要引导好“数学思考”

容小丽

【摘 要】“让知识拥有生长的力量，让课堂充满生长的气息。”是当前课堂教学改革的趋势。本文从四个角度说明引导学生“数学思考”的策略。

【关键词】数学思考；情境；体验；模型；应用

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）12-0061-02

小學数学教学，应在密切关注学生的生活经验、知识基础和心理发展水平的基础上，把握儿童的认知规律、活动需要，通过设计并开展丰富的数学活动，让学生体验数学、思考数学、理解数学，实现利用自己通过努力获得的知识技能、思想方法、思维方式及活动经验去解决实际生活中的问题。那么在数学教学中，如何更有效地达成这一目标？笔者现结合自己的公开课教学案例，谈点认识、实践、思考与探索。

【课例】数学六年级下册（第91页）“数学思考——找规律”：6个点可以连成多少条线段？8个点呢？（如表1）

【解读】从教材内容的编排上看，安排在六年级总复习中的“数学思考”，共有例5、例6、例7三道例题，可分为三课时教学。这部分内容既是对整个小学阶段“解决问题的策略”的典型性概括，同时又是对解决代表性实际问题的提升，因此，其内容设计具有一定的思维含量，对教与学都充满了挑战。基于这样的认识，个人认为，对这部分内容的教学应克服传统的“讲、练、评”模式，复习教学时，不可单纯地就题解题，以训练的方式简单地给予，应让学生更好地通过联系具体情境，以生活化与数学化相结合的方式帮助学生思考数学、理解数学、应用数学。作为本部分内容第一课时的例5，从教材的编写意图上看，就是要帮助学生学会化难为易、化繁为简的数学思考，让学生在由简单到复杂的探究过程中发现规律并能够从规律中进行抽象概括、建立数学模型。如何上好这一课？根据自己多年的教学经验、体会和思考，本课复习教学应把握“四个引导”，突出其中的“数学思考”。

一、要引导思考中的情境创设

教学时，笔者创设了这样一个现实情境：给例5“探究在同一个平面内，增加点数、增加线段数与线段总数的规律性”配个生活“原型”——师生“握手交友”，以此将静止抽象的数学问题注入生动形象的生活气息。老师和一位同学、两位同学分别握手了几次？和三位、四位呢？如果老师要和全班同学一一握手，共握多少次？同学们兴趣倍增，主动思维、积极思考，很快说出了答案。假如老师和全班同学每人之间都要相互握手，共握多少次？谁能回答？顿时，同学们满脸疑惑，急于求解的心态油然而生，面对学生的困惑，教师启示：大家能不能把这一复杂的情境化作简单的问题来考虑呢？由少及多的亲切交往，由易而难又化难为易的问题设计，既激起了学生的探究欲望，又挑战了学生的数学思考，既完成了学生建构新知的知识迁移和情绪转移，又促使教学转入了下一个“最近发展区”——探究在同一个平面内，点数、线段数与线段总数的规律性。

二、要引导思考中的探究体验

有效的数学学习活动，除了激活学生的潜在经验外，重要的是在课堂中充分开展数学活动，让学生经历“重走科学家的发现之路”，让学生独立思考，主动探究，促进他们累积数学基本活动经验。教师需要在“起点”（学生已有经验）和“终点”（要达成的目标）之间搭建一座跨越的桥梁；这座桥梁，就是学生在教师预设的活动中，进行探究体验的过程。有效开展探究体验活动，首先要选择合适的问题、采取积极互动的方式，并以问题激发和情意交往引领整个探究过程。

其探究步骤为：

1. 如果用“.”表示人，用“——”表示握手，上述的“握手交友”该怎样用图示表示？大家可在草稿纸上画一画。（提示：先画两人握手，再画三人、四人握手。）

2. 在此基础上，如果再增加一个点，每两个点之间都要连接一条线段，你能用图表示增加的线段数吗？这时，总线段数你能用算式表示出来吗？（学生尝试操作）

3. 如果一共6个点、8个点呢？

4. 在刚才的动手操作、思考交流的过程中，从“1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5……”的变化中，你们发现了什么？（指名学生反馈、组织学生交流，教师介入点拨指导并引导学生概括小结）

教师以解决问题为载体展开教学活动，结合学生的思考探究，采用化难为易、由少及多的引导策略。在这一过程中，学生经历了“获取问题——独立思考——操作感悟——合作交流——探究发现”的思维过程，并随着活动探究，体验步步深入。学生的学习只有在这样的有效教学活动中，思维才能得到发展；只有亲身参与探究体验，才能积累活动经验。同时，在引导探究体验的过程中，我们的着眼点应在更细腻、更丰富的角度上去多思考、下功夫，让他们扎实地经历每一个组织环节、每一个活动细节。只有这样，他们的探究体验才会更深刻、更牢固，也才会获得探究规律的方法与活动的经验，这正如“我听过了，就忘记了；我看过了，就记住了；我做过了，就理解了。”

三、要引导思考中的模型建立

如何把概括的、抽象的数学思考变成火热、生动、活泼的实际行动？如何把教学推到“数学化”与“再创造”的新平台？对于小学生来说，这是个难题。一条捷径就是从熟悉的情境中引入数学问题，拉近数学与生活、生产的联系，引导学生从数学情境里获得的直观的、具体的知识中向比较、推理、概括等一系列数学活动中过渡，才会最大可能获得从具体形象思维到抽象逻辑思维的发展。数学建模不仅是处理数学问题的一种经典方法，引导学生学会用“模型”概括是数学本质化教学的重要策略。小学生通过数学模型，可有效地解决数学学习中的实际问题。本节课还要引导学生 “再创造”，即适时地进行模型化概括，在上述的过程中，设计如下环节：

如果有n个点，增加的线段数有多少？用算式怎么表示？学生交流后得出：1+2+3+4+5+…+（n-1）

假设用P表示线段总条数，n表示点数，那么P与n的关系怎样表示？

简单的设问，把复杂的实际问题简化为学生可接收的范围，把抽象的问题转化为合理的数学结构，再一次提升了学生的思维层次，让孩子们真切地感受到了“学有价值的数学”的魅力。

围绕高难度的这一问题，学生尝试“建模”，又一次思考交流。当学生在老师的启发指导下，得出“P=n（n-1）÷2”的模型后，为帮助学生更好地理解这一模型，教师追问：谁能联系我们的握手情境来解释这个模型的具体意义？P表示握手总次数，n表示人数，那么（n-1）表示什么？

在相互握手里，自己不可能与自己握手，所以要减1。

为什么要除以2？

我与你握手就等于你和我握手，两人握手只算一次。

当学生领会了这样的意义，头脑中搭建的模型就更加清晰了，自然也就加深了对规律性的认识。我们知道，小学数学中的“搭配问题”集中表现在“排列”与“组合”两大方面，教学只有在这样的具体情境中帮助学生认识、思考与探究，学生才会真正把握“只要有规则才会有顺序，才会不重复，才会不遗漏”的“搭配”策略，也才会明确不同的“搭配”实际有着不同的“搭配方案”，从而提升了对实际问题中相似性与不同性的识别。

四、要引导思考中的实际应用

帮助学生更好地理解与掌握上述模型并将这一模型应用于新的情境之中，是教学不可忽视的重要环节，也是数学教学的目标所在。对此，笔者设计了以下两题让学生独立尝试解决。

第一題：2013-2014年度CBA中国职业篮球联赛共有16支球队参加。

首先要进行循环赛，那么循环一次要比赛多少场？如果主客场制，又要进行多少场比赛？

第二题：“要毕业了！留住美好的瞬间。” 程老师与数学兴趣小组的四位同学站成一排合影留念。一共有多少种站法？

这两题都是生活中的“搭配问题”，但解决策略并不相同。第一题是“组合”问题，让学生应用已建立的模型“P=n（n-1）÷2”来解决；第二题是“排列”问题，需要学生认真思考其与第一题的不同之处，通过对比练习，思考获得“排列”问题的解决模型：P=n（n-1）。这样，通过交流评议与反馈指导，促使学生构建知识结构，提高解决实际问题的能力。

这样组织活动，充分体现了“数学思考”与“数学建模”的本质特征，收到了较理想的教学效果。整堂课，围绕数学思考，运用“寻求联系——建立模型——解释并应用”的模式组织学生探究，突出了学科教学特色，学生始终置于思考、交流和探究的主体地位，满足了学生学数学的需要。数学模型源于生活原型又高于生活原型，是生活原型的“再创造”。给数学配个“原型”其目的是为建构“模型”架设沟通的桥梁，同时也是帮助学生在具体情境中加强对“数学原型”的认识，由浅入深的问题设计让学生在经历观察、操作、思考、交流、概括等一系列活动中习得探究规律的方法、获得数学“建模”的思想。

数学课堂应该是一个磁场。这个磁场不仅要能够激发学生的学习兴趣，更重要的是能吸引学生积极主动地去思考、去合作、去探究。这就要求我们通过有效情境的创设，依托学生的认知规律，借助学生已有的活动经验，引导学生在知识形成过程中去探究体验，积累丰富的数学活动经验，在实际问题的解决中，让思想方法与知识能力相融共生。这样的课堂，定能彰显出其正能量的魅力。

参考文献：

[1] 周锡华.有效促进学生“数学思考”的几个策略[J].小学数学教育，2011，（5）.

（编辑：胡 璐）