遵循认知规律，优化数学课堂教学

何文胜

【摘要】生活中的优化问题集函数应用于一身，解决相关问题不仅能较好地提高学生分析问题、解决问题的能力，而且使学生了解数学在实际生活中的应用，具有非常好的现实意义.如何提高其课堂教学实效？反思整个教学实践历程，采取“导学案”形式分散重难点，注重课堂生成，可以提高课堂效率.

【关键词】高中数学；优化问题；合理安排；课堂生成；课堂效率

本着既尊重教材和课标要求，又从学生实际出发，遵循学生的认知规律，创造性地使用教材的理念，笔者对教材进行二度开发.本文就此做一介绍，以期抛砖引玉.

一、引导学生深入阅读教材，提炼有效信息，激发求知欲

应用题主要的难点就在于，题目背景复杂，数学信息隐藏在繁杂的文字材料中.从最近几年的全国各地的高考原题看，一道应用题的阅读量都在200字左右.所以，在教学时，要引导学生认真阅读教材中的数学材料，并深入理解其中的内涵，准确把握句段之间的紧密联系，并学会用数学符号、图形、图表等数学语言来理解数学概念、公式、定律中的深刻意义，并且还要善于联系生活中的实际案例来论证教材中的各项定律、法则、公式等，从而深刻地理解教材中的数学阅读材料，掌握数学知识的内涵与外延，逐渐训练学生的数学解题思维.

在“生活中的优化问题举例”的教学中，为了更好地解决内容多、课时少，努力提高课堂效率.采用“导学案”形式，让学生课前按教师要求预习相应内容，带着问题进课堂，师生共同解决问题出课堂，教学中重视学生在课堂教學中的“参与度”.

课前，学生按要求阅读探究教材.教师给出依据教材内容编制的思考提纲引导学生怎样获取有效数学信息，学生凭借已有知识和技能初步了解教材中的基本内容，它不仅能使学生步入认知领域，而且能引发学生向情感领域探求的欲望，培养自学能力.“生活中的优化问题”思考提纲主要引导学生思考两个方面的问题：一是引导学生读题、审题，找出未知与已知的关系，建立数学模型，写出解析式；二是引导学生求解所列函数的最值.

二、以问题为主线，串联学生思维

从复杂的文字背景材料中获取数学信息，对学生来说本身就是一大困难.（附教材P101例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？）为分解难点，突出重点，设计问题链，课前发给学生的阅读思考提纲如下.

1.四周空白面积S与整个矩形面积和版心面积有何关系？设计海报的尺寸即确定其高和宽.

2.教材中设版心的高为x dm后，是如何列出函数解析式的？定义域是如何确定的？

3.你能总结利用导数求函数S（x）=2x+512x+8，x>0的最小值的步骤吗？

4.你还可以利用什么方法求上述函数的最小值？

课堂生成1以阅读思考提纲为载体，生生之间、师生之间共同讨论，澄清疑点，教师板书重点及注意点.本节课教师引导学生归纳知识要点，板书如下.

1.几何中的优化问题，常用几何图形的周长、面积、体积公式或其他性质建立函数解析式，定义域由线段的长大于0而得.

2.利用导数求最值的步骤是：求f′（x）→由f′（x）的正负→确定f（x）的增减→结合f（x）的图像求最值.

3.利用基本不等式求最值应注意：一正、二定、三相等.

课堂生成2即有层次的题组练习.教师依据教材中的各类习题或相关资料，精心选编、改编或创编由浅入深、循序渐进的课堂练习题，以满足所有学生（特别是基础较差的学生）的成功欲，使学生在教师引导下的解题中提高兴趣，逐步形成技能.为了使学生进一步掌握几何中的优化问题的解题技巧，逐个出示如下练习题，并提问学生口答或板演，让学生暴露思维弱点，为教师讲解准备素材.

问题1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为（）.

A.2033 cm B.100 cm C.20 cm D.203 cm

解析设高为x cm，则在Rt△ABO中，

BO=400-x2.

由圆锥的体积公式得

V（x）=13π（400-x2）·x，

即V（x）=-13πx3+400π3x（0

所以V′（x）=-πx2+400π3，

由V′（x）=0得x=2033∈（0，20），选A.

强调：在实际问题中，由f′（x）=0得到一个解，若这个解在f（x）的定义域内，则这个根处的函数值就是所求f（x）的最值.

问题2如图，要设计一个矩形广告牌，含有大小相等的左右两个矩形栏目，这两栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm），才能使矩形广告牌面积最小.

解析设广告牌的高为x cm，宽为y cm，

则（x-20）·y-252=9000y=18000x-20+25，

所以广告牌面积为

S（x）=xy=x18000x-20+25=18000xx-20+25x，x>20.

解法一（利用导数求解）

因为S′（x）=18000（x-20）-18000x（x-20）2+25

=-36000（x-20）2+25=25（x+100）（x-140）（x-20）2.

由S′（x）>0得，x>140，

所以S（x）的单增区间为（140，+∞），同理，S（x）的单减区间为（20，140），

所以当x=140时，即广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，广告牌的面积最小.

解法二（利用基本不等式求解）

因为S（x）=18000xx-20+25x=36000x-20+25（x-20）+18500，

而x>20，即x-20>0，

所以S（x）≥236000×25+18500=24500，

当且仅当36000x-20=25（x-20），即x=140時等号成立.

所以当x=140时，S（x）的最小值为24500 cm2.

问题3（2011年江苏高考）请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x（cm）.

（1）若广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

解析注意引导学生立体几何平面化，即从左边平面图形中求得右边立体图形所要的线段长.

（1）因为EF=60-2x，所以阴影部分的等腰直角三角形直角边长为60-2x2，在Rt△BFG中，FG=2x，

所以包装盒的侧面积为

S=4×60-2x2×2x=-8x2+240x.

由EF=60-2x>00

因为抛物线开口向下，且对称轴x=24016=15∈（0，30），

所以当x=15时，侧面积S最大.

（2）包装盒的容积为

V=（2x）2·60-2x2=-22x3+602x2，0

所以V′=-62x2+1202x=-62x（x-20）.

当00，V单增，当20

所以当x=20时，V取最大值，此时，高与底面边长的比值为60-2x2∶2x=12.

课堂完成，师生共同进行课堂小结.其目的是培养学生归纳小结能力，及时复习所学知识.

三、总结归纳，提升思维品质

本节课可引导学生做如下小结.

1.几何中的优化问题，常用几何图形的周长、面积、体积公式或其他性质建立函数解析式，定义域由多条线段的长大于0（即保证实际问题有意义）求得.

2.求函数的最值时，可根据所列函数解析式灵活选择二次函数法、基本不等式法及导数法求解，不过导数法求解是通性通法.

解决问题的具体步骤：

（1）通过阅读，明确题目的目标；

（2）找出数量关系，对得到的数学关系进行分析、联想，抽象出一个或几个数学模型，把实际问题转化为数学问题；

（3）列出函数关系；

（4）根据函数关系式的不同类型，求出函数的最值.

利用“导学案”的教学方式，能较好地体现学生的主动性、主体性，教师的主导性与之相融合，从简单到复杂依次递进推出有阶梯的题组，遵循学生的认知规律，让学生首先能理清思路、找出题目的目标要求，逐渐能找出题目中的数量关系，进而列出函数关系，最终能根据不同类型的函数表达式求出最值.

同时，使学生在知识与技能方面也经历了四个阶段：一是诱导阶段，即通过“课前有目的性预习”使学生初步了解教材中的基本内容；二是解决问题阶段，即通过“课堂生生、师生讨论”让学生在教师的逐步引导下自己解决问题，进一步理解、掌握教材中的重、难点内容；三是内化阶段，通过在教师的引导下走模式化途径解决实际问题，最后能摆脱固有模式，化有形于无形内化成自己的能力；四是发展提升阶段，即通过“变式练习、小结提升”发展学生的技能，使得学生的能力得到质的飞跃.在引导和讲解过程中，也做到了时刻关注学生疑难点、易错点，以问题为主线，以学生为主体，进而提高学生的应用题学习效率.

【参考文献】

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]张雷.三维设计：高中新课标同步课堂数学选修1-1[M].海口：南方出版社，2012.