探究2016年江苏高考填空压轴题解谢

淇尤裕法

摘要：2016年江苏数学高考其中填空题第13题的向量问题需要观察出几个向量之间的线性关系，充分利用中点，对平面向量的線性运算要求较高；第14题重点在于利用三角形中三个角的关系，发现△ABC的性质，再利用函数思想求解最值，对三角函数的综合要求较高.本文主要从不同的角度对这两个题目进行剖析，每题都给出了5种不同的解题方法

关键词：江苏高考；填空题；解题方法

例1（13题）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA=4，BF·CF=-1，则BE·CE的值是

解题思路本题考查向量的运算，考查学生的运算求解能力.用基底表示其它向量是解答本题的关键，与此同时建立直角坐标系同样可以简洁有效的解答本题.

解法1 ∵BA·CA=4，

∴（BD+3DF）（CD+3DF）=4，

即BD·CD+9DF2=4，

又∵BF·CF=-1，

∴（BD+DF）（CD+DF）=-1，

即BD·CD+DF2=-1

∴BD·CD=-138，DF2=58，

∴BE·CE=（BD+2DF）（CD+2DF）=BD·CD+4DF2=78

解法2由BA·CA=（BE+EA）（CE+EA）=BE·CE+BE·EA·CE+EA2=4，①

BF·CF=（BE+EF）（CE+EF）=BE·CE+BE·EF+EF·CE+EF2=-1，②

∴①+②=2BE·CE+2EF2=3，

∵E，F是AD上的两个三等分点，∴EF2=DF2，

由（法一）可知DF2=58，即EF2=58，

∴2BE·CE=3-54=74，则BE·CE=78

解法3BA·CA=（12BC-AD）·（-12BC-AD）=4AD2-BC24=36FD2-BC24=4，

BF·CF=（12BC-13AD）·（-12BC-13AD）=4FD2-BC24=-1，FD2=58 ，BC2=132.

BE·CE=（12BC-ED）·（-12BC-ED）=4ED2-BC24=16FD2-BC24 =78 .

解法4设DF=a→，DB=b，则DC=-b→，DE=2a→，DA=3a→

由题BA=3a→-b→，CA=3a→+b→，BE=2a→-b→，CE=2a→+b→，BF=a→-b→，CF=a→+b→，

则BA·CA=9a→2-b→2=4，BF·CF=a→2-b→2=-1，

所以可得a→2=58，b→2=138，

则BE·CE→=4a→2-b→2=78

以D为原点，BC边所在的直线为x轴，BC的垂线为y轴建立直角坐标系（如图2）.

设B点坐标为（-a，0），C点坐标为（a，0），A点坐标为（b，c），

∴BA=（b+a，c），CA=（b-a，c），

BF=b3+a，c，

CF=b3-a，c，

由BA·CA=4，BF·CF=-1可得b2+c2-a2=4，b29+c29-a2=-1，

解得b2+c2=458，a2=138，

∴BE·CE=4b29+4c29-a2=78

解法5特殊法：将△ABC看成以BC为底，AB、AC为腰的等腰三角形来进行求解（如图3）

解后反思求解平面向量的有关问题，通常有两种处理方法：一是选择两个不共线的向量作为基底，通过将所有的向量转化为基底的方法来加以处理；二是通过建立直角坐标系，转化为向量的坐标运算来加以解决.一般情况下，运用向量的坐标运算时可操作性强，而运用向量的基底时对思维的要求较高.

例2（14题）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是

解题思路本题考查三角恒等变换、基本不等式的应用、导数的运用，考查考生对等价转化思想的应用.我们可以发现本题所研究的对象为角的正切形式，为此，将条件转化为所要研究的角的正切，可以通过应用消元法或直接应用基本不等式来求最值.此外，我们还可以应用“切化弦”的方式，将切转化为我们熟悉的弦来加以解决.在求最值的时候，基本不等式、导数无疑是不错的选择.在利用基本不等式求解最值时，要注意“一正二定三相等”条件的检验.

解法1由sinA=2sinBsinC，可得sin（B+C）=2sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

两边同除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，

又∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

∴tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥

22tanAtanBtanC，

（当且仅当tanA=4，

tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2时取等号）

∴tanAtanBtanC≥8

解法2

tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC

=-tanB+tanC1-tanBtanC+2tanBtanC

=2tanBtanCtanBtanC-1+2tanBtanC

令tanBtanC=t，

则tanAtanBtanC=2tt-1+2t=2t-1+2（t-1）+4≥8

（当且仅当tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2时取等号）

解法3由（法二）可知

tanAtanBtanC=2（tanBtanC）2tanBtanC-1，

令tanBtanC=t，则tanAtanBtanC=2t2t-1，

令f（t）=2t2t-1，则f ′（t）=4t（t-1）-2t2（t-1）2

=2t2-4t（t-1）2，

令f ′（t）=0，解得t=0（舍）或t=2，

易知t=2时函数f（t）取到最小值，即f（t）min=8

解法4由sinA=2sinBsinC，可得sin（B+C）=2sinBsinC，

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

則sinBcosC=sinC（2sinB-cosB），

即sinB2sinB-cosB=sinCcosC，12-1tanB=tanC，

∴2-1tanB=1tanC，即1tanB+1tanC=2

设tanB=b，tanC=c，则1b+1c=2，b+c=2bc，

tanA=-tan（B+C）=2tanBtanCtanBtanC-1=b+cbc-1，

∴原式=b+cbc-1·b·c=bc（b+c）bc-1=2（bc）2bc-1=21bc-1bc2=2-1bc-122+14≥8

（最后一步亦可以这样处理：原式=b+cbc-1·b·c=bc（b+c）bc-1=2（bc）2bc-1，令bc-1=t，则bc=t+1，则原式可化为2（t+1）2t=4+2t+2t≥4+2t+2t=8（当且仅当tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2时取等号））

解法5∵tanAtanBtanC=sinAsinBsinCcosAcosBcosC，

又∵sinA=2sinBsinC，

∴tanAtanBtanC=sin2A2cosAcosBcosC，

又∵cosA=sinBsinC=cosBcosC，

∴cosBcosC=sinBsinC-cosA=12sinA-cosA

故tanAtanBtanC=sin2A2cosA12sinA-cosA

=tan2AtanA-2

=（tanA-2）+4tanA-2+4

≥24+4=8

（因为△ABC为锐角三角形，所以tanAtanBtanC>0，故tanA-2>0），当且仅当tanA=4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8

解后反思本题的关键在于如何进行消元，这是解决多变元问题要认真思考的.

以上就是我对2016江苏数学高考13、14题的一些解法的研究，英国著名数学家怀特海在《教育的目的》一书中提出：在处理数学问题时，你的结果越具体越好，而涉及方法时，则是越一般越好.推理的基本过程是将特殊的东西一般化，将一般的东西特殊化，没有一般化就没有推理，没有具体化则毫无意义.所以在平时的学习过程当中，很多题目都可以用多种方法进行求解，这就要求我们要善于总结思考，找到最简单的方式去解答题目.

参考文献：

[1]阳汉军 2016年高考四川卷解析几何压轴题的求解视角[J]中学生数理化，2016（8）：35

[2] 华腾祥2016试卷分析[J]学苑教育，2016（12）68