面向跨学科人才培养的高等代数课程教学探索

吴语来 蔡金转

摘 要：高等代数是一门面对数学专业开设的基础课程。随着科学技术的发展，高等代数的理论和思想方法在各个科学领域都有深刻的应用。文章探讨了在跨学科的背景下，高等代数课程改革的方法和实例，提出了在面对跨学科型人才的高等代数教学中的一些思考和建议。

关键词：高等代数；教学改革；跨学科

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）14-0061-03

Abstract： Advanced algebra is a basic course facing students majoring in mathematics. Nowadays with the development of science and technology， the theory and method in advanced algebra have been applied in many fields of science. Under such an interdisciplinary background， this paper discusses some methods and examples of the reform of advanced algebra course and puts forward some thoughts and suggestions in teaching advanced algebra for interdisciplinary students.

Keywords： advanced algebra； education reform； interdisciplinary

引言

高等代數是数学类专业本科生的专业必修课程之一，也是最基本、最核心的课程之一。高等代数开设于本科一年级，既是对中学算数的延拓，也是本科后续课程的基础。对高等代数的学习和改革，直接影响着学生数学专业思维的训练和兴趣的培养，并间接的影响其今后方向和道路的选择。不仅如此，作为现代科学各个分支的基础，高等代数的思想、理论与方法都已渗透到科学领域的各个方面和实践应用的各个部门，许多工科专业已经不满足于线性代数的内容，一些院校已经开始将高等代数设置成进入通识教育的选修或必修课程。所以，高等代数已经不再局限于数学专业的本科教育。然而，高等代数课程目前开设范围较小，教材更新较慢，内容设置偏理论，学时紧张，针对工科专业的教师和学生对高等代数的教学方法仍在逐步改进中，因此，对面向跨科学的高等代数课程的设置的改革和反思[1，2]，尤为迫切，也越来越受到人們的重视。

一、从课程本身设置上引入学科交叉

近年来，越来越多的学校，注意到对单一专业的知识、思维能力和素质的培养，已经不能够满足现代科技和就业的交叉性、多样性和广度。在高校双学位制度之后，跨学科式的高等教育，已经频频出现在人们视野。2000年，国防科技大学对本科应用数学、应用物理和光电工程等三个专业实施教学改革，提出在三个本科专业实现数理打通，对三个专业的前两年基础课进行统一施教。2007年，北大元培学院成立，实行低年级不分专业，学生能够在全校所有学科范围内选择课程、安排知识结构，设置跨学科专业、通识教育基础课，构建具有前瞻性的课程体系。这些长远的布局，都是希望能通过贯彻加强基础，促进交叉，培养有情怀、视野、兼备创新精神和实践能力，在各行业起引领作用的高素质人才[3，4]。在这样的大背景下，对课程的设置和更新，以及与其他学科的交叉背景的介绍和承接，显得非常紧迫和重要。

然而在大多数高校中，高等代数只对数学专业的学生展开[5]；市面上的高等代数教材，也大多源于上世纪七十年代北大或清华的讲义，经典而稳定，采用的是传统的叙述方式：公理体系出发，遵循“定义-例子-定理-证明-推论”的演绎进行。这样的方式有它的优点， 那就是把数学知识重新整理、系统化，便于课堂讲授。然而，对于非数学专业的学生来说，对于高等代数课程的知识背景、培养目标和学习的目的都和数学专业的学生有非常大的差异。对于目前普通高等院校的工科类学生而言，把抽离出来的背景和来源的数学知识，逻辑和关系都建立起具有生活或学科背景的桥梁，是非常有意义且重要的举措。

（一）与几何一体化

几何为代数提供直观背景，代数为几何提供研究方法。高等代数和解析几何具有非常紧密的联系。解析几何是利用代数方法处理低维空间（二维和三维空间）上的几何问题。高等代数主要介绍多项式理论和线性代数理论，具有较强的抽象性和逻辑性，但高等代数中许多基本概念和方法都有很强的几何背景[6]。数形结合可以使学生在具体的几何背景下更好地掌握代数方法去处理科学技术中遇到的各类问题。

例如，高等代数的第三章介绍线性方程组的解。经典的教材是通过消元法，和对矩阵的秩的情况，解读线性方程组解的判别定理，以及解的结构问题。具体讲授中，可以通过多媒体讲解，将几何背景融入进去。由于每个线性方程可以解读为n维空间的超平面，线性方程组的解可以解读为超平面的交点。从二维入手，解释直线相交的三种情形，解释两根直线相交出现无穷多个交点的情形，在代数上表现为二阶行列式为零。将直观的低维几何背景引入，把空间直线、平面和代数知识有机地结合起来，可以在不削弱原有知识的基础上，将知识的结构调整得更完整，从而优化了教学过程。

（二）与物理背景相结合

例如，在介绍线性空间和线性变换的时候，可以对其背景做出解释和阐述。线性空间是从我们所生活的空间中抽象出来的，包含我们所在空间中最基本的信息。线性空间里的点和向量（矢量）之间的关系，线性空间里的变换，其本质代表着质点的运动（或跃迁）。矩阵是在某种坐标系下，线性变换（运动方式）的描述。而同一个变换，由于选取的坐标系不同，其表示矩阵看上去是不同的，但是它们的本质是一样的，所以叫特征（本征），矩阵之间的关系叫相似。

另外，在介绍矩阵的转置时，可以从力、功和能量的角度，来介绍反对称矩阵和辛之间的联系[7]。

（三）经管统计相结合

在介绍特征值和特征向量的时候，学生往往非常迷茫于为何要设置这样的概念，这时可以相应的介绍一点应用背景[8]。例如，马尔可夫人口模型。将人口模型应用矩阵来设置更新分类，通过对矩阵的特征值和特征向量的求解，来求达到人口平衡模型的解，并指出这种预测在宏观政策上的导向意义。

总之，面对跨学科应用型人才培养的高等代数课程，应该根据课程定位和学生专业兴趣与要求，在课程内容与体系设计上，坚持课程内容叙述上的启发性，加强课程内容的交叉背景，兼顾课程内容的学术性和应用性，并在课程内容的定位中要考虑到学生的现实性和发展性。

二、教学方法上多样化

大学本科教学学时非常紧张是一个普遍现象。传统的授课方式为讲授法，这种方式在近代数学教育的历史上，使用最多最频繁。其最大的优点在于，能用最少的时间传授最多的知识点，在教育缺乏的年代，这样的方式，使得我国科学技术的断层得以迅速的弥补，知识结构得以迅速扩张，在许多的学科上，可以明显的看见从无到有的迅速积累过程。然而，在中国经济体量成为世界第二大的今天，社会的进步和科技的进展使得教学内容在不断的增加。在有限的学时中尽可能多的授业，仅仅靠老师在课堂上灌输是远远不够的。并且，开始有独立思维的学生也不再甘愿屈服于填鸭式的教学。不仅如此，高等代数课程比之初等数学的课程而言，理论性强、内容抽象，学生学习有一定困难。不少同学在刚进入大学时信心满满，然而没上几节课就开始放弃。教学内容的深奥更需要教师花时间和心思对教学方法进行探索和改进。

（一）课堂教学的多样性

一节课的时间是有限的45分钟，然而课外的时间却远远成倍于之。重新调整课堂时间，通过课外的时间来补充学时内的不足，是一个非常不错且可行的办法。近年来，缘起于Mooc（Massive Open Online Courses）的教学建设在我国掀起了教改的高潮。引进开放式在线课程，优势和不足都引起了极大的反响。其天然的优势在于，打破时间和空间的局限性，教学方式非常灵活，并且可以极大的豐富传统课时里紧张的内容，有着非常广阔的前景和重要的意义。其不足在于不少刚成年的学生的自主学习意识薄弱，Mooc不适合作为高等代数这类趣味性弱且高度抽象的课程的主要教学模式。因此，我们认为，Mooc和一些在线课程和视频，可以作为传统授课的辅助手段。对于一部分非常有学习兴趣和学习主动性的学生而言，利用Mooc、教学短视频、电子书和学习论坛等辅助方式来引导其完成课堂教学之外的内容扩展，为学有余力的同学拓宽视野，拓广知识结构。

（二）增加互动式实践学习模块

教学是老师和学生之间共同完成的活动。因此学生对课程内容的反馈和互动，是非常宝贵的。在传统输送式讲授和在线播放之外，还可以将研究生的讨论班模式引进课堂。老师可以布置一些命题和富有实践意义的专题，让学生们自主选择学习一段专题或研究一个具体的问题，在课下以小组的形式讨论形成集中意见。学生之后在课堂上讲述自己学习的体会和所得，在讲述的过程中发现自己的不足，并通过思考同学之间的提问，引发不同思路之间的交流和碰撞。同时，老师在讲台下听取意见，并加强引导和指导方向，从而达到深入学习的目的。

（三）打破一个教师教一门课的禁锢

每一位老师都是由传统的专业性教育成长起来的。专业的局限性，使得在教授课程时，多少都带有且仅带有自身专业的背景。然而，下一代的学生将处于一个多样交叉的时代，单一的专业背景恐怕并不能够满足教学的需要。一个解决的想法是，将高等代数课程，在介绍完了基本知识之后，设置几次专题，根据所学的不同的知识点，邀请几个不同专业的老师，根据自身的方向和应用来讲解理论背后的背景和应用。由于高等代数和多门学科之间的高度交叉性，一门课由一个老师主讲，两三个老师协助共同完成是完全可以实现的，并且在扩展学生的视野，打破授课风格的单一性，以及开拓知识结构的层面上，都是非常有益的。

三、激励学生学习的方法

由于本科阶段靠自学为主，与高中师长频频紧盯差异甚大。如何调动学生自主学习，是每个任课老师都非常关注的问题。

（一）考核和评价体系的优化

普通高校的考核模式一般为，平时成绩与考试成绩三七或者二八开。而平时成绩一般与学生作业的完成情况，平时的课堂表现和上课的出勤情况等等相关。多年以来这样的设置，已经被学生接纳。于是平时成绩就成为了教师根据实际班级的情况和学生博弈的一个调节手段。因此如何设置合理的激励机制，利用合理的评价体系来促进学生对课程的学习，是一个非常值得探索的问题。

对于学生学习的激励，可以由外向内来进行。从外部层面上说，学习的成绩和排名是直接和保研、出国以及能否顺利毕业等奖惩措施挂钩的。对内而言，学习是学生自我的要求，对内心的自信、自我实现的完成度都会成为学习的动力。对主动学习的学生而言，要保证评价的公平性，并且激发其课下的潜力，比如鼓励和指导其参加数学建模竞赛等。对学习积极然而有困难的学生而言，要积极沟通，帮助其解决困难，增加其对学习掌握后的信心。对于消极怠工的学生，可以采用小组搭建的方式，通过树立学风和良好的学习习惯学习态度，使其不至于掉队。

另一方面，学生在自己团体中的地位也会影响学习的积极性。例如在课程设计等通过分组完成的部分，每个学生可以自由的选择命题，选择命题相同的自动成为一个小组，同时在每个小组里设置名额有限的分数等级，通过学生之间的投票来完成最后的评分。既保证了对不同命题难易程度导致的分数差异的公平性，又激发了学生内心希望收获班级同学间的尊重感和成就感的渴望，在激励学生自主学习的积极性上，是一个非常好的方法。

（二）移动学习

高等代数是一门有着非常深刻背景应用的学科，这样的特点，非常适合利用手机来进行一些碎片知识的学习。教师可以自己写一些通俗易懂的科普性文章，或者推荐好的公众号，利用朋友圈和qq等社交工具分享给感兴趣的学生。学生可以在一些碎片时间里，通过阅读这些文章，更加激发起自己的学习兴趣，丰富知识。而学生之间的二次分享，也将雪片式地带动更多的学生进行碎片时间的利用和学习。

四、结束语

对于高等代数课程教学教法的改革和创新，必须兼顾数学素质和逻辑的培养，以及应用和背景的介绍和使用，贯彻以学生为主，通过各种教学手段和教学方法的改进来提高学生对该课程的学习兴趣，培养学生的逻辑思维、抽象思维能力，以及自主学习的能力，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

参考文献：

[1]杨汉清.比较高等教育概论[M].人民教育出版社，1997.

[2]Axler S.线性代数应该这样学（第2版）[M].人民邮电出版社，2009.

[3]王玉行.高等代数教学对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略[J].数学教育学报，2007，16（3）：92-94.

[4]徐利治.徐利治论数学方法学[M].山东教育出版社，2001.

[5]陈利霞，王学文.应用型人才培養模式下的高等代数教学改革的探讨——以信息与计算科学专业为例[J].课程教育研究，2016（13）.

[6]戴清平，李超，谢端强.高等代数与解析几何一体化教学思考[J]. 数学理论与应用，2004（4）：92-94.

[7]钟万勰.力、功、能量与辛数学（第2版）[M].大连理工大学出版社，2009.

[8]张美娟.统计学专业数学基础课程改革的研究[J].教育教学论坛，2015，40：99-101.