向量在高中数学中的应用探索

陈庆武

【摘 要】在高中数学中，向量具有数形结合的特点，高中数学许多的知识点都可以利用向量进行更简单的计算，本文阐明向量在高中数学中的实际意义，通过例题讲解利用向量解决数学问题的具体方法。

【关键词】高中数学 向量 数形结合

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）02B-0069-02

在新课改后，向量引入了高中数学中，因向量的实用特性使得它在高中数学的教学中具有重要的地位。向量可以为学生认识几何带来不一样的方式，同时也带来更简单的解题方法。因此在实际教学的过程中，应该加强对向量教学的研究，为学生带来更加清晰的思路和更好的学习方法。向量引入高中教育以后，对高中数学中的平面几何、不等式、解方程、三角函数等各个知识都具有一定的渗透性。在这些知识的解答过程中，如果能够熟练地运用向量，那么就能够简单地解决一些原本复杂的题目。再者，向量数形结合的特点使得向量能够将其他的知识从数转化成形来理解，或者将型转化成数来理解，这种特点使得向量成为了数与形的转化器。

一、向量的价值与地位

在传统的数学教材中，是没有向量的概念的，向量在 1996年被放入到高中教材中，引起了众多学者的广泛重视。向量的引入，使高中数学知识的关联性与系统性更加紧密，也让数学中的一些难题有了创新的解决方法，提升解题效率。向量在数学解题中的优点主要有以下几点。

（一）提升学生的运算能力。运算能力是学生学习数学的基础，运算速度决定了解答数学题目的效率。在原本使用数学运算的过程中使用的都是基本运算方法，加入了向量之后，增加了新的数学运算方法，例如在传统多项式的运算中，使用的运算模型是 A×A→A 型，数与多项式的运算模型为 A×B→B 型。在运算中使用了向量，运算的方式会发生变化，转变为 A×A→B 模式的运算。同时，向量的数量积运算可以刻画向量的长度，能够解决学生在几何题型中的度量困难，进一步加快学生的运算速度。学生使用新型的向量进行运算，可提升运算能力。

（二）有利于培养学生的数形结合思想。数学是思维的殿堂，高中数学教师教给学生掌握基础知识点的同时，更重要的是培养学生的思维能力与数形结合的思想。比如，可以用实数表示向量的大小，这是“数”的形式，同时，也可以利用线段表示向量，这就是“形”的形式。正因为向量既具备“数”又具备“形”，所以在几何教学中，使用向量教学胜过使用代数教学。在几何学习中，学生可利用向量的属性来实践数形结合的思想，用向量来表示几何图形的面积与体积。向量能更好地帮助学生理解高中数学中复杂的难题，提升数学思维。

（三）帮助学生理解数学模型。高中数学不仅培养学生的运算能力与数形结合思想，而且培养学生的空间思维能力及对数学模型的理解能力。我们知道，物理中的矢量展现了向量的原型，所以向量也能够作为数学模型帮助学生在解决空间思维问题时找到正确的解题方向，使学生更直观地理解物体的位移、受力情况。例如，我们下面这一道关于向量的题，求 。

这是向量中的一道基础题，但它却是学生学习建立和理解数学模型的一道基础题，它用有向线段的形式来表现数的关系，也就是说在运算过程中，通过建立模型—— 用有向线段来表示数的关系，也就是说，让学生运用向量运算来求解 。学生用向量来求解，方法就十分简单，直接用向量的基本性質就能解出来。

二、向量在高中数学中的运用

（一）在平面几何中利用向量进行解答。在传统的几何问题处理中，往往需要学生想象思维，学生通过对空间进行思考，构思出一条条虚拟的线，然后才能够进行复杂的推导。利用向量解决几何问题，能够避开学生对几何图形的构思，缩短推导的过程。向量具有大小和方向，能够表示几何图形中的线段长度的大小和方向。通过向量的运用来解答几何中的问题比传统的解题方式更加简单明了。

〖例1〗如图所示，已知平行四边形 ABCD 中，E、F 在对角线 BD 上，且 BE=FD。求证：四边形 AECF 是平行四边形。

〖思路点拨一〗按照以往解答几何问题的方法，这道题需要通过求证 AF 平行 EC，AE 平行 FC，或者求证 AE=FC，AF=EC，然后得出四边形 AECF 是平行四边形。

〖解一〗

∵ ABCD 是平行四边形

∴ AD // BC，AB // CD

∴ ∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠BDC

又∵ BE=FD

∴ △ABE≌△CDF，△BCE≌△ADF

∴ AE=FC，AF=EC

∴ 四边形 AECF 是平行四边形。

〖思路点拨二〗利用向量的方法证明，通过设 =，= →表示 ，→=→四边形 AECF 是平行四边形，可见此法快捷很多。

〖解二〗

由已知可设 ，。

∴ ，

又∵

∴

∴ AE 与 FC 平行且相等

∴ 四边形 AECF 是平行四边形。

在利用向量解答几何问题时，只要掌握了几何图形中点和线之间的关系，就能够轻松地解决问题。因此，在高中数学中进行向量教学，能够使传统的几何图形不再困难。通过向量及其演绎，对几何图形进行思考分析，能够培养学生思维能力，更加灵活地解决问题。

但是几何中并不是所有的题目都可以利用向量来进行解决，如果运用不当甚至会使得解决题目的过程更加困难。对于题目来说，是否适合利用向量来进行解答，需要学生根据具体的题目进行分析。通过运用合适的方法进行解题，才能够在作答的时候得心应手。

（二）不等式证明中利用向量进行解答。不等式的证明在高中是一个难点，在证明不等式的过程中，经常会利用到各种方法来将不等式进行变形，这样才能够证明不等式。不等式证明需要学生熟练掌握和灵活运用大量的变形方式，其中，利用向量进行不等式证明是不等式证明中经常用到的方法之一。

〖例二〗证明均值不等式：（a>0，b>0）。

〖证明〗设 =（a，b），，则 。

由 得

且仅仅当 和 同向（此时 a=b）等号成立。

当 a>0，b>0 时，可类似构造 =（，），=（，），可证 。

在解这道题目中，把不等式转化成向量，然后通过向量的计算方式轻松地计算出了答案。在不等式的证明中，一定要清晰地了解题目的特点，选择合适的证明方式进行解答。向量在不等式证明中能够轻松地解答出一部分问题，但是如果掌握不到位，没有找到合适的切入点，那么反而会适得其反。

（三）三角函数中利用向量进行解答。三角函数同样也是高中的一个难点，在三角函数的解答过程中，往往会出现图象、位移等条件的题目，对这种类型的题目通过结合向量进行解答能够更加快捷。

〖例三〗把函数 y=sin2x 的图象按向量 平移后，得到函数 的图象，则 和 B 的值依次为（ ）

A.，-3 B.，3 C.，-3 D.，3

〖思路点拨一〗根据向量的坐标可以确定平移公式为，再代入到已知的解析式中可以得出答案。还可以通过向量的坐标得到图象的两个平移过程，然后确定平移后的函数解析式。

〖解一〗通过平移的向量可以得到平移公式，即，代入到 y=sin2x 中可以得到 ，即可以得到 ，由此得到 ，B=-3，所以选 C。

〖思路点拨二〗上面的解答方法依然是用传统的方式进行解答，可将向量转化成三角函数的平移过程，然后求出答案。

〖解〗由向量 =（，-3）可以知道函数图象经过了两次位移，在 x 轴上平移了 个单位，在 y 轴上平移了 -3 个单位，然后得到 y=sin2（x+）-3，也就是 ，由此得到 ，B=-3，所以选 C。

三角函数是许多学生的学习难点，在三角函数中有许多问题都是关于图象的平移。在解题的过程中，如果将平移与向量进行转化，那么就能够将解题过程简单化，提高解题的效率。

向量在高中数学中具有很大的实用性，在许多情况下利用向量进行解答会快捷得多。因此在高中数学的教学中，要注重向量理念的教学，为学习其他数学找到一条新的方向。

（责编 卢建龙）