液体加速运动时内部压强如何变化

王伟民

摘要：分别探究装满液体的封闭容器和盛放液体的敞口容器加速运动过程中，液体内部压强的变化规律，举例说明这种规律的应用.

关键词： 液体；加速；封闭；敞口；压强

由于液体自身重力，且具有流动性，液体内部和侧壁会“表现”出跟固体不同的压强特性来——液体不但对盛放它的容器器壁和底部产生压强，而且在其内部也存在各个方向上的压强.利用压强的定义公式p=FS，建立液柱物理模型，可以推出静止液体内部（指相对于地面保持静止的液体），距离自由液面深度为h的位置，液体由于具有重力而产生的压强大小为p=ρgh.

由液体压强公式p=ρgh可以看出，对于确定的液体来讲，其密度ρ是常量，将g和h作为变量时，液体内部的压强不仅跟液体的深度有关，同时跟重力加速度的大小有关.当容器相对于地面具有某一方向的加速度时，液体压强公式p=ρgh中的g会随之改变，液体内部的压强也将发生变化.我们分别探讨容器相对于地面具有各个不同方向加速度时，液体内部压强的变化规律.

1.若容器相对于地面具有竖直方向上的加速度a，则a与g同向时，有g'=g-a，当a与g反向时，有g'=g+a，此时，液体内部由于液体具有重力而产生的压强大小为p′=ρg′h.特别的，当盛放液体的容器作自由落体运动时，容器相对于地面的加速度为重力加速度g，相当于g′=0，液体内部的压强为0.在这种情况下，浸没于液体中的物体，其表面尽管与液体相接触，但物体各表面却不受液体的压力，当然也不受液体的浮力.处于完全失重的物体，不论其密度比液体的密度大还是小，都可以悬浮于液体之中相对于容器保持静止.

2.若容器相对于地面具有水平方向上的加速度a，如果是封闭的容器装满液体，则液体的形状不变，除了液体因具有重力使得上下层液体相互挤压，液体中不同深度的位置压强不同之外，若将液体沿竖直方向前后分成若干层，当液体随容器向前作加速运动时，竖向的每层液体所受前后相邻两层液体的平均压力不等，在液体内的同一深度，每层液体的前后面所受液体的压强也将不再相等.

如图1所示，一封闭的长方体容器装满液体，将容器中的液体沿竖直方向分成厚度均等的液片，由于每层液片的质量相等，随容器运动的加速度也相等，由牛顿第二定律可知，各液片前后面所受相邻两液片的压力差相等，所以，在液体中的同一水平面上，液体内部的压强不再相等——靠近前方的位置压强小，靠近后方的位置压强大，而且压强随水平面上的点离开前后面的距离作均匀变化.与液体内部的压强公式p=ρgh的导出过程相仿，我们可以从逻辑上进行证明，液体内部同一水平面上前后距离为l的两点，因液體具有向前的加速度a时，这两点压强差为Δp=ρ液al.（例2后面的解析给出了该公式的推导过程）

3.若容器相对于地面具有任意方向的加速度a，我们可以将该加速度分解为竖直和水平两个互相垂直方向的加速度，再将问题归结为上述的1或2情形给出的方法进行解决.

例1如图2所示，一小车的密闭车厢内装满水，密度比水小的木球用一根轻杆光滑地链接于水平车厢的底部，已知小车、水和木球的总质量为1kg.将小车置于光滑水平地面上，施加F=5N的水平向右的恒力，求系统稳定后轻杆与水平车厢底面的夹角.（取g=10m/s2，所求夹角的大小，结果可以用反三角函数表示）

解析小车系统受向右恒力作用而向右加速运动，系统稳定之后，封闭车厢内的水在同一水平面上，离开车厢前（右）侧壁的距离越大，压强也越大，所以相对于车厢保持静止的木球受到4个力的作用——水对木球竖直向上的浮力F浮，木球重力G，水对木球水平向前的作用力F水（在这个力的作用下，相对于车厢，木球将向前运动）和轻杆对木球的拉力F拉，如图3所示.跟液体对浸没在其中的物体产生竖直向上浮力的大小F浮=ρ液gV排 的证明过程类似，可以证明，木球因水的加速所受水的水平向前的力的大小为F水=ρ水aV排，则有：

F拉sinα+ρ木gV木=ρ水gV木

ρ水αV木-F拉cosα=ρ木aV木

整理得：F拉sinα+ρ水gV木=ρ木gV木

F拉cosα=ρ水aV木-ρ木αV木

两式相除得：tanα=（ρ水-p木）gV木（ρ水-ρ木）aV木=ga=2

故α=arctan2

如果盛放液体的容器不是封闭而是敞口的，当容器沿水平方向加速运动时，液体的形状会发生改变，此时液面将不再保持水平，跟静止容器内盛放的液体相比，液体内部的压强规律也将发生改变.

例2如图4所示，敞口的长方体车厢内装有粘滞系数比较大的某种液体，小车置于光滑水平地面上，小车和液体的总质量为10kg.对小车施加一个水平向右F=20N的恒力，问：液体稳定后，液面是平面还是曲面？如果是曲面，试确定曲面的形状；如果是平面，求出液面与水平面的夹角（粘滞系数大的液体易于达到稳定状态）.

解析小车向右加速时，相对于车厢，由于惯性液体往车厢的后部“挤”，因为液体具有流动性，所以，稳定之后的液体上表面将不再是水平面，相对于车厢会形成一个前低后高的倾斜液面.过液面与车厢前壁的交点A（实际上液面与前壁的公共部分应该是一条向画面里面延伸的线段，侧视图中我们只能看到一个点）作一水平面AC，如图5所示.在车厢内该水平面之下截取一片很薄的液片，并按前后方向将液片分成n等份（每一部分都是向画面里面延伸的小液柱），显然，这些小液柱的质量相等，它们随小车一起向前（右）运动，具有共同的加速度，因此，各小液柱左右两面所受相邻液柱的压力差相等（各液柱所受相邻液柱压力的合力方向向右，用来提供液柱向前的加速度），因此，各液柱左右两侧面所受的压强差相等，由液体压强公式p=ρgh可知，各小液柱左右两侧距离液面的竖直高度差相等，所以，车厢内稳定后的液体上表面，不是曲面，而是一个向前倾斜的平面.

从n个小液柱中任取一个进行定量研究，假设该液柱的左右长为l，左右两侧的截面积为S，液体密度为ρ液，左右两侧面所受的压强差为Δp，由牛顿第二定律可得：

Δp·S=Slρ液a 得Δp=ρ液al

由该等式可以看出，在水平方向加速运动的液体，在其内部同一水平面上前后不同位置的两点压强不等，其压强差跟这两点之间的前后水平距离成正比.

图5中，设液体稳定之后液面前后的高度差为h，车厢的左右长度为L，以水平面AC之下的整个薄液片为研究对象，有：

ρ液gh=ρ液al 得hl=ag

那么tanα=hl，故α=artan15