为学生搭一座“思考的阶梯”

边巨星

在五下练习课上，曾经教学过这样一题：

这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂上黄色油漆，其他露出来的面涂上红色油漆。涂黄色、红色油漆的面积是多少？

题中涂色油漆的面积计算，过程繁复、算式冗长。学生得出的方法仅仅局限——分别求出每个红色面积再相加。由于计算的面需要不重复、不遗漏计数与数据的正确寻找，更是错误连连。因课堂上时间有限，其他方法皆由教师介绍引导得出，总感觉到意犹未尽，没有拓展挖掘习题应有的价值。

而后在其他班級教学中，笔者有意把这题留在课外，让孩子们回家思考。又考虑到学生初学长方体、正方体，空间表象有欠缺，所以先行让学生制作领奖台的模型。意在让其观察这个模型的过程中，帮助他们深刻理解组合长方体的面的空间位置关系，结果，如期取得了满意的教学效果。

现把教学过程记录如下，以求探讨。

（教师先进行了课堂观察，发现方法各异，于是有了以下的课堂交流）

师：说说你们是怎么想的？

生1：可以各自求出每个长方体中涂黄色与红色的面积，然后相加。

师：行！这样算，算式比较长吧？

生1：是的，就是有点麻烦。我计算了好几遍，才确定了最后的结果。

（课堂观察：很多孩子都认同他的观点，有几个孩子小声嘀咕“计算很麻烦”。更有一些孩子跃跃欲试，急于表达自己的思考）

生2：我的想法有些不同，求黄色的面的面积，可以把这三个领奖台一个一个叠起来，堆成一个高高的长方体。

师：高高的长方体？你能演示说明一下吗？它的长、宽、高分别是多少？

生2：（把手中的模型1、2、3号相叠加演示）：我把它叠起来，变成了一个长是40厘米，宽是40厘米，高应该是65+（65-10）+40=160厘米的长方体。黄色部分只要求前后两个面就可以了。

（课堂观察：其他同学若有所悟，有些同学不由自主地拿起手中的模型模仿操作，而后小声与同桌交流）

师：前面与后面面积相同，所以要乘以2。这种合并、转化的想法很有道理。（板书：合并、转化）涂红色的油漆面积，能不能也合并、转化成简单的问题？

生3：老师，我知道。本来要分开算，很麻烦。我从左边看，红色的面积是由2块长方形面积组成的，它们的长不同，宽相同。拼合后就是一个长65厘米，宽40厘米长方形面积。（课堂观察：他一边说，一边把模型转动着让其他学生看，有些孩子也随着变动自己的模型，有所发现。）右边的面积跟左边的面积一样，也可以拼成一个长方形。从上面看，可以把3块面拼起来，就是长120厘米，宽40厘米长方形面积。

师：老师听明白了，你从左边、右边、上面观察，把原来零碎的图形变成了三部分，左边一部分并成长方形，右边也是一个相同的长方形，上面看，是3个正方形拼成的长方形。看得出，经过这么一想，计算变简单了。

生4：老师，这个模型把它拆开后，平铺一下，红色的部分就可以转化成一个长方形了。算出这个长方形的面积，也就算出了涂红色油漆的面积（模型中2、1、3的编号为上课时教师用红笔添加）。

（学生边说边演示）你看，我把红色部分变成长方形了。宽是40厘米，但长就要把这些一段段的长度加起来。

师：（笔者不由自主地鼓起掌）孩子们你们明白他的意思吗？

生4：（急不可耐地继续补充）这个东西，其实就像我家一级一级的楼梯，铺上地毯，地毯展开是长方形，要计算楼梯表面的面积，不用一块一块加，实际只要计算楼梯边的周长和宽度就行了。

众生：明白了，展开后，就是一个长方形，也就是涂红色油漆的面积。

（课堂观察：很快，学生列出了计算这个长方形面积的正确算式。）

“这就像一个楼梯。”学生用他自己的话语解释了他对问题的思考。而笔者的思考是：我们该为学生的数学学习搭建一座怎样的阶梯？

1. 未雨绸缪——“局促”和“灵动”的对比

教学是慢的艺术，两次教学，效果截然不同，关键之一在于笔者放慢了脚步，为学生搭建了一个充分思考的“时间阶梯”与充分交流的“空间阶梯”。在上述教学中学生从“计算的一般的方法”到“运用不同角度观察合并”再到“立体图向平面图的转化”，他们的认知慢慢趋于认同与完善。

实际上“教与学”不仅仅局限于上课期间，知识的消化与吸收，问题的思考与解决需要学生在时间与空间的延长中慢慢领会与感悟。

2. 善假于物——“直观”与“想象”的融合

高年级中有关立体图形的学习，不仅需要认识、掌握其特征，能正确进行有关表面积、体积计算，更重要的是，学生需要逐步形成并且稳固地建立起这些立体图形的空间表象。但受学生思维特点和水平的限制，解决相关问题时暴露出来的空间观念能力薄弱，往往使得这部分内容成为学习的难点。

基于以上思考，笔者通过“物”“图”结合式的几何直观手段“让学生制作领奖台模型，让他们在观察这个模型的过程中，帮助他们深刻理解组合长方体的面的空间位置关系。”而生4阐述的“其实就像我家铺的地毯，一级一级的楼梯，地毯展开是长方形，要计算地毯的面积，不用一块一块加，实际只要计算楼梯边的周长和宽度就行了。”则是“直观”与“想象”的思考融合的真实呈现。

当然，随着学生空间表象的逐步丰富，抽象思维的不断发展，如果只是一味停留在依靠“物”的操作与支撑阶段，既不现实，也于学生的思维提升不利。因此，需要帮助学生逐步过渡到“想物思图，见图思物”，这样既能培养学生的空间想象能力，又能促进学生进行数学思考的能力。

3. 追根溯源——“偶然”到“必然”的提升

在此教学过程中，似乎存在着思考方法发现的“偶然性”，那么如何能使这种“偶然”变为思考的“新常态”呢？追根溯源，笔者以为在长方体表面积的计算教学初期，除了掌握基本公式以外，理应引导学生通过“解剖”立体图为平面展开图，观察发现长方体的表面积也可以用“侧面积+底面积”的方法来计算。让他们认识到侧面积实际就是一个由4个长方形组成的“大长方形”，（如图）所以侧面积可以用“底面周长×高”来计算。这种三维与二维的“切换”，有利于学生沟通平面图形与立体图形的联系，体验到几何直观这一问题解决思维方式的优势与价值，发展学生的空间想象能力。（同时也为后续的圆柱表面积计算做好了方法沟通的准备）。

经历过这种从立体到平面的转化，那么将领奖台这个立体图形的表面积计算，转换为长方形面积的计算，也就顺理成章，会成为思考的“必然结果”。

由此可见，教学中应充分考虑学生有可能出现的学习困难，尽可能为学生“铺路搭桥”，前瞻性地为学生搭建“思考的阶梯”，如此方能“水到渠成”，学有成效。

（作者单位：浙江诸暨市海亮教育园小学部）

责任编辑 邹韵文