高中“数形结合”在解题中的应用

摘 要：数学是一门趣味性很强的学科，数学知识是许多科学研究的基础，也是实际生活中应用最多的学科。在高中数学科目中，数和形是最为重要的组成部分，这两个都很重要的组成在结合的过程中会产生了许多奇妙的效应。本文主要研究这种效应即高中“数形结合”在解题中的应用，用实例来论述数形结合在高中数学解题当中的应用。

关键词：高中数学 数 形 数形结合

引言

在数学领域中，数和形是两个单独的个体，也都是组成数学这门学科的最基础的、也是最最重要的两个个体。数和形在各自的领域都发挥着很大的作用，如果我们数和形结合起来，你将会收获到更加意想不到的结果。下面我们就来一起探讨一下数和形之间奇特的奥秘吧。

一、高中数学中数形结合解题法的作用

我国著名数学家华罗庚曾写过关于数形结合的一首词： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔裂分家万事非。 切莫忘，几何代数统一体， 永远联系，切莫分离。从这首词中我们就可以看到数和形存在的千丝万缕的联系。数和形的结合可以说是可以达到一加一大于二的效果。数与形之间的结合，可以将逻辑性非常强的数字变得更加的形象化，让人更能够通俗的来理解和消化。也可以将图形具体化，用数字来呈现出来。以数助形，以形解数，二者相辅相成，对于解决数学问题有很大的帮助。数形结合的理论对于各种类型的问题都会有不同程度的帮助，所以对于帮助学生来形成利用数形结合的思想来解题是我们非常重要的教学任务。当然这种思想的形成不是一朝一夕就能形成的，所以需要我们在平时的教学中一定要注重培养学生的那种能力。帮助学生将这一非常重要的思想融会贯通到日常的学习生活当中。

二、“数形结合”在高中数学解题中的具体应用

1.以数来解形

以数来解形就是利用数的精准和严谨的特性来辅助解决一些形的问题。此类问题常见于几何问题的解决当中。

例：采用数形结合的方式解方程：丨x-3丨-丨x+2丨=4

分析：

方法一，画出函数y=丨x-3丨-丨x+2丨的图象，求出其与y=4的交点的横坐标值即方程的解

方法二，画数轴，原方程几何意义为到3和-2的距离之差为4，得x=-1.5

分析：先根据B（3，0）和C（0，3）求出直线BC的解析式为y=-x+3，因为DF∥x轴，所以D，F的横坐标相等，我们设这个横坐标为m，根据抛物线和直线BC的解析式可得：D（m，-m+3），F（m，-㎡+2m+3）。线段DF的长为：-㎡+2m+3-（-m+3）=-㎡+3m=94，所以，线段DF长度有最大值为94。

根据以数解形的思想来解决数学问题，首先要明确题目中所给出的条件以及所要的目标，并进一步分析条件与目标的关系，在理解条件、目标的性质与特点的基础上，通过已学知识将题目所给的图形用代数式表达出来，从而更加直接地看到条件与结论之间的关系，最后根据相关的定式与或公理解决问题，得到正确答案。通过以数解形逐步简化复杂的几何题目，从而提升高中学生解题的质量与效率。

2.以形来解数

以形来解数理解起来比较的简单，就是根据数的描述来绘制相应的图形来帮助解题，化繁为简，使得题目看起来更加的直观。

例1： 对每个实数x，设f（x）是4x+1，-2x+4和x+2中的最小值，則f（x）的最大值为多少？

分析 想知道4x+1，-2x+4和x+2中的最小值是哪一个，主要取决于x的取值。 首先我们根据题目来绘制三条函数，分别为y1=4x+1，y2= x+2，y3=-2x+4，

解：

y=x+2， y=-2x+4

得y=8/3 ， 所以f（x）的最大值为8/3。

在此题当中，我们通过简单的图形来把问题更加直观的呈现了出来，化解了繁琐的数字的解题步骤，减少解题步骤的同时也大大减少了出现错误的机会。最后利用解方程式的方式用数来助形，最终顺利的得到了答案。本题是一个很典型的数和形结合解题的例子。

例2：趾y=1+24x- （–2≤x≤2）与直线y=r（x–2）+4有两个交点时，实数r的取值范围

解析；

方程y=1+24x的曲线为半圆， y=r（x–2）+4为过（2，4）的直线

答案 （4 3 ，125]

通过以形解数，将代数题目转化为几何问题，在经过观察、验证后，得出正确的几何结论。根据代数之间的关系，建立直观的几何模型，丰富代数式的几何意义，如不等式函数、求绝对值时都可以运用以形解数的模式，不仅能够形成几何与代数之间的关系，也有助于学生迅速地相对复杂的代数问题。

三、结语

数形结合是在数学解题的过程当中一个非常好的方法。数形结合的方式可以大大的提高解题的解题的效率和解题的速度。掌握了数形结合的方式，许多的数学问题都会迎刃而解，学生来用自己的方式来掌握数形结合的这一思想，从而提高自己的数学解题能力，从而能够在今后的学习和考试中脱颖而出。数形结合的方式是多种多样的，重要的还是要引导学生自己去研究，从而真正的做到活学活用。数形结合在数学领域中的能量石不可估量的，所以我们要一直的不断努力来让它为我们的教学乃至于我们的数学领域做出更大的贡献。

参考文献

[1]王君芬.例谈数学教学中的数形结合[J]. 黑龙江科技信息，2009

[2]蔡东兴. 数形结合思想方法的应用[J]. 高中数学教与学，2009

[3]罗华；浅谈数形结合思想在实际问题中的应用[J] .新课程研究（下旬刊）， 2011

作者简介

张君，女，（1988-9），职称：研究生，学历：研究生，籍贯；山东省日照市