如何对数学问题进行发展和迁移

张劲松

[摘 要]问题的迁移和发展，与知识的迁移和发展有关。在小学数学课堂教学中，教师应从剖析学生的错题、实现问题的再生性和实现问题的开放性三个方面出发，重点探索如何对数学问题进行发展和迁移，从而提高小学数学教学的有效性。

[关键词]数学问题；发展；迁移

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）11-0037-02

数学学科具有严密的逻辑性和系统性，在数学教材中，大部分知识点都是在之前的知识基础上进行深化和发展的。教师要让学生巧妙利用旧知和通过迁移解决实际问题，因为这样不但可以帮助学生巩固和深化基础知识，还有利于学生形成完整的知识体系。

一、对学生的错解进行剖析

学生在运用所学知识解决实际问题的过程中难免会出现一些问题，及时帮助学生解决这些问题，既可以让学生清楚认识到学习中存在的不足，也可以帮助学生弥补知识漏洞。

如，教学北师大版六年级“长方体”时，出示例题：一段方钢的横截面面积是25平方厘米，长1.4米，这段方钢的体积是多少立方厘米？

生1：25×1.4=35（立方厘米）。

生2：25×1.4=350（立方厘米）。

生3：1.4×1.4×1.4=17.44（立方厘米）。

生4：25平方厘米=0.0025平方米，0.0025×1.4=0.035（立方米）=350（立方厘米）。

师：生1，你的理由是什么？

生1：长方体的体积=底面积×高。已知横截面面积是25平方厘米，即为底面积，长相当于高，根据公式，就可以得出算式。

面对学生的解释，教师并没有直接否定，而是带领学生根据第一种算法推断出第二种算法的错误原因，以此类推，学生陆续说出了第三种和第四种算法错误的原因。

针对学生的计算错误及其原因，教师引导学生对数学问题进行深入分析，让学生对数学问题形成更加深刻的认识。显然，这些错误都源于学生对旧知的掌握不到位，如单位换算、长方体计算公式等。因此，教师要以“温故而知新”的方式带领学生重温旧知，促使学生认识到错误的原因，并找到正确的解法。这样，既达到将数学问题正向迁移和发展的目的，也促使学生形成了完整的知识体系。

二、变更问题情境中的条件

对算法和公式生搬硬套，是学生学习低效的原因之一。为了提高学生学习的有效性，教师可以引导学生变更问题情境中的条件，进而提出新的结论。

如，教学“解决问题的策略”时，很多学生在解决“相遇问题”时频繁出错，而且学生也表示这一类型数学问题让他们“很头疼”。为了让学生更好地解决数学问题，加深学生对知识的理解和掌握，教师可导入综合性较强的题目：甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时后在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？

师：从题目中可以知道哪些已知条件和未知条件？

生1：（已知条件）两车同时出发，相向而行，经过1.5小时后相遇，此时离中点18千米，甲车速度是乙车速度的1.2倍；（未知条件）A、B两地之间的距离，甲、乙两车的行驶速度，相遇时两车各自行驶的路程。

师：根据这些条件，能否找到已知条件和未知条件的关系呢？

生2：两车经过1.5小时后在离中点18千米处相遇，即相遇时，甲车比乙车多行了（18×2）千米，所以甲车每小时比乙车多行18×2÷1.5=24（千米）；甲车速度是乙车的1.2倍，所以乙车每小时行24÷（1.2-1）=120（千米），即求出甲车的速度后，就能求出相遇时两车各行了多少千米。具体解题过程如下。

解：18×2÷1.5÷（1.2-1）

=24÷0.2

=120（千米/时），

120×1.2=144（千米/时），

120×1.5=180（千米），

144×1.5=216（千米）。

答：相遇时，甲车行了216千米，乙车行了180千米。

师：根据“甲车速度是乙车的1.2倍”你能想到什么？

生3：可以设乙车速度为x，那么甲车速度就是1.2x。

解：设乙车速度为x，则甲车速度为1.2x 。

因为经过1.5小时后，两车在离中点18千米处相遇，所以

（1.2x-x）×1.5=18×2

x=120

甲车速度=120×1.2=144（千米/小时）。

甲车行了：144×1.5=216（千米），

乙车行了：120×1.5=180（千米）。

答：相遇时，甲车行了216千米，乙车行了180千米。

由此可见，让学生在问题情境中对条件进行深度解析，不但能使学生的思维得到拓展，也加深了学生对数学知识的理解和掌握，大大提高了学生的数学水平。

三、对课本例题进行变式

课本中安排的例题，往往是希望学生通过探究对知识点形成更加深刻的认识，而要实现知识的迁移和发展，就需要教师将课本例题进行变式。

如，“购物策略”中的例题：“有某种新品牌的饮料，大瓶装（1200ml）售价10元，小瓶装（200ml）售价2元，三家商店为了促销这种饮料分别推出了各自的优惠策略。甲商店：买一大瓶送一小瓶；乙商店一律九折优惠；丙商店：购物满30元即享8折优惠。”例题难度不大，但条件比较多。

师：如果是你去购买饮料，会选哪家商店？

生：如果购买饮料不超过30元，选择在甲商店或乙商店购买；如果购买饮料超过30元，就选择在丙商店购买。

要明确这个答案是否具有有效性，教师可以引入相关问题，让学生再通过知识迁移，学会解决问题，从解决问题中找出正确的答案。

习题：某商场推出优惠购买练习本和笔的促销活动，两种商品原售价分别为10元/本和3元/支。商场制定了两种优惠方案：①买一本练习本赠送1支笔；②按总价打8折。求：

（1）小赵需购买3本练习本和8支笔，选择哪种优惠方案合算？

（2）若某学校需购买300本练习本和x支笔（x≥300），试讨论选择哪种优惠方案更省钱？

生：（1）方案一：10×3+3×（8-3）=45（元）。

方案二：（10×3+3×8）×0.8=43.2（元）。

所以方案二更省钱。

（2）由10×300+3×（x-300）>（10×300+3x）×0.8得x>500，

由10×300+3×（x-300）=（10×300+3x）×0.8得x=500，

由10×300+3×（x-300）<（10×300+3x）×0.8得x<500。

所以，若购买笔超过500支，选择方案二更省钱；若购买笔等于500支，两种方案同样省钱；若购买笔少于500支而不少于300支，选择方案一更省钱。

由此可见，在引导学生对课本例题进行分析的时候，对例题进行适当变式，能加深学生对知识的理解，从而真正達到将问题迁移和发展的目的。

总之，教师在教学中对数学问题进行迁移和发展，能促使学生在解决实际问题时灵活运用旧知或联系新知，加深学生对知识的理解，有利于学生形成完整的知识体系。

（责编 童 夏）