特征函数在概率论及数理统计中的简单应用

陈晓

摘 要 在概率论和数理统计课程中，经常求独立随机变量和分布的问题，分布函数发较为繁琐，是处理这些问题的有力工具是特征函数，它能把寻求独立随机变量和分布运算转换成乘法运算，本文阐述了特征函數的基本概念以及特征函数的一些简单应用。

关键词 特征函数 独立性 指数分布 卡方分布

1特征函数的定义

设是一个随机变量，称， 为的特征函数。因为，所以总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以常称为某分布的特征函数。

2特征函数的应用

2.1指数分布的数学期望和方差

已知随机变量服从参数的指数分布，随机变量的特征函数，，由此可得 ， 。

用特征函数求指数分布的数学期望和方差， 要比从定义计算反常积分简便不少。

2.2 利用特征函数方法证明泊松定理

证：设随机变量，则随机变量的特征函数为，又，所以

而是参数为的泊松分布的特征函数，又有特征函数的唯一性可知结论成立。

2.3在求独立随机变量和的分布上的应用

设是个相互独立的随机变量，且均服从标准正态（0，1）分布的正态随机变量，求随机变量由于，根据随机变量数学期望的计算公式可得相应随机变量的特征函数为

。

由特征函数的性质可得随机变量的特征函数为。

有概率论知识可知这是的特征函数可以看出卡方分布是伽马分布的特例，通过特征函数的算法结果更直观，也更能揭示本质。同样地，我们可以按照以上推导方法，可以得到正态分布二项分布，泊松分布和伽马分布也具有可加性，利用特征函数就要方便得多，而且对多个随机变量的和可直接讨论。

2.4证明分布函数的弱收敛性

设随机变量服从参数为€%Z，€%d的伽马分布，当时，随机变量按分布收敛于标准正态分布。 即 .

证：设的特征函数为，两边取对数，，并将展开为级数形式，

所以 ，而正是标准正态分布的特征函数，由特征函数的唯一性可得：。

在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的乘积性质的推广，往往能使问题得到简化。

参考文献

[1] 茆诗松，程依明，等.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社.2011.

[2] 浙江大学.盛骤等概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2008.

[3] 李贤平.概率论基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社.1997.

[4] 同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社.2002.