分类 猜想 验证

翟运胜

【教学内容】

苏教版五年级下册第50至51页。

【教学目标】

1.使学生经历若干个非零自然数的和与积的奇偶性规律的探索过程，初步了解它们的和与积的奇偶性基本规律。

2.在自主探索规律的过程中，初步掌握举例验证与推理验证的方法，并能应用这些方法探究新的数学规律，积累探索规律的数学活动经验，感受数学规律的价值，促进学生抽象与推理能力等的提升。

【教学重难点】

能探索出若干个非零自然数的和与积的奇偶性规律，能够初步正确判断几个非零自然数的和与积的奇偶性。初步掌握分类、猜想与验证等探索规律的方法，并能应用这些方法探究新的数学规律。

【教学过程】

一、分类思考，建立猜想，举例验证

师：自然数按“是否是2的倍数”分为两类，一类是奇数，一类是偶数。怎样快速判断一个数是奇数还是偶数呢？218、213214218、147、847645147是奇数还是偶数呢？

师：看来判断一个数是奇数还是偶数，只要看它的个位。如果把这两个数相加，213214218+847645147，怎样来判断这两个数的和的奇偶性呢？你是怎样想的呢？（板书课题：和的奇偶性）

学生得出用这两个数的个位相加就可判断这两个数的和是奇数。

设计意图：通过复习使学生把判断一个数奇偶性的注意力聚集到这个数的个位上，直接引导学生判断两个数的和是奇数还是偶数，学生自然会想到只要把它们的个位进行相加，为后面的举例验证做好铺垫。

师：任意两个自然数的和一定是奇数吗？问题很复杂，为了便于研究，我们需要先分一分类，任意两个自然数相加可以分为哪些情况呢？

预设：偶数+偶数，奇数+奇数，偶数+奇数。

师：它们的和是什么数呢？让我们先来猜一猜。

预设：偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=奇数；偶数+奇数=奇数。

师：到底这三个猜想对不对呢？你打算怎样去验证这三个猜想呢？

预设通过举例来验证。

设计意图：引导学生先分类再猜想，使学生学会从整体思考问题，这是一种面对复杂问题时重要的研究方法，能够避免面对复杂问题时思维陷入混乱，培养学生有序思考的意识。

引导得出：因为判断一个数是奇数还是偶数只要看这个数的个位，所以只要举一位数加一位数的例子就可以了。用个位是0、2、4、6、8的数来代表所有的偶数，用个位是1、3、5、7、9的数字来代表所有的奇数。

教师组织学生填写下面的三个表格。

引导学生观察表格发现：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。（表1～3）

设计意图：学生认识到只要举一位数加一位数的例子就可以概括出两个自然数和的奇偶情况。借助这三张表格使学生做到了穷举所有两个自然数相加的例子，实现了完全归纳推理，使规律成为必然。

引导学生提问：为什么会有这样的规律呢？

结合学生的回答出示下图1：

引导学生用字母来表示：第一个奇数可以用2m+1表示，第二个奇数可以用2n+1来表示，（2m+1）+（2n+1）=2m+2n+2=2（m+n+1）。

小结：回顾一下刚才两个数和的奇偶性的探索过程，我们是怎样探索的呢？

预设：把这个问题先分类，再猜想，然后举例验证。

设计意图：通过举例归纳出和的奇偶性规律，不代表学生真正理解了这三个规律，激发学生思考为什么会有这样的规律，唤起学生的问题意识，引导学生采用数形结合与符号表示的方法，深刻理解规律背后的原因。

二、练习引入多个数相加，组织推理验证

练习一：你能不计算，判断下列算式的和是奇数还是偶数吗？

246+118 1023+2048 1357+731

28+42+806+3120+…+2016+…

教师组织学生判断和的奇偶性，引导：其实这些偶数还可以写成文字，变成下面的形式——偶数+偶数+…+偶数=偶数，不论多少个偶数相加都是偶数，这说明了什么呢？

预设：相加的和是偶数，与偶数的个数没有关系。

师：奇数+奇数+奇数+…+奇数，若干个奇数相加的和是什么数？

学生小组讨论，然后把结论写在研究单上。

组织学生汇报：若干个奇数相加时，如果奇数的个数是偶数，和是偶数。如果奇数的个数是奇数，和就是奇数。

教师引导学生结合课件汇报得出结论。

师：谁能利用得出的结论来说明两个自然数相加的情况呢？

教师引导学生得出这种验证的方式叫作推理验证。

设计意图：由两个偶数引出多个偶数相加，并抽象为文字，使学生认识到多个偶数相加和是偶数，与偶数的个数无关。在充分讨论的基础上，借助课件，学生使用抽象的文字进行推理验证，得出若干个奇数相加的和与奇数的个数有关的规律。再引导学生用得出的规律说明两个数相加的情况，从而沟通规律之间（偶数相加，奇数相加）的联系，将其升华为更加普遍的规律，并让学生认识到验证的方法不再是举例，而是推理。

练习二：判断下面算式的和是奇数，还是偶数？

（1）17+35+23+41，

（2）311+225+473+609+907，

（3）1+3+5+7+…+29，

（4）2+4+6+8+…+30。

通過练习让学生认识到多个偶数与多个奇数相加，只要关注奇数的个数就可以了，与偶数的个数无关。

设计意图：及时进行练习，巩固多个奇数相加和的奇偶性规律，从容引出多个偶数与多个奇数相加，在思辨中认识到多个自然数相加的和的奇偶性只与奇数的个数有关。

练习三：“最强大脑”。

层次一：课件依次出示：28、31、60、72、14、199。

层次二：课件依次出示：33、155、70、54、221、99、22、43、68、52。

请你判断这些数和的奇偶性。

总结：我们今天探索了和的奇偶性（出示课题），我们是怎样进行探索的呢？

预设：我们先把问题进行分类，然后提出猜想，再举例或是推理进行验证。

设计意图：应用规律玩“最强大脑”游戏，用知识内在的魅力吸引学生，让他们体验玩数学游戏并挑战成功的愉悦感，提高学习兴趣，培养学习数学的自信心。

三、迁移探究方法，尝试探究积的奇偶性

师：你还可以提出怎样的探索性问题呢？

预设：差的奇偶性、积的奇偶性、商的奇偶性。

师：请同学们使用今天的探索方式，先分类、提出猜想，再举例或者是推理验证，找一找积的奇偶性有什么规律。

学生汇报自己的发现。

预设：偶数×偶数=偶数，偶数×偶数×偶数×…×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数。

师：多个奇数相乘为什么等于奇数呢？

师：1×3×5×7×9×…×997×999，这个式子的结果是奇数，还是偶数呢？如果再乘4呢？

布置作业：请同学们利用今天学习的方法去研究差的奇偶性与商的奇偶性，写成一篇数学小论文。

设计意图：在总结出探究方法后，学生应用这些探究方法成功得出积的奇偶性规律，迁移了研究方法，增强了探究的兴趣，树立了从事探究活动的信心，促进了数学思维与能力的提升。本节课是教学“如何探索规律”，教学重点不是掌握和与积的奇偶性规律，而是习得探究这些规律时所用的探索方法，树立探究意识，以及积累数学活动经验。

（作者单位：江苏省苏州工业园区方洲小学 责任编辑：王彬）