加速度计加速退化数据统计分析方法

滕 飞，王浩伟，陈 瑜，盖炳良

（海军航空工程学院 科研部，烟台 264001）

加速度计加速退化数据统计分析方法

滕 飞，王浩伟，陈 瑜，盖炳良

（海军航空工程学院 科研部，烟台 264001）

加速退化试验广泛应用于加速度计的可靠性评估或寿命预测，然而加速退化数据统计分析方法的研究不足制约了可靠性评估或寿命预测的准确性。提出了一种基于Wiener退化模型的加速退化数据统计分析方法，利用加速因子不变原则推导退化模型各参数的变化规律，在此基础上建立加速退化模型，从而克服依赖假定进行加速退化建模容易造成较大误差的不足。针对传统的极大似然估计方法适用性不强的问题，提出了利用fminsearch函数结合最小二乘法求解极大似然估计值的方法。针对寿命预测时无法得到可靠寿命解析式的问题，提出了利用 fzero函数求取可靠寿命的方法。仿真试验证明了加速因子不变原则推导结论的正确性，案例应用验证了所提方法的有效性。研究工作在加速退化建模、参数估计、寿命预测三个方面提出了有效的方法，具有一定的工程应用价值。

加速退化数据；加速因子不变；Wiener退化模型；极大似然估计；可靠寿命

加速度计的功能是测量载体运动时的加速度信息，主要用于各类惯导系统，是惯导系统的关键部件及寿命薄弱环节。加速度计是高精度的机电一体化产品，一般由电路系统、机械结构、基础材料构成，在加速度计工作或长期贮存过程中，某些性能参数例如标度因数稳定性不可避免发生退化，最终会导致产品性能参数超差[1-3]。

加速度计的主要失效模式为退化失效，可对其性能退化规律建模能够预测出性能指标达到失效阈值的失效时间。Wiener过程由于能够描述产品退化的不确定性并且具有良好的统计特性，适合用于加速度计的性能退化建模[4-5]。为了提高预测效率，目前已经广泛利用加速退化试验技术快速获取加速度计的性能退化数据，例如文献[6]开展步进温度应力加速退化试验获取加速退化数据，文献[7]开展恒定温度应力加速退化试验获取加速退化数据。

利用加速退化试验技术预测产品寿命信息的关键之一是要对加速退化数据进行准确的统计分析，其中主要包括加速退化建模和参数估计两个方面。然而，目前过多依靠主观假定建立加速退化模型，并且对参数估计方法也缺少深入研究，这容易导致寿命预测结果不准确。为此，本文提出了一种较为客观、实用的加速退化数据统计分析方法，其特点是基于加速因子不变原则进行加速退化建模，结合Matlab软件中的相关函数实现参数估计。

1 Wiener退化模型

式中，μ为漂移参数，σ为扩散参数，B(·)为标准Brown运动，Λ(t)为时间函数且Λ(0)=0。

式中，Φ(·)为标准正态分布的CDF。产品的PDF为

2 加速退化建模

2.1 确定与加速应力相关的模型参数

加速退化数据建模的首要问题是要确定出性能退化模型的哪些参数与加速应力相关，即哪些参数值会随着加速应力水平发生改变。然而，目前普遍根据主观判断或工程经验假定哪些参数与加速应力相关，这容易错误建立加速退化模型。为了避免此问题，提出了利用加速因子不变原则推导出退化模型的哪些参数与加速应力相关的方法。

时，可将Sk相当于Sh的加速因子AFk,h定义为

根据式(7)，能够推导出以下等效关系式：

推导过程为

将式(4)代入式(8)并且设Λ(t)=t，得到：

为了保证AFk,h是一个不随tk变化的常数，要求式(10)中tk的系数项为0：

推导出如下关系式：

可知形状参数Λ与加速应力无关。

2.2 建立相关参数的加速模型

假定温度T为加速应力，相关参数与加速应力之间的变化规律可利用 Arrhenius加速模型描述。第 k个加速温度应力Tk下的漂移参数表示为

Tk下的扩散参数表示为

扩散参数σ的加速模型为

建立Wiener加速退化模型为

3 参数估计

3.1 极大似然估计法

传统求解未知参数极大似然估计值的方法为，首先由对数似然函数获取各参数的偏导，然后解出各偏导为0时对应的参数值。对于由加速退化模型建立的似然函数，未知参数的偏导表达式普遍繁琐，导致求解未知参数的工作量很大甚至无法解出未知参数值，因此传统方法的适用性不强。为避免传统方法的不足，提出一种利用Matlab软件中的fminsearch函数求解极大似然估计值的方法。

从而将求极大值问题转换为求极小值问题；

相比于传统估计方法，基于fminsearch函数的极大似然估计方法不受复杂的似然函数所局限，适用性较强。然而此方法对参数初值选取的要求较高，初值设置不当无法获取最优解，因此通常需要多次试设参数初值，这在未知参数数量较多时会造成较大工作量，例如采用多应力加速模型时。如果遇到因参数初值设置不当无法获取最优解的问题，可利用以下最小二乘法确定参数初值。

3.2 最小二乘估计法

根据式(18)(19)，得到：

建立如下矩阵方程：

4 外推常规应力下的可靠性指标

产品在T0下的平均寿命为

产品的可靠寿命是实施预防性维修、延寿等措施的重要参考指标，因此工程领域非常重视产品的可靠寿命，然而对于Wiener退化模型，无法获取可靠寿命的数学解析式。文献[12]利用下式近似计算可靠寿命ξR：

式中，R=1-p为可靠度，zp为标准正态分布函数的p分位值。如果想要获取Rξ的精确解，可利用Matlab软件中的fzero函数求解，主要步骤为：

将求可靠寿命问题转化为求函数零值问题；

5 仿真验证

2.1 节中通过加速因子不变原则推导出Wiener退化模型的各参数应该满足式(13)，本节设计仿真试验检验式(13)是否正确。仿真模型为

表1 仿真结果Tab.1 Simulat ion results

6 案例应用

表2 Wiener退化模型在各加速应力下的参数估计值Tab.2 Parameter estimates of Wiener degradation model under different stresses

图1 T1下样品的退化轨迹Fig.1 Degradation paths of samples underT1

图2 T2下样品的退化轨迹Fig.2 Degradation paths of samples underT2

图3 T3下样品的退化轨迹Fig.3 Degradation paths of samples underT3

图4展示了参数值的外推效果，可见μ及σ的加速模型都较好地拟合了加速应力下的参数估计值。

图4 参数值外推效果Fig.4 The extrapolation effect of parameter estimates

图5 可靠度曲线及95%Boostrap置信区间Fig.5 Reliability curves and 95% Bootstrap confidence intervals

采用第 4节中的方法分别求取可靠寿命的近似解和精确解，并建立精确解的95%Bootstrap置信区间[15]如表3所示。表中的近似解比精确解偏大约2%，采用近似解有乐观估计产品可靠寿命的风险。

表3 可靠寿命的近似解与精确解Tab.3 Approximate and accurate solutions of reliability life

7 结 论

本文以加速度计加速退化数据为对象，提出了一种较为客观、实用的加速退化数据统计分析方法，其特点是基于加速因子不变原则进行加速退化数据建模，结合 Matlab软件中的相关函数实现参数估计及可靠寿命预测。主要结论为：

1）加速退化模型是否合理直接影响可靠性评估结果的准确性，加速因子不变原则为确定退化模型各参数的变化规律，进而正确建立加速退化模型提供了一条有效途径；

3）与传统的极大似然估计法相比，基于fminsearch函数的估计方法不受复杂的似然函数所局限，配合最小二乘法确定参数初值，使得此方法适用范围广，估计效果好，具备较强的工程使用价值；

4） 基于Wiener退化模型的可靠度函数容易由逆高斯分布函数推导出，然而无法获取可靠寿命的解析式，本文利用 fzero函数精确求取可靠寿命，为解决类似数学问题提供了有益参考。

（References）：

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Statistical analysis method for accelerated degradation data of accelerometers

TENG Fei, WANG Hao-wei, CHEN Yu, GAI Bing-liang
(Department of Scientific, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)

The accelerated degradation testing is extensively applied in the reliability evaluation and lifetime prediction of the accelerometer. To improve the accuracies of evaluation and prediction, a statistical analysis method for accelerated degradation data is proposed based on Wiener degradation model, which utilizes the acceleration factor constant principle to deduce the change rules of model parameters. Based on this, an accelerated degradation model is set up, which overcomes the drawbacks of the traditional assumption-based modeling method. In order to overcome the insufficient applicability problem of the traditional maximum likelihood method, an estimation method using fminsearch function and the least square method is proposed. Since the mathematical expression of the reliability lifetime cannot be obtained, a resolving method using fzero function is given. Simulation test validates the conclusion deduced from the acceleration factor constant principle, and the case study demonstrates the effectiveness of the proposed method. The research works provide effective methods for the accelerated degradation modeling, parameters estimation and lifetime prediction, which can be applied in the engineering application.

accelerated degradation data; acceleration factor constant; Wiener degradation model; maximum likelyhood estimate; reliability lifetime

U666.1；TB114.3

A

1005-6734(2017)02-0275-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.02.026

2016-12-24；

2017-03-20

国家自然科学基金（51605487）；山东省自然科学基金（ZR2016FQ03）；中国博士后科学基金（2016M592965）

滕飞（1988—），男，博士生，助理工程师，研究方向为装备延寿试验技术。

联 系 人：王浩伟（1981—），男，博士后，讲师，研究方向为装备延寿试验技术。E-mail: 13705355730@139.com