，几何题目中还可以由题目图形给出，及题目语句结合题目图形给出。

所以，我们应充分寻找题目中的隐含条件，常规应用题结合题目语句，借助图形、图表、文字记录相等关系等直观手段；可列方程解答的结合求值问题应把题目语句与题目图形二者紧密结合起来。确定题目的基本等量关系，找出隐含的数量关系。并在此基础上，抓住可作进一步推理的每一条题目信息，通过观察、比较、分析与综合、归纳等思维过程，进行深层次推理发掘，找出题目隐含的等量关系，列出方程，直到列出的方程完成题目的解答为止。

笔者几年来的教学实践证明，引导学生领会进而掌握寻找题目中的隐含条件，对学生正确列方程解应用题是及其有效的。