自主构建 动态生成

陆英俊��

摘 要：指数函数是学习函数的概念、图象与性质后遇到的第一个基本初等函数，所以在知识与方法上要发挥承上启下的作用，一方面要探究指数函数的图象与性质，是对前面学习内容的具体实践；另一方面要通过实践建构研究函数的一般方法，为后面其他函数的研究奠定基础。在课堂教学中，让学生自主构建，感受指数函数的图象与性质，生成自己对指数函数的理解。

关键词：自主构建；指数函数；课堂实录；教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-099-2

笔者有幸参加2016年9月底盐城市高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，所授课题为《指数函数（第1课时）》，教材为苏教版必修1，学生为四星级高中——江苏省射阳中学的高一学生。回顾本课题的教学设计以及实际教学过程，感触颇多。

一、总体设计说明（略）

二、教学过程剖析

1.创设情景，建构概念

师：通过前面的学习，同学们明白了函数是刻画客观世界变化规律的数学模型。那么初中阶段学过哪些基本函数呢？

生：一次函数、二次函数、反比例函数。

师：比如二次函数的一般形式是什么呢？

生：y=ax2+bx+c（a≠0）。

师：许多函数模型是从实际问题中提炼、抽象出来的。今天我们将一起从新的问题情境中探索新的函数模型。

情境1：某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，写出一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与分裂次数x之间的函数关系式。

情境2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年这种物质的质量是原来的84%，如果经过x年，该物质的质量为y，如何描述这两个变量的关系？

设计意图：从具体情景案例中引入课题，能够让学生感受到指数函数与实际生活的联系，感受指数模型。

学生得到了两个变量之间的关系，同时得到解析式为y=2x，（x∈N）和y=0.84x，（x∈N）。

师：接下来我们进行一般化，抽离实际背景并扩充定义域为R，得到函数y=2x和y=0.84x。这樣的函数大家见过吗？你还能举出类似的函数吗？

生：（举例）函数y=3x，y=4x，y=0.2x，y=（13）x。

师：这些函数有什么共同特点呢？

生：都是指数运算，底数是常数，自变量在指数位置。

师：这些函数可以统一形式吗？

生：可以统一写成形式：y=ax。

设计意图：让学生经历自主举例，先归纳共同特征，然后将形式统一化，抽象化，初步形成指数函数的概念，并用数学符号表示。

师：y=ax中，自变量是x，底数a是常数，刚才举例的函数，区别就是底数不同。那么底数可以取哪些值呢？底数允许的范围是什么呢？

生：底数不能为负数。

师：能说明理由吗？

生：如果底数取了负数，比如-2，那么指数x=0.5时没有意义了。

师：底数还有要求吗？

生：底数不能为0。

师：为什么？

生：底数为0时，指数取-2时也没有意义。

师：为了研究的方便，我们要求底数a>0。

生：当底数取1时，函数简化为熟悉的常数函数y=1。

师：这个常数函数我们已经研究过了，没有必要再研究。所以通常还规定a≠1。

通过探讨，得到了最基本、最简洁的形式：y=ax（a>0且a≠1），从而建构了指数函数的概念。

设计意图：引导学生回忆函数的三要素及函数归类的依据。函数的定义域与对应法则是函数概念的重点，考查函数往往首先观察定义域与对应法则。所以用集合观点看，既满足对应法则的统一要求又满足定义域的统一特点，才归类到名为“指数函数”的集合中来。

2.探索图象，归纳性质

（1）初定研究方法

问题串师：定义了一种新的函数，接下来我们要研究什么呢？如何研究指数函数的性质呢？一般研究函数的哪些性质呢？

设计意图：用问题串引导学生先明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与策略。教师可以抓住研究的内容和方法，通过问题串的方式对学生进行启发。

师：我们定义了一种新的函数，接下来我们研究什么呢？

生：接下来研究函数的图象与性质。

师：一般地，我们研究函数的哪些性质呢？

生：定义域、值域、奇偶性、单调性。

师：怎么研究函数的性质呢？

生：先画出指数函数的图象，分析图象得到性质。

生：先画几个具体的指数函数的图象，然后再研究一般的情况。

设计意图：从具体的指数函数图象出发，观察图象特征并分析性质，进而猜想和归纳一般的指数函数的图象特征与性质。需要注意，观察图象特征的同时，还要有意识的归纳，对结论做必要的理性思考，运用数形结合的思想来分析、研究问题。

师：那么同学们自己选3、4个指数函数，画出图象，然后观察它们的性质。

师：那么有待研究的新函数，我们有什么办法画出函数的图象吗？

生：用以前初中学过的描点法。

师：描点法的一般步骤是什么呢？

生：一般步骤是：列表、描点、连线。

设计意图：高一学生更习惯于形象思维，所以提出用图象来研究函数的性质。这样的方法能够符合学生实际情况，但教师要提示学生关注研究的目标，体会从具体到抽象、从特殊到一般的思维方法。

（2）自主探究，归纳性质

展示学生所画图象时，可以考虑分层次展示：（1）在一个坐标系里只画出一个函数图象；（2）在一个坐标系里画出两个函数图象；（3）在一个坐标系里画出两个底数都大于1的函数图象；（4）在一个坐标系里画出一个底数大于1，而另一个底数小于1的函数图象；（5）在一个坐标系里画出两个底数互为倒数的函数图象。这样层层递进的方式呈现，让学生的思维深化到更深的层次中。

设计意图：观察图象是对图形语言的感受。根据图象描述性质，是将图形语言转化为符号语言或文字语言。教师应引导学生关注不同的指数函数图象的“不变”，来提炼出一般化的性质。并且将函数图象的直观感受与理性思维相结合，将观察所得的结论进行适当的说明或证明。在此过程中，帮助学生由具体指数函数的性质归纳到一般指数函数的性质。

归纳性质应当有条理，可以根据性质按照层次归纳：（1）一般函数都有的共性性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等；（2）一类函数特有的个性性质，比如过定点、渐进线等；（3）函数之间的关系与性质。

归纳得到的结论需要进行验证。对指数函数的性质，可以从代数方面去说明或证明，也可以借助于多媒体通过动态图象的验证，进一步体现严谨性。

3.知识运用，深化理解

师：现在我们了解了指数函数的概念与性质，它有什么用处呢？

例题 比较下列各组数种两个值的大小：

（1）1.72.5 1.73.2；（2）0.6-1.2 0.6-1.5；（3）1.50.8 0.81.2

设计意图：大部分学生会利用函数的单调性比较大小。前两个小问，学生较快发现利用y=1.7x和y=0.6x的单调性进行比较大小。其中部分学生解决第3小问时有一些困难。教师在处理这个难点时，要在第1小问和第2小问中，渗透图象的研究体现函数图象的作用。在第3小问中，画出两个指数函数y=1.5x和y=0.8x的图象后发现公共点（0，1），从而分别将两个数与1进行大小比较。

例题虽是比较数值的大小，实则需要函数的观点，利用函数的单调性来解决问题。关键在于如何引入函数，这正是提升学生思维能力的好机会。

变式1：比较下列两个数大小：a0.7，a1.3（其中a>0且a≠1）

设计意图：让学生感知底数含有参数时，需要分类讨论进行研究。培养学生分类讨论的数学思想与方法。

变式2：（1）已知3m≥30.5，求实数m的取值范围；

（2）已知0.2n≥25，求实数n的取值范围。

设计意图：作为例题的逆向思考，指数函数单调性的逆用。加强学生对构建函数利用单调性来比较大小的理解。

4.概括知识，总结方法

师：本节课同学们学到了哪些知识？

生：学到了指数函数的概念、图象与性质。

师：经历了怎样的研究过程？

生：从特殊函数到一般函数，从具体到抽象。

师：知识层面上，我们学习了指数函数的概念、图象及性质；方法层面上，从特殊到一般、从具体到抽象是我们研究指数函数的方法，也是研究其他函数的一般方法，今后我们还会运用这些方法来研究新的函数；数学思想层面上，数形结合、特殊到一般、分类讨论这些数学思想都有所体现。

设计意图：课堂总结不仅是对所学知识的回顾，也是对研究方法、研究策略上的一种提炼与反思，让学生在知识和能力上都有所提升。

5.分层作业，因材施教（略）

三、教学反思

1.数学教学以知识为载体，以问题为核心，在问题解决的过程中发展能力

学生的学习是在已有经验基础上对新知的建构，数学新知的教学应当以知识为载体，以问题为核心。在课堂中以问题串的方式让学生探索，在学生逐步解决问题的过程中也发展了数学研究的能力。问题是引发学生思维和探究活动的向导。有了问题，学生的好奇心才能激发；有了问题，学生的思维闸门才能开启，有了问题，学生的探究活动才有载体。教师只有通过设计恰当的问题，才能使教材中知识的逻辑结构转化为学生的认知结构，才能把教材中的冰冷美丽转化为学生的火热思考，才能把教材中静态的知识呈现转化为课堂上动态的建构过程。[1]本课例中，如“定义了一种新的函数，接下来我们要研究什么呢？如何研究指数函数的性质呢？一般研究函数的哪些性质呢？”这样的问题串引导学生思考研究的方法与策略，为指数函数的研究指明了方向，從而“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程与本质”，“使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法”[2]，实现从知识学习到智慧生成。

2.探究式学习让学生的思维训练做到自主构建，动态生成

高中数学课程倡导自主学习、探究学习等多种学习方式。体验数学发现与创造的过程，发展自主创新的精神。这样的学习方式让学生的思维能够自主构建知识网络，动态生成知识的因果关系。

“数学生态课堂的生成是学习者原有认知结构与从环境中接受的感觉信息相互作用、主动建构的过程，是动态的、发展的，最终达到对数学意义的理解与鲜活思维的交流，让学生感受到课堂中生命的涌动和成长，使学生的心智得以健全发展，把课堂看成文化传递的途径，只体现了数学的保存价值，而未体现生成作用。数学教学要通过数学课堂对文化起到增值作用。只有师生双方充分发挥其主动能动性，才能创造数学课堂的生成价值和生命价值。”[3]在本课例中，让学生自主举例、自主观察函数的共同特征，从而构建指数函数的概念；让学生自选函数画出图象、自主感受图象的规律，生成自己对指数函数性质的理解。

[参考文献]

[1]卓斌.例谈数学教学中问题串的设计与使用[J].数学通报，2013（06）.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].人民教育出版社，2003.

[3]宋晓平，单墫.数学课堂文化的反思与建设[J].数学教育学报，2005，14（4）.