勾股定理易错题解析

林学明

摘要：勾股定理是初中几何学习中重要的定理之一，体现了数形结合的思想方法.剖析勾股定理易错题，有助于加深学生对勾股定理的理解和掌握，也有助于提高学生的解题能力.

关键词：勾股定理 易错题

一、审题不到位，受思维定式的干扰

思维定式是人们受已有知识经验的影响，在分析和解决问题时，倾向于固定的思路和习惯.在解勾股定理题时，有些学生受思维定式的干扰和影响，审题不够严谨、到位，忽略题设条件，草率作答，从而导致错解产生.

例1 已知直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边的长.

错解：第三边得长为32+42=25=5.

错因分析：有些学生由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，在解答时会不假思索地直接应用.在本题中，由于受思维定式的影响，未认真审题，直接套用了“勾三股四弦五”，从而导致错解.事实上，“勾三股四弦五”这一理解是存在前提条件的，即若两直角边为的长3和4时，斜边长为5，而在本题，并没有直接指明3和4一定为两直角边的长.所以，第三边有可能为直角边，也有可能为斜边.在解答时，需要分类讨论.

解：（1）当两直角边的长为3和4时，第三边长为32+42=25=5.（2）当一直角边的长为3，斜边长为4时，第三边长为42-32=7.综上，第三边长为5或7.

二、理解不透彻，勾股定理及其逆定理混淆

清

在解答勾股定理题时，有些学生对勾股定理及其逆定理的概念理解不透彻，往往将两者混淆起来，导致出现错解.

例2 在A港有甲乙两艘轮船，若甲船沿北偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时20海里的速度前进，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，B、C两岛相差50海里.请问：乙船是沿哪个方向航行的？

錯解：甲船航行的距离为AB=15×2=30（海里），乙船航行的距离为AC=20×2=40（海里）.因为302+402=50（海里），且BC=50（海里），所以△ABC为直角三角形.所以∠BAC=90°.所以乙船是沿着南偏东60°方向航行.

错因分析：本题解法虽然最终的判断结果是正确的，但是解题过程却存在错误.错误原因在于，勾股定理及其逆定理两者概念理解不透彻，混淆了勾股定理及其逆定理.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题没有给出明确的提示，需要我们对三角形做出判断.本题应运用勾股定理的逆定理进行求解.

解：甲船航行的距离为AB=15×2=30（海里），乙船航行的距离为AC=20×2=40（海里）.因为302+402=2500，502=2500，AB2+ AC2= BC2，所以△ABC为直角三角形.所以∠BAC=90°所以乙船是沿着南偏东60°方向航行.

三、分析不深入，以偏概全而造成漏解

以偏概全错误是解数学题时比较常见的错误之一.在解勾股定理题时，有些学生分析不够深入，考虑不够全面，以偏概全，从而造成漏解，导致答案不完整.

例3 在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的周长.

错解：如图1，应用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.所以BC=BD+CD=16+9=25.所以△ABC的周长=AB+AC+BC=20+15+25=60.

错因分析：上述解法犯了以偏概全错误，只考虑了三角形的高在形内的情况，遗漏了三角形高可能在形外这一情况，因而导致出现漏解，造成解题答案不完整.

解：由用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.（1）若∠C是锐角（如图1），则BC=BD+CD=16+9=25，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=20+15+25=60.（2）若∠C是钝角（如图2），则BC=BD-CD=16-9=7，这时△ABC的周长=AB++BC+CA=20+7+15=52.故△ABC的周长为60或52.

总之，在解勾股定理题时，错误是难以避免的，知错能改，善莫大焉.只要学生有恒心，有信心，善于找错、纠错，就能轻松掌握勾股定理.