数学分析课程教学质量提升途径探究

郭延涛

摘 要：数学分析是数学专业的基础课程，文章探究了提高数学分析教学质量的途径，根据中学数学课程标准与数学分析教学内容的联系，以及数学分析教材的特点，针对当代大学生心理特征，结合自身的教学实践，对教学内容的调整，教学方法的转变，习题课和考核方式改革等方面进行探讨。

关键词：数学分析；教学质量；研究式教学

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）18-0067-03

Abstract： The mathematical analysis is a basic course for mathematics majors. In this paper， the ways to improve the quality of the mathematical analysis teaching are discussed. Based on the relations between the standard of mathematical course in middle schools and the content of the mathematical analysis， characteristics of textbooks， the psychological features of modern college students and the author's teaching experience， it is argued that teachers should focus on the reformation of teaching contents， transition of teaching methods and the reform of exercise classes and examination modes in order to increase the teaching quality.

Keywords： mathematical analysis； teaching quality； research-oriented teaching

数学分析作为高等学校数学类专业的基础课程，包含大量的数学基础知识，蕴含着丰富的数学思想和数学方法，学好数学分析这门课程，理解课程中的数学思想，熟练掌握课程中的概念和方法是所有数学专业学生的必然过程，也是学好后续课程的关键，关系到学生的成长和未来的发展。

目前我国的高等教育已从精英教育向大众教育发展，地方高等院校处于向应用型院校转型发展的新时期，在校大学生身心都出现了新情况和新变化，对于教师来说，讲授数学分析这门核心课程非常重要，即要保证学生掌握完整的知识体系，又要体现培养应用型人才的教育理念，这是一个艰巨的任务，也面临着巨大的考验，要求教师对应这些新的特点，紧随时代的步伐，对教学的内容，教学方法和手段进行改革，提升教学质量，达到应用型人才培养的目的。

一、教学内容调整

数学分析是数学专业大学生第一学期就开设的基础课程，学生刚开始接触较抽象的理论知识，此时教学需要和中学数学学习内容很好的对接，目前普通高中数学课程改革较大，从普通高中数学课程标准（实验）和人教版高中数学必修可以看出，目前新的高中数学课程标准降低了对一些知识点的要求，对比新版课程标准可以看出，新课标中不再出现反三角函数相关内容，同时与三角函数有关的和差化积，积化和差等知识点也不作要求，把参数方程，极坐标等知识点作为单独的专题出现，增加导数、积分、概率、统计、信息科学等基本知识[1]。新课标在知识和内涵上体现了“删减繁琐的计算，人为技巧的难题和过分强调细枝末节的内容”改革思想，同时也体现了“为学生适应现代社会生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养，为学生进一步学习提供必要的数学准备”[2]。

在新课程标准的指导下，各个学校在高中数学教学过程中会尊重学生的个人兴趣爱好和未来发展意愿，根据自己的师资力量讲授不同专题，这些措施会在各个方面促进学生的学习，让学生足以应付升学考试，但也因此导致学生进入大学之后某些知识的欠缺，处理数学问题时思路不够开阔，方法不够多样，与大学阶段学习数学分析要求学生必备的知识储备和能力有偏差，导致部分同学在学习过程中学习困难。这要求讲授数学分析的教师在讲授过程中对学生的中学学习状况摸底调查，清楚掌握学生学习状况，了解学生知识储备上的差异，改变教材中的固有内容，在讲授相关内容时补充相关知识。例如，在第一学期学习数学分析函数基础知识时讲解三角函数，反函数时，引入反三角函数相关知识，同时借此契机从两角和或差的正、余弦得到和差化积公式，积化和差公式，倍角公式，半角公式，万能公式等。讲解函数图像时，增加参数方程和极坐标变换，讲解绝对值值不等式时增加常用的不等式和常用证明不等式的常用方法，这些内容的增加弥补了部分学生知识的空缺，为今后讲解极限等问题做好铺垫。

目前国内使用的数学分析教材主要是华东师范大学数学系编写的《数学分析》，刘玉莲教授编写的《数学分析讲义》，陈传璋教授编写的《数学分析》，这些教材都是以实数完备性为基础展开，知识体系完整，内容详实丰富，数学理论性强，但是有一个共同的缺点是体现数学知识在生产生活中的应用不足，缺少趣味性，教學内容基本是体现数学知识的概念，训练和巩固学生运算能力的习题，训练理论证明的定理，在启发性和应用性上不足，不能快速的反映出数学对科技进步的影响或者科学技术对数学发展的帮助[4]。这就要求授课过程中结合实际问题，穿插数学建模的思想，数学建模是利用数学知识结合计算机编程，借助于数学软件解决实际问题的过程，数学建模过程是把实际问题高度抽象化，精确化，精炼成抽象的数学问题，用数学知识解决问题，它是学生学习数学知识并运用数学知识的最佳途径。通过解决生产生活中的实际问题，让学生知道学有所用，理解理论知识在解决实际问题的方法和过程。同时建模所使用的计算机计算模拟和多媒体技术作图，让抽象的数学知识变得直观，增加学生学习的兴趣，激发学生的学习热情，深入探索数学分析的应用。

二、教学方法转变

研究式教学是指在教学过程中，教师通过不断地渗透科学研究方法，以研究的方式，引导学生利用数学的思维发现问题，分析问题，解决问题的一种新型教学模式[5]，其基本思路是在教师的指导下让学生自己对问题进行研究，通过研究问题，发现理论知识，再使用理论指导实践解决问题。教师是教学过程的组织者，引导者，学生是教学过程的主体和知识的构建者。数学分析课主要培养学生的数学思想，数学思维能力，研究式教学可以使学生发挥主观能动性，主动分析问题解决问题。数学分析有严谨的数学理论，而高中数学则通过实例以定性的描述引入数列极限等概念，以实际应用问题中抽象出来函数的连续性，导数和积分等概念，这些内容都是定性的描述没有给出严格的定义，学生经过中学时期的训练，对这些知识能够很好的掌握，对运算的法则和计算公式比较熟悉，教师在数学分析课程中讲授时使用研究式教学方法，引导学生学会使用绝对值等定量的方法给出极限ε-N定义的思想，让学生掌握用极限的思想定义导数和积分等概念，引导学生逐步掌握逻辑性强的数学证明。

数学分析的学习不仅仅是知识的掌握，更是在知识掌握过程中数学思想渗透和数学文化的熏陶，教师要重视学生数学思想的培养，把培养学生数学思想方法作为一个重要的教学环节并落实到教学过程，在日常教学实践中教师可以借助微信、微博等新的传播媒介，定期向学生推送关于数学思想的短文，让学生耳濡目染，反复渗透，有目的的启发诱导，让学生逐步理解数学思想，领悟数学思想，从而实现发展学生数学思想方法，提高学生数学素养的目的。推送数学家的轶事和数学在其他学科发展中的应用类文章，让学生知道学习数学的乐趣和重要性，经过长时间的阅读，会给学生学习数学分析带来很大的帮助。

大学课程学习有别于中学课程学习，特别是第一学期学习数学分析时很多想法在中学没有接触，加之逻辑分析严谨，理论证明多，实际应用少见，学生会感觉到学习不适应，学习缺少趣味性，教材内容不能理解，课后作业不能独立完成，学习过程中会有挫败感，但是当代大学生又自尊心强，渴望得到教师和同学的鼓励和赞赏，学生在学习过程中希望得到任课教师的肯定和表扬，然而大学学习阶段辅导员日常管理的学生较多不可能天天与学生见面探讨生活和学习，此时任课教师除日常的教学工作外应深入学生中间，给学生足够的关怀和鼓励，指导学生学习，帮助他们树立信心，克服困难。教师要想办法给学生创造一个快乐的学习过程，让学生在愉快的氛围中学习，掌握知识。

从历年的教学实践可以看出，学生普遍反应数学分析这门课程难学，难学不仅仅表现在知识理解和掌握的难度上，更深层次原因是学生的思维比较单一，在中学的学习过程中没有接触和论证复杂的问题，而在大学学习过程中仅善于模仿，没有扩散思维，不善于使用自己的头脑根据实际情况分析问题并寻求解决办法，论证过程常常漏洞百出不合逻辑，针对这种情况教师在授课过程中特别是第一学期讲授数学分析时要重点训练学生使用数学语言表达数学论证过程。

所谓数学语言可以简单的概括为数列极限的ε-N定义和函数极限的ε-δ定义及其相关定义论证问题的论证过程，其表达方式单一而严谨，逻辑性强，在数学分析里这些定义举足轻重，这些定义虽然在中学时有所了解，但理解不透彻没有融会贯通，在教学过程中应当投放足够的学时，教师应严格要求学生证明问题，即使在思路清晰，证明方放明确的情形下，也要要求学生书写出严格证明过程，并反复检查论证是否有逻辑上的问题，使用的数学语言是否完整、通顺、简洁，这是一个漫长的过程，需要教师和学生共同努力逐步掌握。

教学实践发现学生在使用数列极限的ε-N语言和函数极限的ε-δ语言论证问题时往往显得不知所措，一个重要的原因是不理解ε和N，δ的关系，而另外一个重要的原因则是在证明过程中学生不能适当的放大或缩小不等式，学生认识不到在什么情形下需要放大不等式，采用何种办法去放大不等式，不等式放大到何种程度，教师在授课时结合问题给出一定量的放大不等式的方法，着重引导学生领悟放大不等式的方法和技巧，并学会在处理不同问题时灵活运用。

在数学分析教学过程中教师应该注意拓宽学生获取知识的渠道，而不是仅仅依赖课堂教學，应加强微课、公开课、精品课程、慕课等新的教学资源的应用。微课程是指运用构建主义方法化成的、以在线学习和移动学习为目的的实际教学内容，一般是长度为5-10分钟的多媒体视频资料。微课作为互联网发展带动起来的一种新型多媒体教学资源，具有短小精练，内容充实、主题突出、学习方便等特点，能够有效支持学生在线、移动学习，在数学分析讲授中合理利用微课程等现代教育资源，这些教学材料资源丰富，针对性强，且学习不受时间和地点限制，学生在遇到不懂的知识点时可以反复观看学习，还可以通过观看不同的视频文字资料从各个不同侧面深入体会知识点的内涵，达到全方位掌握知识点的目的。

教师要转变角色，从传统教学中知识的灌输者转变成学生自主掌握知识的引导者.传统教学在教育的发展历程中特别是师资力量不够，教育资源匮乏阶段一直起着重要作用，在特定的环境中一定的历史条件下具有独特的优势，但其教学模式过于单一， 在教学过程中总是以教材和教师为中心，按照教师的意愿和教学大纲按部就班执行教学计划，不够重视学生在教学中的主体作用，不关心学生对知识的掌握程度，习惯于灌输式教学，填鸭式教学，没有摆脱教师讲、学生听的教学模式，使学生处于被动学习的状态.高等教育经过长期的发展和积累，目前完全有条件转变为现代教学手段，利用现代教学手段的生动、直观、高效性特点降低理解和获取知识的难度， 以学生为中心，充分调动学生参与课堂教学和学习的积极性和互动性， 加强师生教与学的主动性。

三、习题课和考核方式改革

习题课和答疑是学生巩固知识和解决疑难困惑的主要途径之一，教师要重视习题课的作用，习题课上习题的选择要有针对性，遵循少而精的原则，通过所选择的每一个习题，让学生都有所启发，让学生对知识的理解得到进一步提升，从而让学生有进一步学习数学分析的求知欲.习题课要采用多种组织形式，而不是教师一直不停讲解的填鸭式模式，根据实践经验，可以事先给学生留一定的习题，有计划的发挥学生的积极能动性，在课下独立思考问题、解决问题，习题课时在教师的引导下分组讨论，让学生在讨论过程中发现自己思考问题时的局限性和解决问题时面临的困难，领会克服困难所用的方法和技巧，体会如何进一步讨论问题，然后每组选择不同的习题轮流讲解给大家，最后教师点评，通过这个过程让学生自己发现在学习过程中对知识理解的偏差，积累解决问题的方法和经验，这样也改变了单一的学习模式，锻炼了学生的语言表达能力，在愉快的氛围中获得知识，教师在组织过程中也发现了学生的问题，在以后的课程中重点讲解。

数学分析涵盖知识点多，所涉及到的计算过程和理论证明相对复杂，一张试卷不可能面面俱到，期末试卷命题还要控制试题数量和难易程度，因此数学分析课程考核形式应该具有多样化，要逐步改正以前那种以闭卷考试成绩结合课后作业完成情况作为期末综合评定办法.闭卷考试是衡量学生对所学知识掌握程度的主要依据，但是课后作业只能整体上反映出学生掌握程度，而较难反映出每一位同学对知识的掌握，事实是几乎所有的课后作业都能按时上交，但从以往期末成绩可以看出部分同学掌握的并不好，而这些学生的课后作业也完全正确，这就不排除部分同学抄袭作业，因此仅仅依靠作业很难区分学生的平时成绩，这就需要再加上其他形式的考核，增加习题课分组讨论时的表现环节，适当在课程中增加一些总结拓展、对数学思想的领悟的小论文和某些基本问题解法的总结，或者增加数学建模解决实际问题的实践性论文，根据这些环节，综合评定平时成绩，再结合闭卷考试成绩，则能很好的综合评价学生的真实水平。

总而言之，在日常的课程教学中教师要与时俱进，不断学习教学改革最新成果，深入研究学生心理特征和教材特点，持续不断提升自身教学水平，积极吸收新的教学理念，借鉴新的教学方法，撰写好的教学材料，创造新的教学手段，挖掘学生创造思维能力，转换教师在组织教学过程中的角色，让学生成为教学过程的主体，充分调动学生参与课程教学积极性，激发学生学习的热情，提高学生学习能力，在教师和学生的共同努力下不断提高教学质量。

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