从高考谈圆锥曲线优化教学——以2015年高考数学浙江卷为例

筅江苏省常熟市尚湖高级中学余志峰

从高考谈圆锥曲线优化教学
——以2015年高考数学浙江卷为例

筅江苏省常熟市尚湖高级中学余志峰

高考注重圆锥曲线综合性的考查，研读各地的高考卷，题型设计精妙，注意区分基础与能力，对教学也带来了好的启示，尤以灵活变通最为重要.我们在教学过程中需要加强学生对数学方法的学习和感悟，引导学生结合自身寻求优解.

图1

一、考题及思路突破

考题1（2015年浙江高考卷）如图1所示，现有一抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1，它的圆心为点M.

（1）求圆心点M到抛物线C1准线的距离；

（2）已知有一点P是抛物线C1上一个异于原点的一点，现经过点P作圆C2的切线段，并且使切线交抛物线C1于点A和B，如果经过M和P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

1.思路突破

（2）求解直线l方程的途径很多，其中有：①M的坐标已知，设直线l的斜率为k，利用斜率求方程；②利用两点式，设P的坐标然后求解；③确定AB的斜率，然后确定要求的斜率，分析后再求解.对比总结发现途径①需求P的坐标，再求切线方程会复杂，过A、B两点的斜率计算量太大，途径②则较为简单，途径③实际上行不通.则以途径②求解为主，由P点出发，设出切线的斜率，设P（x0，），A（x1，），B（x2，），根据题意有x0≠±1，x1≠x2.设经过P点的圆C2的切线的方程为y-x0=k（x-x0），即y-=k（x-x0），则

设PA、PB的斜率分别为k1、k2（k1≠k2），那么k1、k2则是上面方程的两个解，所以有但因为P点的坐标已表示出，一元二次方程有一个根已知，则另一个根可以表示出，那么直线AB的斜率可确定，根据两条直线相互垂直的空间关系，可以建立方程，解得，所以点P的坐标为

2.考题拓展

考题2（2015年北京卷）已知一抛物线C：y=（x+1）2，又有一圆，它们有一公共点A，并且在点A处两条曲线的切线为同一直线l.

（1）求r的值；

（2）设m、n为异于直线l且与抛物线C及其圆M都相切的两条直线，m和n的交点为D，求点D到直线l的距离.

图2

考题3（2015年陕西卷）如图2所示，曲线C由椭圆C1的上半部分和部分抛物线C2连接而成，其中（a>b>0，y≥0），C2：y=-x2+1（y≤0）.C1和C2的公共点为A、B，并且C1的离心率

（1）求a和b的值；

（2）经过点B的直线l和C1、C2分别相交于P和Q（他们均异于点A和B），如果存在AP⊥AQ，求直线l的方程.

考题4（2016年杭州市三模）如图3所示，已知抛物线E：y2=x，圆M：（x-4）2+y2=r2（r>0），抛物线和圆相交于A、B、C、D四个点.

图3

（1）求r的取值范围；

（2）当四边形ABCD的面积达到最大值时，求两条对角线AC和BD的交点P的坐标.

3.对比揭示

上述四题都是对圆锥曲线的考查，曲线组合多种多样，有考查圆和抛物线的，也有椭圆和抛物线的，位置关系有相交也有相切的.解题时都需要通过曲线间的位置关系表示出直线方程，对方程施加限制条件来推理求解，所不同的是考题中的条件有垂直关系，也有共线，面积最大等情况.总体的求解思路都是不变的，结合点线的相互关系列方程，根据条件解未知.

二、教学思考

1.解析高考，活学活用

从高考试题的知识点来看，高考考查内容一般都是高中知识的重点，不会偏离，题型新但不会怪.高考难题的设问也考虑大多数考生，采用一题多问的形式，尤其是综合型很强的题型.在对圆锥曲线的考查中既有针对基础知识的考查，又有综合活用的考核，一般第一问突出考查学生对数学主干知识的掌握，较为简单，第二问则注重学生灵活使用方法，综合知识求解的能力.高考对圆锥曲线考查题型主体不变，通常将直线、三角形、曲线等几何对象进行综合，在结合相关的知识进行考核，求解方法灵活多样，大同小异，需要学生自身多加总结思考，灵活解题.教学中则需要老师注重基础，努力引导，力求避免灌输式教学，多进行新情境下灵活转化，活用方法的指导.

2.扎实基础，提高能力

解题能力的提高是教学的重点，只有基础扎实、解题步骤扎实、运算准确才可以取得高分，运算能力是中学的重点，例如对公式的使用、变形、推理是高中的基础，需要学生在大量的、反复的练习中提高.老师则要努力引导学生进行针对性学习，优化解题方法，例题第二问的解法思路有很多，但是在具体的实施过程中最优解只有一种.在教学中需要引导学生进行反思、体验、总结，掌握常用的解题方法，例如设而不求、整体代换、数形结合等思想方法.解题不在于量，在于精华的汲取，要让学生在熟练基本解题方法的基础上，努力寻求最合理、最简便的方法，不满足于“能解题”，而要追求“会解题”，逐步地提升解决综合性强、难度大的题型的能力.

3.回顾反思，突破陈规

每一道经典题目都有其精华之处，每一次的复习都需要学生进行归纳总结，高考之路其实就是一次次的反思总结的过程.在教学中非常有必要对教授过的题目进行重新的分析思考，多设问多引导，让学生在一次次的思考中加深印象，对比分析中感悟数学思想，进行重新的知识构架的调整，获得思想上的融会贯通，摒弃陈旧的不适合的解题陋习，去突破常规.学会对具体问题具体分析，寻求适合自己的解题方法，积累自己的解题经验，而老师在这个过程中要作为一个引导者，适时的放手，让学生自己完成这个升华的过程.突破常规不是一个简单的过程，需要学生亲自去总结、去积累、去感悟.

三、结束语

圆锥曲线是高考重点考查的一类综合题型，解题方法和思路也是多种多样的，我们应该引导学生去扎实基础，感悟其中的数学思想，通过自我意识的强化达到触类旁通的境界，鼓励学生回顾反思，寻求优解，活学活用，提高解题能力.

1.张进华.既要夯实“通性通法”，又要学会“灵活变通”——从两道高考试题的解法谈起［J］.中学数学（上），2016（9）.

2.董义.优化解题方法提升运算能力——谈圆锥曲线中椭圆问题的求解方法［J］.中学数学（上），2016（9）.

3.钟顺荣.利用伸缩变换求解直线与椭圆相切问题初探［J］.中学数学（上），2015（3）.

4.刘志有.高中数学圆锥曲线教学的有效性策略分析［J］.数学教学通讯，2014（15）.

5.洪平锋.圆锥曲线互相垂直切交点的一个性质——一道2014年广东高考试题的推广［J］.数学教学通讯，2014（6）.F