什么样的数学教学要不得（二）

郑毓信

对于“什么样的数学教学要不得”这一问题的思考，不仅有利于实际教学工作的改进，也能实际地检验一下这些年的课改实践效果。特别是对于低年级的数学教师而言，在教学中采用什么样的教学方法、选择什么样的考核方式等等，这些都会影响学生今后的学习和成长。本刊第4期已刊发“过度的规范要不得”及“美国式的数学教学要不得”两部分内容，已得到了广大教师读者的积极响应，本期继续刊发“不讲道理的‘简易算法要不得”及“过分注重‘速度的考核要不得”两部分内容，以飨读者。也欢迎各位教师对于“什么样的数学教学要不得”这一话题能结合自身的案例教学展开分析和探讨。

三、不讲道理的“简易算法”要不得

以下的实例不仅与教师的教学密切相关，更直接涉及了教学内容的适当性，这也就是说，我们不应只是关注教学中应当采取什么样的教学方法，而且也应对教材中各项内容的适当性做出自己的独立思考。

【例6】数学教学中是否应当教这样的“简易算法”？

这是某教材三年级下册的一项内容：“有趣的乘法计算”。其中以“找规律”的形式引入了关于“两位数乘两位数”的两个简易算法，希望通过找出“一个两位数与11相乘”（如24×11，53×11，62×11等）其得数的规律，以及“两个十位上的数相同、个位上的数相加等于10的数相乘”（如24×26等）其得数的规律，帮助学生“算得又快又对”。

教材中突出强调了“找规律”（“探索和发现规律”）的这样两个关键：（1）“通过仔细观察和比较发现规律”；（2）“发现规律后，要通过计算进行验证”。如：

“这几题的乘积会有什么特点？先算一算、填一填，再和同学交流。”

积的末两位是怎样算出来的？末两位前面的数呢？

积的末两位等于两个乘数个位上的数相乘。

积的末两位前面的数等于……

先直接写出下面各题的得数，再用竖式计算验证。

15×15= 43×47= 69×61=

笔者在此所关注的则主要是两个问题。

第一，我们为什么要让学生学习这样的“简易算法”？具体地说，数学教学是否应当刻意地让学生算得更快？进而，即使学生并未真正理解相关算法背后的道理，就只要能让学生掌握相关的算法，或者说，能够牢固地记忆并能按照相关法则机械地加以应用，相关的教学就算获得了成功？

建议读者在此还可实际地去调查一下：就刚刚学完了这一内容的三年级学生而言，有多少可以说出这两个简易算法背后的道理？再则，就曾经学习过这一内容的小学高年级学生乃至中学生而言，又有多少仍会采用所说的算法，特别是其中的第二种算法去从事相关的计算？另外，利用所说的算法与直接用竖式进行计算相比究竟又快了多少？

另外，还应强调的是，这事实上又可被看成“走向核心素养”这一整体性教育思想给予我们的一个重要启示。数学教育的主要作用就是促进学生思维的发展，特别是，我们应通过自己的教学去帮助学生逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思维”逐步走向“理性精神”。进而，依据这一立场，我们显然也就可立即引出这样一个结论：我们在教学中不应唯一地关注学生的“即兴反应”能力，而是应当更加重视学生“长时间思考”的习惯与能力的养成。（详可见另文“‘数学核心素养之我见”，《教育视野》，2016年第4期）总之，上面的论述可被看成为我们深入思考教学中是否应当引入所说的“简易算法”提供了直接背景，特别是，除去单纯的“快”以外，这还有什么积极意义，又是否具有一定的消极影响？

当然，后一问题的思考就直接关系到了这样一点，即是相关的教学如果未能让学生真正弄清算法背后的道理，而只是停留于“牢固记忆”和“机械应用”上，那么，就如上一节中所已指明的，学生恐怕就很难“学得进、记得住、用得上”，更必然地会对他们今后的数学学习活动产生一定的消极影响，特别是，因此而形成若干错误的观念。

上述分析自然就直接关系到了笔者所要提出的第二个问题。

第二，将数学中的“找规律”简单地归结为：（1）“通过仔细观察和比较发现规律”；（2）“发现规律后，要通过计算进行验证”。这样做是否也会对学生的数学学习造成一定的消极影响？

事实上，在笔者看来，这也正是数学教学在当前所存在的又一普遍性问题，即是“找规律”活动的盛行，但无论就相关的教材编写或是具体的教学活动而言，应该说都存在不小的问题，特别是，（1）有很多所谓的“找规律”事实上根本不能被看成“规律”。（2）人们往往以“發现规律、检验规律”统一地去处理相关内容的教学，而未能认识到不同的内容与场合应有不同的教学重点。（3）尽管有些活动确实可以被看成真正的“找规律”，但我们往往又在不知不觉之中将“学生的自主探究”变成了“假探究”。（详可见另文“‘找规律教学中的若干误区”，《小学教学设计》，2014年第3期）

就我们目前的论题而言，笔者还要特别强调这样一点：这事实上也直接关系到国际数学教育界通过对20世纪90年代在世界范围内普遍开展的“大众数学”这一改革运动进行反思所得出的以下教训。正是针对上述改革运动中经常可以看到的现象：学生往往满足于用实验方法求得了具体解答，甚至教师也以此作为自己唯一的教学目标。人们提出：“数学并不停止于实验，而必须把它与理性的解释联系起来。在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？”也正因此，“在鼓励学生在数学中进行实验的同时，我们又应向他们指出实验方法的局限性：通过实验所得出的发现不应被看成终点，而只是迈向以某种广泛的数学结构为背景的更全面理解的第一步”；与此相对照，“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟，因为，“证明正是数学的本质所在”。（详可见 H. Wu[伍鸿熙]，“Some Observation on the 1997 Battle of the two Standards in the California”，An expanded version of a Colloquium Lecture at the California State University at War，Sacramento，Feb. 12，1998）

当然，就这方面的具体教学工作，我们又应充分考虑到学生的认知发展水平，这也就是指，小学数学教学不应盲目去提倡严格的证明。但是，作为问题的另一方面，笔者以为，我们又不应满足于由简单归纳去得出结论，而应对其真理性做出进一步的思考，由“什么可能为真”转向“这为什么是真的”，包括尝试着用自己的语言对此做出清楚的说明。

由以下的分析即可看出后者并非一个过高的要求。

只需对相应的竖式计算作一些调整，特别是改变计算的“序”，包括书写的方式，我们就可立即看出隐藏在上述简易算法背后的道理。

当然，这里的关键就在于教师自身对于具体算法背后的道理是否有清楚的认识！

四、过分注重“速度”的考核要不得

教学中我们应当很好地处理“快”与“慢”之间的辩证关系，特别是，我们不应以思维速度的快慢作为评价学生学习情况的主要标准，而应更加关注如何能为学生“长时间思考”创设必要的外部环境或氛围。例如，教师在课堂上提出问题以后，不应一味地鼓励学生尽快做出反应：“看谁先举起手来？”“看看谁已经做出来了？”从而在不知不觉中对那些仍在进行思考的学生施加了较大的压力，而是应当表现出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”并应注意引导学生更仔细、更深入地去进行思考。

在此要强调的是，除去适当的教学方法以及教学内容的必要审视外，我们也应注意分析数学考核在这方面的可能影响。

以下就是这样的一个实例。

[例7] 不应提倡的数学考核。

这是笔者新近见到的一份“试卷”：“义务教育教科书数学三年级上册期末调查试卷”。足足4页占满了2大张纸，有六个大题22个小题，还不包括16个口算题与6个笔算题（其中有2个要求学生进行验算），有些小题还做了进一步的细分，由一、二、三和1、2、3等进一步过渡到了（1）（2）（3）等——这样，总的算来，一份试卷就共有63个问题需要学生给出解答，还不包括画图（如“画一个正方形和一个长方形，使它们的周长相等”）、涂色（如“用不同的颜色在下面的大长方形中涂色表示种两种蔬菜的地”）等；考试的时间是一节课，短短的40分钟（事实上延长到了60分钟）。

当然，这份试卷中的有些问题，特别是所说的“口算题”与“笔算题”，其主要目的就是检查学生的计算能力，也即他们是否较好地掌握了这方面的基本技能。但是，由于并非所有的问题都如此简单，以致大多数学生无须任何深入思考就可立即写出答案，因此，我们就应认真地去思考这样一个问题：这样的考核是否给学生的思考留下了足够的时间？

例如，以下就是试卷中以“填空题”的方式出现的两个“小问题”（每个空格占1分）：

（1） 用12个1平方厘米的小正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长最短是（ ）厘米，最长是（ ）厘米。

（2） 把一张边长12厘米的正方形纸片剪成4张同样大的长方形纸片，每张长方形纸片周长是（ ）厘米。

以下则是笔者在尝试求解上述问题时的实际经历：其一，由于第一个问题的解答必须考虑到各种可能的情况，笔者就首先采取了“画草图”的方法；进而，尽管由此总结出“共有3种情况”并不很难，但要找出“最短和最长的周长”，我们显然还必须就这三种情况分别进行计算，然后才能通过比较获得正确的解答，从而也就必然地需要花费较多的时间。其二，面对第二个问题，笔者头脑中立即出现的是这样一个“心理图像”，将原来的大正方形分成了4个同样大的长方形，而通过进一步的思考才认识到这一做法是错误的，因为，问题中所要求的是“4个同样大的长方形”，而非“正方形”。有点可笑的是，笔者甚至还迟疑了不小一会才认识到究竟什么是题目中所指的“分法”，当然此时再去从事计算就没有什么困难了，特别是，如果此时我们也能采取“画草图”的方法。

但是，在题量如此之大的情况下我们的学生是否有时间去进行上述的思考？或者说，面对数量如此之多的考题他们是否能够真的定下心来进行哪怕是稍微深入一点的思考？面对笔者的疑虑也许有教师会做出这样的解释，我们的学生在平时早已做了不少类似的练习，即如“用12个1平方厘米的小正方形纸片拼成一个长方形”究竟有几种拼法，其中何者有最长或最短的周长等等，因此在考试时就根本不用做任何深入的思考，而只须通过简单回憶和少量计算就可立即写出正确答案。这些教师所说的情况也许是真的，但在笔者看来，这恰又进一步突现了这样一个问题：这样的考试（与教学）究竟体现了怎样的导向？难道我们所追求的就是记忆与模仿，而不是学生的积极思考与思维发展吗？

愿有关各方在命题时也能经常想到这样一些问题，从而切实避免由于不适当的考核对学生的成长造成不应有的消极影响。

笔者的这一提醒是否有点言过其实，过于夸大了？相信读者由台湾学者的以下论述就可更清楚地认识这一问题的重要性，后者即是指，如果我们经常使用这种“大运动量”的考题，就必然会使学生彻底陷入“应试教育”的泥潭，不仅未能养成“长时间思考”的习惯与能力，也会完全丧失掉对于数学的兴趣与自信。“台湾学生在历年国际评比的数学表现、成就表现始终名列前茅，然而……学生对于数学的功用、喜爱和自信心的表现却始终是倒数前几名……呈现出‘高成就、低信心的特征……猜测造成此现象的主要原因来自于考试制度下的数学学习特性，学生为获取较高分数，必须使用适当的演算法快速求得答案……学生少有时间与机会发展自己的思想，学习多为被动、背诵及反复练习的方式。”（林福来，《主动思考》，开学文化[台湾]，2015，第3页）

为了更清楚地说明问题，在此还要特别提及这样两个事实。

其一，这是现实中经常可以听到的一个“应考策略”：“如果面对一个考题一下子似乎无从下手，就把它搁置一旁，先去求解那些较为熟悉、较为容易的题目！”

现在的问题是：这是否也在上述的错误方向上起到了推波助澜的作用？

其二，这是美国学生普遍持有的一个观念：“每个问题都只需化5～10分钟就可解决，否则就不可能单凭自己的努力获得解决。”另外，在对九到十二年级的12个数学班所作的一次调查中，针对以下的问题“如果你理解了题材，对于家庭作业中的一个标准问题需要多少时间去求解？”学生回答的平均数是2.2分钟！

那么，学生究竟是如何形成这一观念的呢？美国著名数学教育家舍费尔德对此做了专门的研究。他写道：“在整个学年中，我们所观察的12个班级中没有一个学生所做的数学作业可以称得上严格意义上的数学问题。学生所做的都是些练习，而设计这些作业的目的则是为了表明学生对于学科内容的较小组块的掌握情况，并要求这些作业能在较短时间内得以完成。例如，在一个标准的5天工作周中，学生分别被要求完成28、45、27和30题‘家庭作业。……教师并让学生尽可能多地在黑板上演示家庭作业的答案。考虑到作业的数量，这就意味着他期望学生能在45分钟的时间内完成20题或更多的‘问题。事实上，在一次关于轨迹和作图的单元考核（全校10个班级的统一数学考核）中，竟包括有25个问题——学生平均每2分10秒就得解决一个问题。教师给学生的建议是：‘你们应当熟悉所有的作图题，这样就不必花费很多时间去进行思考了。

“总的来说，学生在整个12年的数学学习过程中做了成千上万道的‘问题——事实上，对于每道题都期望学生能在几分钟内得到完成。在这种布置后面的假设是：如果你理解了题材，就可以做出这些练习；而如果未能在合理的时间内做完练习，就说明你没有理解，从而就需要帮助。

“无论教师是否打算把这一假设传递给学生，学生都形成了这样的看法。”（详可见A. Schoenfeld，“When good teaching leads to bad results：The disasters of ‘well taughtmathematics classes”，《Educational Psychologist》，23[1988]，第159～160頁）

由此可见，我们确实应对上述问题予以足够的重视，从而才能切实防止由于不适当的教学方法、教学内容与考核方式对学生的成长造成严重的消极影响。

最后，笔者再次强调这样一个建议：希望广大一线教师能结合自己的教学对于上述论题做出进一步的分析总结，既包括“什么样的数学教学要不得”，也包括“我们究竟应当如何去进行数学数学”。

（南京大学哲学系 210093）