高三数学复习用好课本的几点思考——源于课本的求轨迹方程高考题

东莞高级中学(523128) 刘心华

高三数学复习用好课本的几点思考
——源于课本的求轨迹方程高考题

东莞高级中学(523128) 刘心华

高中新课程倡导“用教材教”,而不是“教教材”,其目的就是要求教师能够灵活地、创造性地使用教材.但是在高三的复习迎考中,相当多的教师认为课本没有什么好讲,老师不太喜欢使用课本中的例习题,学生也觉得课本没有什么好做,认为课本中的例习题过于简单,对训练数学思维并没有多大帮助,而是从一些教辅资料中选择例题与习题或者干脆使用高考题.

实际上,教材中的例习题是编者精心挑选,再三酝酿后挑中的,具有典型性、示范性和针对性,既可以帮助学生理解基础知识、进行思维训练,又可以帮助学生掌握数学思想方法,培养发展能力.高三数学复习应重视课本的例习题,把分散在课本中的相关例习题聚结串联起来,可以加深一类问题的深刻理解;把课本中的一些例习题织网汇面,形成知识模块,可以获得求解一类问题的通性通法;对课本中例习题及隐含于其中的方法进行连片整理总结,可以提炼一类问题的数学思想方法.本文以人教版《数学》选修2-1中的例习题为例,结合近几年高考中的求轨迹方程问题,谈谈自己对高三数学复习用好课本的几点思考.

一、结成点—熟练基本技能

高三数学复习的目的在于熟练基本技能,提高学生解决问题的能力.将课本中的形异质同的例习题聚结成点,揭示知识与方法的联系,加深学生对知识的理解与方法的内化,提高学生解决问题的基本技能.来看课本中的一组轨迹问题:

问题1(教科书第36页例3)已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到直线l的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.

问题2(教科书第47页例6)点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=的距离的比是常数求点M的轨迹.

问题3(教科书第50页习题2.2B组第3题)点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2,求点M的轨迹方程,并说明它是什么图形.

问题4(教科书第59页例5)点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线的距离的比是常数求点M的轨迹.

问题5(教科书第62页习题2.3B组第3题)求到定点F(c,0)和它到定直线l:距离之比是)的点M的轨迹方程.

本组课本中的例习题运用直接法不难求出动点的轨迹方程,从问题2到问题5,以上题组可以统一为:到定点距离与到定直线距离之比等于定值(大于1、等于1、小于1)的点的轨迹问题.高三复习课中将课本中的这些问题集中到一起解决,一方面使学生掌握解决这类问题的基本方法,另一方面可以让学生了解圆锥曲线的统一定义,学生可以更好的认识圆锥曲线的有关概念,这样既符合学生认知规律,又有利于学生整体上的提高.以下高考题中的求轨迹方程问题来自本组课本问题:

问题(2013年陕西高考文20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.

二、串成线—总结解题规律

高三数学复习的目的在于总结解题规律,提高学生综合解题的能力.由于高一、高二学生所学的知识是零散的,高三复习的一个重要任务就是把相对零散的知识串联起来,形成有机的知识链,一方面加深学生对数学规律和本质的理解,另一方面让学生以更高的观念审视数学,以更灵活的方法解答问题.来看课本中的一组轨迹问题:

问题1(教科书第41页例 3)如图 1,设点A,B的坐标分别为(−5,0),(5,0),直 线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是求点M轨迹方程.

图1

问题2(教科书第 55页探究)如图2,点A,B的坐标分别是(−5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是试求点M轨迹方程.

图2

问题3(教科书第 42页练习 4)点A,B的坐标分别是(−1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M轨迹是什么?为什么?

图3

问题4(教科书第74页B组第3题)已知点A,B的坐标分别是(−1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2,求点M的轨迹方程.

问题5(教科书第80页A组第10题)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(−5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m/=0),试探求顶点C的轨迹.

问题6(教科书第81页复习参考题B组第5题)已知点A,B的坐标分别是(−1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之和是2,求点M的轨迹方程.

课本中本组例习题要解决的是动点与两定点连线斜率的和、差、积(正数、负数)、商的轨迹问题,运用直接法,求出的轨迹为椭圆、双曲线、抛物线等曲线方程.若对问题1与问题2进行一般推广,还可以得到椭圆与双曲线的另外一种“定义”方式.高三复习课教学中要充分利用课本中的这些例习题,把握问题间的联系,寻找一般解法,总结解题规律.掌握了解答此类问题的基本方法,可以解决以下求轨迹方程的高考题:

三、织成网—完善知识网络

高三数学复习的目的在于完善知识网络.运用知识之间的交叉、渗透和组合,在知识网络的交汇点设计问题是高考命题的特点.高三数学复习中要利用好课本中的例习题,挖掘知识点间横向联系,抓住起支撑作用的主干,完善知识网络,促进知识的融会贯通.来看课本中的一组轨迹问题:

问题1(教科书第35页例2)设A,B两点的坐标分别是(−1,−1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.

问题2(教科书第37页习题2.1A第2题)求和点O(0,0),A(c,0)距离的平方差为常数c的点的轨迹方程.

问题3(教科书第37页习题2.1A第3题)两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.

问题4(教科书第54页例2)已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

问题5(教科书第62页习题2.3B组第2题)相距1400 m的A,B两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3 s,已知声速为340m/s,问炮弹爆炸点在怎样的曲线上,为什么?

问题6(教科书第41页例2)如图2.2-5,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

问题7(教科书第74页B组第1题)从抛物线y2=2px(p＞0)上各点向x轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明它是什么曲线.

问题8(教科书第50页习题 2.2B组第1题)如图,DP⊥x轴,点M在DP的延长线上,且当点P在圆x2+y2=4上运动时,求点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状.与例2相比,你有什么发现?

图4

课本中本组例习题的解决可以运用直接法、定义法、相关点法、几何法,针对课本例习题不同的类型,在知识网络中寻求问题解决的途径.数学知识本身系统性很强,把握好知识的交汇点,才能沟通知识间的纵横联系,完善知识网络,促进知识与方法的融会贯通,进而灵活运用.以下高考题中的求轨迹方程问题来自本组课本问题:

问题1(2014年福建高考文21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=−3的距离小2.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.

问题2(2014年湖北高考理21)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)设斜率为k的直线l过定点P(−2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

四、汇成面—领会数学思想

新课程高考显著特点是在考查基础知识的基础上,突出对数学思想与核心能力的考察.教师应在关注通性通法的前提下,交汇成面,重视问题中数学思想的渗透,帮助学生领会数学思想,提高学生的数学素养.来看课本中的一组轨迹问题:

问题1(教科书第37页练习第3题)如图,已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.

图5

问题2(教科书第37页习题2.1A组第4题)过原点的直线与圆x2+y2−6x+5=0相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.

问题3(教科书第37页习题2.1B组第1题)过点P(3,4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A,B,过A,B分别做两轴的垂线交于点M,求点M的轨迹方程.

问题4(教科书第37页习题2.1B组第2题)一动圆截直线3x−y=0和3x+y=0所得弦长分别为8,4,求动圆圆心的轨迹方程.

问题5(变式题)设A1,A2是椭圆的长轴两个端点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点,求直线A1P1与A2P2的交点的轨迹方程.

课本中本组例习题的解决可以运用相关点法、几何法、参数法、交轨法,特别是数形结合、转化化归、函数方程、分类讨论的思想贯穿本组问题的解题整过过程.数学思想蕴含在数学基础知识之中,它与数学知识的形成同步发展,教师应充分挖掘课本例习题的潜力,引导学生积极思考,探索问题的解决途径,发展学生的数学思维,领会数学思想.以下高考题中的求轨迹方程问题来自本组课本问题:

问题1(2015年广东高考文理20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

问题2(2014年全国新课标1文20)已知点P(2,2),圆C:x2+y2−8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程;

(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.

问题3(2013年全国新课标II文20)在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若P点到直线y=x的距离为求圆P的方程.

问题4(2013年陕西高考理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2)已知点B(−1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.

问题5(2016年全国新课标1理20)设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

五、连成片—提升思维能力

数学教学是以培养和发展学生的思维能力为目的,能力考查也是高考的重点和永恒主题.高三数学复习要实现知识向能力的转化,就要充分发挥课本例习题的价值,把一些“不起眼”例习题连片归纳推广,挖掘课本例习题的内涵和外延,提升思维能力.来看课本中的一组轨迹问题:

问题1(教科书第49页A组第7题)如图6,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?

图6

问题2(教科书第62页A组第5题)如图7,圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?

图7

问题3(教科书第50页习题2.2B组第2题)一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2−6x−91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线.

问题4(教科书第 50页B组第 4题)如图 8,矩形ABCD中,|AB|=8,|BC|=6.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,R′,S′,T′是线段CF的四等分点.请证明直线ER与GR′,ES与GS′、ET与GT′的交点L,M,N都在椭圆

图8

课本中本组例习题的解决可以运用定义法、相关点法、参数法、交轨法,但如果就题讲题,本组例习题应有的功效就没有发挥出来,对于问题4可以从多个角度,运用不同的方法求解,在常见中求新意,在平凡中见奇效.对问题4的多角度多方法求解,解决以下高考题中的求轨迹方程问题就显得驾轻就熟:

问题1(2013年全国新课标 I理 20)已知圆M: (x+1)2+y2=1,圆N:(x−1)2+y2=9,动圆P与M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程;

(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

问题2(2013年福建高考理18)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,...,A9和B1,B2,...,B9,连结OBi,过Ai做x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N∗,1≤i≤9).

图9

(1)求证:点Pi(i∈N∗,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;

(2)过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4:1,求直线的方程.

高考试题源于课本.课本在高三数学复习中占据无可替代的作用.课本的例习题蕴含着丰富的知识点、解题技巧、数学思想方法.我们若能对课本中的例习题进行认真地研究,挖掘其内在的潜能,在高三复习中合理地再利用,不仅可以帮助学生摆脱“题海”,也有利于提高高三数学复习的质量.

[1]刘绍学.数学选修2-1[M].人民教育教育出版社,2014,6.

[2]徐爱勇.教材:高考复习的“根据地”[J].中学数学月刊,2012,3.