挖掘真题价值引领高考复习

冯寅

摘要：高考试题不仅是考题，也是一种对考纲的诠释，更是为我们教学的优质素材，所以挖掘高考真题的教学价值至关重要，它可以帮助我们明确复习的方向，提高复习的效率.本文以函数的高考真题为例，从整体、问题、个体三方面来分析.

关键词：高考真题；营养；价值；效率

高考试题是考纲、教纲的具体体现，是由命题老师精心雕琢的作品，也是数学知识、技能的浓缩，更是数学方法、思维的舞台，因此充分挖掘高考题的内涵，吸收它的营养，将使我们的教学和复习更有针对性，效率更高.本文将以函数为例，从整体、问题、个体三个方面探索一下高考真题的营养究竟在何处，如何吸取它的营养.

一、整体归纳，探求规律

函数是高中数学的重要内容，也是高考的重点，从近几年的高考函数试题中我们发现，函数问题的重要元素是参数，主要工具是导数，所以我们可以按参数的不同和求导的特点把函数问题分为三大类型加以研究.

1含参求导型

问题1已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值

问题2已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b

（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，

（ⅰ）函数f（x）的最大值为|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（Ⅱ） 若-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围

感悟这类问题主要是求函数最值、求参数范围和证明不等式恒成立，它主要针对三次函数、对数函数、指数函数等，它的主要方法是利用极值点含参数的特点分类讨论，利用端点函数值和极值点函数值的不确定性分类讨论.

2含参非导型

问题3已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围；

（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（Ⅲ）求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）

问题4已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值.

（Ⅰ） 证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（Ⅱ） 当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值

感悟这类问题由于涉及的函数是一次、二次和绝对值居多，所以一般不需要求导，它主要解决的是参数范围和函数零点问题，主要通过函数图像特点、函数性质分析来解决问题.当参数较多时，我们一般会考虑是否可以减少变量或采用线性规划的方法解决.

3非参求导型

问题5设函数f（x）=x3+11+x，x∈[0，1]证明：

（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2；

（Ⅱ）34

感悟这种类型看似简单，其实对思维的要求比较高，首先要理解所证明不等式的特点，它可以构造新的函数或把要求证明的不等式转化为我们常见的函数最大（小）值问题来分析思考，而在求极值时往往它的极值点不易求出，需要我们通过不等式放缩来改变函数从而解决问题，它考查的是函数的本质属性.

二、问题演变、借题发挥

函数的内容丰富多彩问题形式多样，函数最大（小）值问题是函数的重要性质也是高考中的常见问题，但最值问题的形式和要求在不断的演变，它对我们的思维提出了新的要求.

1跨越思考

问题7如图1，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是

分析设AD=x，四面体的高为h，那么h≤x

那么，四面体PBCD的体积：VP-BCD=13S△BCD·h≤13S△BCD·x.而13S△BCD·x可以用x来表示，并求出最大值，所以这一次的放缩是一次从无到有的跨越.

感悟解决最值问题的起点应该是确定函数的表达式，而像此类问题的体积很难用某个变量表示，如何计算体积成为本题的关键，此时如果我们不跨越常规思路，问题很难解决.

此题的解法有违于我们常规的求最大值的方法，它在很难直接找到问题的表达式时，先进行了放缩，这在一般情况下是有风险的，它可能使等号无法取到，所以问题的难度就在于放缩的合理性，它需要满足两个要求，首先是放缩后能求出问题的表达式，然后再考虑后面的等号是否能成立，因此放缩的关键是找到一个合理的度满足要求.

2概念理解

问题8已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值.

（Ⅰ） 证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（Ⅱ） 当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值.

分析 （Ⅱ）中由M（a，b）≤2，得|1+a+b|=|f（1）|≤2，|1-a+b|=|f（-1）|≤2，故|a+b|≤3，|a-b|≤3，而得|a|+|b|≤|a+b|+|a-b|2≤3.

当a=2，b=-1时，|a|+|b|=3，且|x2+2x-1|在[-1，1]上的最大值为2，即M（2，-1）=2.所以|a|+|b|的最大值为3.

感悟这题是近几年考查函数最值问题的一个典型问题，它对最大值（小）概念的理解要求很高，从已知最大值到求最大值都需要深刻理解才能合理解决.

此题解决最值问题的方法，颠覆了传统的求最值的思路，它省略了求函数解析式的步骤，它强调了最大值（小）的概念的理解，它关注的是存在常数M，对定义域中的任意x都有f（x）≤M成立，然后观察等号成立.它的难点在于没有常见的分类討论，没有繁琐的计算，要求对概念的深刻理解，要求有正确的思维方式！

3隐含挖掘

问题9已知实数a，b，c

A|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2≤100.

B|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，则a2+b2+c2≤100.

C|a+b+c2|+|a+b-2c|≤1，则a2+b2+c2≤100.

D|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，则a2+b2+c2≤100.

感悟本题看似和最值毫无关系，仔细分析题意，我们从每个选择支的结构可以看出，它的问题都是a2+b2+c2≤100，问题的核心是哪个条件能保证a2+b2+c2是有界的，有界就是最值的一种广义表述.而要a2+b2+c2有界必须a，b，c是有界的.这样的感悟，就将问题转化为哪个选项中的a，b，c是有界的.

但细细体会它的核心还是和最值有关，它把最值问题扩大化，让我们在不叙述最值的情况下感悟出最值的意义和魅力，这样的感悟对思维提出了新的要求.

三、个体研究、经典深化

在近年的函数的高考题中，我们经常在看到max和min这样的符号，而简单介绍这个符合的意义并不难，难的是深刻理解它的含义，了解它的变化掌握它们的联系，如果我们仅仅停留在知道这个符号的意思，那么当我们遇到和它们有关的问题时，还是会觉得难以适应.

1max和min的形式变化

問题10已知f（x），g（x）都是偶函数，且在[0，+∞]上单调递增，设函数

F（x）=f（x）+g（1-x）-|f（x）-g（1-x）|若a>0，则

A.F（-a）≥F（a）且F（1+a）≥F（1-a）.

B.F（-a）≥F（a）且F（1+a）≤F（1-a）.

C.F（-a）≤F（a）且F（1+a）≥F（1-a）.

D.F（-a）≤F（a）且F（1+a）≤F（1-a）.

感悟理解函数F（x）=f（x）+g（1-x）-|f（x）-g（1-x）|的表达式成为问题的关键，其实，为了把绝对值去掉，我们可以分类讨论，这样也可以理解为一个分段函数：

F（x）=2f（x）2g（1-x）f（x）

从取绝对值的分类过程，我们又可以理解为：F（x）=2min{f（x），g（1-x）}这样的表达，将有助于我们解决问题！

问题的本质就转化为比较F（a），F（-a）的大小和F（1-a），F（1+a）的大小！

很多时候max和min都直接出现在我们的问题中，但有时它也会以另外的面貌出现，隐含了它的符号特征，这就需要仔细分析思考它的含义，找出它的表示特征来解决问题.

2max和min的应用策略

问题11已知a>0，b∈R函数f（x）=4ax3-2bx-a+b证明：当0≤x≤1时，函数f（x）的最大值为|2a-b|+a

感悟闭区间上的最值问题，我们关键是比较极值点和端点的大小.此题可以通过导数求极值点后发现它的最大值是fmax（x）=max{f（0），f（1）}，而f（0），f（1）都含有两个参数，要讨论它们的大小有一定的难度.这时如果我们利用max{f（0），f（1）}的特点来变形，问题可以有新的思路可以迅速解决.

fmax（x）=max{f（0），f（1）}

=f（0）+f（1）+|f（0）-f（1）|2=|2a-b|+a.

从上述的问题我们发现，max{a，b}和min{a，b}有如下的等价变形.

max{a，b}=a，a≥bb，a

高考试题是我们教学中的优质素材，挖掘高考试题的深刻内涵并渗透在我们的教学中，将使高考试题发挥它最大的价值.