关于函数“一致连续性”的教学探究

彭艳芳

(贵州师范大学 数学科学学院，贵阳 550001)

函数的“一致连续性”是分析学中极具抽象性的一个重要概念，它反映了函数在给定区间上的整体性质，它不仅有利用刻画函数的变化趋势及性质，同时它也是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的参数积分，函数项积分等概念有着密切的联系，是微积分学的理论基础。因而，学生对函数一致连续性的理解和掌握对于分析学的学习具有非常重要的意义。但是，就函数一致连续性的实际教学效果而言，学生在学习中普遍存在一些问题：对连续和一致连续性概念难以区分，不能从本质上理解这两概念的区别；在判断一些函数的一致连续性及非一致连续性时，经常感觉无从下手，力不从心。究其原因，一方面，函数一致收敛性概念本身的强抽象性导致了学生在理解上有一定的困难；另一方面，在教学中，往往就内容讲内容，缺乏对教学内容的深入挖掘和打磨，导致学生学习效果不好，没法达到对知识的真正意义上的理解和掌握。

笔者认为，教师的教学在学生的学习中具有至关重要的地位，教师是学生学习的引导者，引导的好坏直接影响着学生的学习效果，因而对教学而言，教师如何在教学中以直观化、简单化的教学语言，将内容特别是一些强抽象的内容讲“通”，讲“透”，使学生达到“知其然也知其所以然”的教学效果，这是每个教师在教学中值得深思的问题。笔者从学生的思维方式及一个教师的思考角度出发，针对函数“一致连续性”内容的教学做一定的探讨。

1 从概念角度直观“一致连续性”的判定

一致连续概念的引入应结合直观性，把握简单化原则，有助于学生对概念的认识[1]。 函数f(x)在区间I上一致连续的定义[2]:设f(x)为定义在区间I上的函数，若对于任给的ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得对任何x′,x″∈I，只要|x′-x″|<δ，有|f(x′)-f(x″)|<ε，则称函数f在区间I上一致连续。函数“一致连续性”的这个定义，从形式上具有相当强的理论性，如果教师仍按照教材中的组织方式，直接给出定义，那么这堂课从心理上已经“失败”了。因此，笔者认为在函数“一致连续性”的教学中，教师需要在教学引入环节中做一番合理的打磨和处理。

1.1 理解难点

首先，教师需要意识到学生对一致连续性概念理解上真正的难点是什么，即定义中的公共的“δ”。如何去克服这一难点，笔者认为教师可以在教学中从直观性着手，先让学生自己积极地去探讨问题，进而达到对这个公共的“δ”，即函数一致连续性概念的认识。

1.2 对比理解

其次，教师需要通过对比函数一致连续性与连续性两概念，使学生真正理解一致连续性概念。基于上述教学方式，学生从直观上对一致连续概念有了初步理解，但是为使学生真正对一致连续概念有很好的理解，教师需进一步引导学生理解函数一致连续性与连续性两概念的区别与联系。在教学中，教师可在给出一致连续性概念时，用类似于函数一致连续性的表述方式给出函数连续性的概念，从对比的角度达到对概念的深入理解，即：函数f(x)在区间I连续的定义:设f(x)为定义在区间I上的函数，若对于任给的ε>0，对每一点x∈I，存在δ=δ(ε,x)>0，使得对任何x′∈I，只要|x′-x|<δ，就有|f(x)-f(x′)|<ε，则称函数f在区间I上连续。

从上述两个定义的表述中，教师引导学生理解几个方面：(1)函数一致连续可推出函数连续，因此一致连续性是更强的概念；(2)函数一致连续性是一个“整体”概念，而连续性是一点一点定义，因而是“局部”概念；(3)两概念的本质区别在于存在的“δ”，一致连续定义中存在的δ是公共的，与x∈I的选取无关；而连续性概念中的δ会依赖于所选取的x∈I。即如果能找到公共的δ，则连续性进一步转化为一致连续性。

2 从变化率角度理解“一致连续性”的判定

经过对概念直观化教学方式，学生对一致连续概念有一定的理解，但是，可能学生还是无法从几何直观上道出一致连续性概念的理解，因此教师可进一步引导学生从“变化率”角度进一步理解一致连续性概念。

2.1 几何上理解一致连续性的概念

2.2 引导判别一致连续性的方法

从变化率角度出发，学生很容易得“利普希茨”条件法[3]：若函数f(x)在区间I上满足“利普希茨”条件，即存在常数L>0，使得对I上任何两点x′,x″∈I，都有

|f(x′)-f(x″)|

则函数f在区间I上一致连续。这个结论，在学习了“导数”、“微分中值定理”等知识后，就很容易得到：如果导函数f′在区间上I一致有界，则函数f在区间I上必一致连续。

同时，有了这个“切线的斜率”的直观理解后，对于后面去判定“不一致连续性”具有很好的指导意义。例如：判别函数f(x)=x2在区间(0,1)及(0,+∞)上的一致连续性。从函数f(x)=x2的图像中，很容易发现，当x趋于+∞时，其切线斜率会越来越大且切线倾斜角会逼近到90°；当x在有限区间变化时，切线斜率都是有界的，由此从直观上就有了对函数是否一致连续性的认识。有这一直观认识后，在证明f(x)=x2在(0,+∞)上的“不一致连续性”中，对出现的“问题点”的寻找同时也有了直观上的把握。而找出“问题点”是证明函数“不一致连续”中的一个至关点。又如：判别函数f(x)=sinx在区间(0,+∞)上的一致连续性。从函数f(x)=sinx的图像中，可以直观地发现，在区间(0,+∞)上任意一点处的切线斜率都是有限的，由此从直观上可以判定出函数f(x)=sinx在区间(0,+∞)上具有一致连续性。

由上可见，教师在一致连续性的教学中，如果能挖掘出“函数变化率”，进而以函数变化率的角度引导学生去思考函数的“一致连续性”，这样学生能加深对“一致连续性”的认识和理解，同时为后面判别“不一致连续性”奠定一定的基础。

3 从区间角度进一步领悟“一致连续性”的判定

3.1 闭区间上的连续函数

对于Cantor定理，实际上反映出连续函数出现不一致连续情况只可能出现在开区间或者半开半闭区间。而事实上，开区间，闭区间的区别实际上只在于区间的两端上，因此对于连续函数在区间上一致连续性的判别，自然转化为判定函数在开区间两端点处的性质。若教师在教学中，能从区间的角度出发，引导学生去讨论，认识到开区间跟闭区间上的连续函数的根本差别在于：其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义,所以只从极限是否存在角度讨论，而不是从是否连续的角度)。如果开区间的连续函数在端点如果不存在左(右)极限，从直观上看，函数在端点附近的性质如此“顽劣”:可以无限“延伸”，或无限“折曲”，导致函数变化率就可能太大。基于这样的认识，学生可以得出判别开区间上连续函数一致连续性的重要结论。

3.2 开区间上的连续函数

鉴于这样的理解，从区间角度去分析判别一致连续性，对一致连续性在理论上就有了更好的理解，且容易被学生所接受。

总之，数学分析作为数学专业最基础的一门课程，具有很强的理论性、抽象性。函数“一致连续性”内容的教学，是数学分析中极其重要的一个环节，教师应尽量摒弃直接了当的讲述方式，以学生的思维方式为基础，充分挖掘出蕴含在定义或定理中的直观意义，通过直观简单化的方式引入，让学生自己去理解领会概念的本质。进而深化到理论层次，使学生真正喜欢数学分析这门课程，并且能从真正意义上去学好数学分析[4-5]。

参考文献：

[1] 刘期怀,李科赞.几何直观——《数学分析》教学的有效方法[J].高教学刊,2017(6),82-83.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析(面向21世纪课程教材)上册[M].北京：高等教育出版社,2010.

[3] 冉凯,畅文蔷.关于函数一致连续性证明的几个方法[J].西安联合大学学报,2002，5(4),71-73.

[4] 兰尧尧.一致连续性概念的教学探讨与反思[J].教育教学论坛,2015(16),229-230.

[5] 孙永忠，康志荣.关于函数一致连续性的教学探讨[J].山西大同大学学报(自然科学版),1997(2)：40-42.