让学生经历“给算式讲故事”的活动

【摘 要】乘法算式背后的情境主要有四种类型：第一是平均分组；第二是搭配组合；第三是过程迭代；第四是人为规定。为了给学生设计这样的“给算式讲故事”学习活动，教师应当熟悉这些类型的情境。

【关键词】乘法 算式 情境 计算

在乘法计算的教学中，同样可以让学生经历“给算式讲故事”的学习活动。看到一个乘法算式，仅仅知道这个算式表示“相同加数求和”，并且能够正确计算结果，这仍然是不够的。还要能够联想出不同类型的情境，与相应的算式建立联系，因此就需要经常让学生经历“给算式讲故事”的活动。对于教师来说，应当了解这样的情境包括哪些类型。

一、平均分组

与乘法有关的情境最为常见的就是“平均分组”。比如，“全班学生分为了8组，每个组有4名学生，全班共有4×8=32名学生。”如果把全班同学看作整体，一个小组的同学看作局部，那么这一类情境反映的是局部与整体的关系。

平均分组还可能表现为同一对象的“重复变化”。比如，“小明每天吃2个苹果，一个星期7天，一共吃掉2×7=14个苹果。”这个情境相当于说同一个人“吃2个苹果”的动作，重复了7次。英文中表示“次数”的单词“Time”，同时也是“乘”的意思，大概源于这个含义。这一过程也可以看作是将14个苹果平均分为7组，每一组有2个苹果。因此同一对象的重复变化也可以看作是平均分组的类型。

另外一类是同一对象“成倍变化”的情境，比如，“一个小企业年初的资本总额是5百万元，经过一年的经营，使得企业资本增加为原来的3倍。年底时这个企业的资本总额是1千5百万元。”这一过程实际上是将年底时总资本分为了“原有”和“增加”两组，原有和增加部分的总和是原有的3倍，也可以认为增加部分是原有部分的2倍。

与前面论及加法的情况类似，平均分组也经常表现为不同对象数量的比较。比如，“一个养殖场养兔180只，养鸡数量是养兔数量的5倍，这个养殖场养鸡180×5=900只。”这一情境实质上是将养鸡数量平均分组，每一组数量与养兔数量相等。

平均分组还有一种类型表达的是比例的关系，比如：“一个没有关紧的水龙头，平均每分钟流出7升水，那么一小时（60分钟）会流出7×60=420升水。”相当于是将420升水平均分为了60份，每一份是7升水。成比例关系的情境中，涉及两类不同的变量，在这个情境中一类变量是水量，另一类变量是时间，两者的关系可以用表1来表示。

对于平均分组类型的情境，每一个乘法算式都可以衍生出两个除法的情境，一个是已知总量和每组数量，求组数，通常称之为“包含除”；另一个是已知总量和组数，求每组数量，叫作“等分除”。

二、搭配组合

搭配组合类型的情境，指的是两个集合中的对象进行一对一的搭配。比如，“一家服装商店，有7种款式的男式上衣，9种款式的男式裤子，如果每种款式的一件上衣和一条裤子可以搭配成一套男装。那么一共可以有9×7=63种不同款式的男装可以出售。”此类情境与前面平均分组有明显的区别，情境中并没有出现明显的组数和每组数量，是需要通过人为的思考进行分类，进而转换为平均分组的情况。

思考的过程大致是先任意取出一个款式的上衣，与裤子搭配一共可以有9种可能；又由于上衣款式一共只有7种，相当于将全部男装平均分为了7组，每一组都是9套男装，所以全部搭配可能性就是7个9相加，也就是9×7=63套男装。

再比如，“从家到学校路过一个超市，从家到超市有2条路线，从超市到学校有3条路线。那么从家到学校共有2×3=6条路线。”这个情境的思考与前面男装的情境是类似的，相当于是“2条路线”与“3条路线”进行搭配。（见图1）

这种搭配组合的情境类型在组合数学中也叫作“乘法原理”或者笛卡尔乘法（Cartesian product），其应用是非常广泛的。比如，如果想要知道“一共有多少个两位整数”，就可以运用这个方法，任意确定一个十位数字，与之搭配的个位数字可以是0～9中的任意一个，共有10种搭配方法。而十位数字可以是1～9中的任意一个，所以共有9种选择，那么全部两位数的个数就是9个10相加的结果。也就是10×9=90个。

三、过程迭代

“过程迭代”表达的是“倍数的倍数”的关系，也可以叫作“倍之倍”的关系。比如，“动物园一只小象，第一年过生日时体重是出生时的3倍，第二年过生日时体重是第一年生日时的2倍。那么这只小象第二年过生日时体重是出生时的3×2=6倍。”

这种“倍之倍”的情境，在几何中研究封闭图形边长与面积的关系时很常用。比如，一个长方形的长扩大为原来的2倍，宽扩大为原来的3倍，那么长方形的面积扩大为原来的多少倍？（见图2）

图2中左上方小长方形，如果长扩大为原来的2倍，相当于变化为图中上面的两个小长方形，宽扩大为原来的3倍，相当于第一排的2个小长方形变化为图2的大长方形。也就是相当于是“2倍的3倍”等于6倍。

这种关系在分数乘法中也很常见，比如在《庄子天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的说法，第一天取出一尺之棰的一半，第二天取出剩下的一半，也就是一半的一半，因此第二天取出的是一尺之棰的[12×12=14]。

四、人为规定

乘法中的“乘”，其本义是人站在树上的意思。（见图3）

原始的字形起初也是人在树上的象形。（见图4）

因此可以推断出“乘”的本义有“升高”的意思，不断升高就有累积的意思了。在人类活动中需要描述多种因素累积的过程时，往往就会采用或者借用乘法。

比如对于行车走路的情境，可以将路程看作是速度和时间两个因素累积起来的，因此就有了路程、速度、时间三者的关系：速度[×]时间=路程。类似的在工程问题中，工作总量可以看作是工作效率和工作时间累积而得，因此就有“工作效率[×]工作时间=工作量”的关系。

对于平面上的封闭图形，人们有比较大小的需求，而且对于长方形发现其长度和宽度的长短可以制约图形的大小，因此就利用两者乘积规定为表示图形大小的概念，称之为面积。因此也就有了诸多的面积公式。比如长方形的面积是“长度[×]宽度=面积”。类似的还有体积公式等。

在实际的工程问题中，经常需要预算工程的经费。传统的工程的费用，除了原材料等因素外，主要取决于两个因素，一是参与工程建设的人数，二是完成工程的时间，因此单纯用人数或者单纯用时间进行预算都不合理，而用两者乘积作为预算的标准就是常用的方法。比如，一项工程需要500人天，就意味着100人需要5天，20人需要10天等等。这里就是人为制造了一个“人天”的概念，人数、时间和人天的关系就是借用了乘法进行描述，即“人数[×]天数=人天”。

这样的想法还被用于社会科学的研究。比如，如果把一个人的素养理解为成功行动的先决条件，那么一个人的素养的形成就主要取决于知识和经验，因此就有“素养=知识[×]经验”的说法。

计算教学不能仅僅关注所谓算法和算理，还应当关注何时需要这样算的问题。也就是要让学生逐步熟悉算式背后各种各样的情境，因此在设计计算教学的学习活动中，应当让情境与算式互动起来。

参考文献：

[1]郜舒竹. 算式与情境的辩证关系[J]. 教学月刊·小学版（数学），2017，（4）.

[2]字源网. 查询字源（乘）（EB/OL）. http：//www.fantizi5.com/ziyuan/.2017-4-22.

（首都师范大学初等教育学院 100048）