板中Lamb波与管中纵向模态的传播特性的对比分析

郭 鹏,田振华,李鸿源,徐 鸿

(华北电力大学， 北京 102206)

板中Lamb波与管中纵向模态的传播特性的对比分析

郭 鹏,田振华,李鸿源,徐 鸿

(华北电力大学， 北京 102206)

从Navier运动方程出发，根据不同波导的结构和边界条件，分别推导了平板中Lamb波和管道中纵向模态导波的特征方程，并求解了它们的频散关系和模态结构。通过对平板中Lamb波与管道中纵向模态的特征方程的对比分析，发现了如果管道和平板的材料和壁厚都一致，且当管道半径足够大时，管道中纵向模态的特征方程可化简为平板中Lamb波的特征方程。通过比较频散曲线，得出以下结论：随着管道内径增加，管道中纵向模态的频散关系逐渐趋近于平板中Lamb波的频散关系；其中，管道中的纵向模态L(0,1)趋近于平板中的A0模态；管道中的纵向模态L(0,2)趋近于平板中的S0模态。

Lamb波; 纵向模态; 频散曲线; 模态结构

相对于传统的超声体波(横波和纵波)，超声导波具有传播距离远且能量损耗低的优点。除此之外，超声导波对不同形式的缺陷(裂纹，腐蚀，结构分层等)有很高的敏感度，适合缺陷检测。因为具有这些优点，超声导波可以用于快速的大面积缺陷检测以及健康监测。然而，相对于传统的超声体波，导波具有频散(传播速度随频率变化)和多模态的特性。这些特性使得导波比传统体波更复杂。对于导波缺陷检测和健康监测而言，导波频散关系和模态结构的理论研究是导波检测的基础。一方面，从导波的频散关系(如群速度频散曲线)中，可得到不同频率下导波的传播速度，从而辅助导波缺陷检测方法的开发;另一方面，导波的模态结构直观地给出了导波的位移分布以及传播形式，从而有助于模态的识别以及不同模态对缺陷敏感度的研究。故，快速准确地求解导波频散关系和模态结构是导波检测的基础[1-5]。

要想在无损检测中有效地应用超声导波，就必须了解平板和管道中导波的频散特性，并根据导波在平板和管道中的频散特性制定无损检测方案，故求解和绘制导波在平板和管道中的频散曲线对工程应用有着非常重要的意义。THOMSON[6]和HASKELL[7]利用数值计算给出了频散方程的通解；LOWE[8]利用全局矩阵法和勘根算法进行了模态求解，但该方法在求解大频厚积频散方程时会出现数值不稳的问题；何存富[9]利用有限元法对各种波导结构进行振动模态分析，并将特征频率转换成波动解，进而提取了频散特性曲线；BARTOLI[10]利用半解析有限元法求解了任意截面波导的频散特性曲线；ELMAIMOUNI[11]利用多项式展开求解频散曲线，该方法能有效缩短求解特征值的计算时间；GRAVENKAMP[12]利用比例边界有限元法求解频散曲线，在波导结构边界采用对称方式进行数值离散。

要实现平板和管道的超声导波无损检测，需要对平板和管道的特征方程、频散曲线和模态结构进行深入的研究，笔者从Navier运动方程出发，根据不同波导的结构和边界条件，分别推导了平板中Lamb波和管道中纵向模态导波的特征方程，进而得到了其频散关系和模态结构，可为分析和设计超声导波无损检测试验提供参考。

1 无边界介质中波的传播

对于各向同性均匀介质，Navier运动方程(不考虑体力)为

(1)

式中:u为位移矢量；ρ为材料密度；λ、μ为Lamé常数。

利用Helmholtz分解，位移u可以被分解为标量场φ的梯度和矢量场H的旋度

(2)

将式(2)代入式(1)，将Navier运动方程分解为标量势和矢量势波动方程

(3)

∂2H∂t2=c2s2H，cs=μρ

(4)

式中:cl为纵波的波速；cs为横波的波速。

式(3)为纵波的波动方程，式(4)为剪切波的波动方程。在无限大介质中，两方程互相独立。对于弹性波的传播而言，波动方程式(3)和式(4)的谐波解可表示为

(5)

式中:AL为纵波的幅值；AS为剪切波的幅值；kL为纵波的波数矢量；kS为剪切波的波数矢量；z为传播方向；ω为角频率；ey为y方向的单位矢量。

2 平板中的Lamb波

Lamb波是在平行板状表面间传播的一种超声导波。它在传播过程中可呈现出对称模态(S模态)和反对称模态(A模态)，对称模态与反对称模态的波场结构不同。对称模态的截面位移场相对于中心线呈对称状分布；反对称模态的截面位移场相对于中心线呈反对称状分布。除此之外，平板中的Lamb波还具有频散特性，传播速度与频率和板厚度相关[13-15]。

图1 平板中的Lamb波

此小节从Navier运动方程出发，利用子波法，推导了平板中Lamb波的特征方程，并且求解了Lamb波的频散关系。当波导介质存在边界时，边界条件会影响波的传播。如图1(a)所示，对于自由平板而言，纵波(L)和垂直剪切波(SV)在边界条件作用下，将会互相影响及转换，最终叠加形成更复杂的传播形式，即Lamb波。如图1(b)所示，可将部分波L-与SV-的波数kL-与kSV-分解到z与x方向；同理，部分波L+与SV+的波数kL+与kSV+也可分解到z与x方向，于是有

(6)

kSV±=kzez±kSVxex,kSVx=(ω2c2s-k2z)1/2(7)

式中:ex,ez分别为x,y方向的单位矢量。

因而，对于沿z方向传播的Lamb波而言，波动方程式(3)和式(4)的谐波解可以表示为部分波L波与SV波的形式:

(8)

将式(8)代入式(1)，并结合应力-应变，应变-位移关系方程，可求得平板内Lamb波的位移和应力的矩阵表达形式:

(9)

(10)

平板中的Lamb波不仅需要满足波动方程式(3)和式(4)，而且需要满足平板的边界条件。对于图 1 (a)所示的自由平板而言，其上下表面为自由应力边界。利用边界条件及应力关系可以求得Lamb波的特征方程为：

(11)

根据欧拉方程对上式分解，可求得Lamb波对称模态与反对称模态的特征方程：

(12)

|(k2svx-k2z)sin(klzh)2iksvxkzsin(ksvxh)

2iklxkzcos(klzh)(k2svx-k2z)cos(ksvxh)|=0 ，反对称模态(13)

式中:h为平板厚度d的一半。

根据方程(12)和方程(13)，可求得对称模态与反对称模态的波数kz与角频率ω的关系。利用方程cp=ω/k和方程cg=dω/dk，可求得Lamb波的相速度与群速度。

图2是1 mm厚钢板(材料属性:E=196.5 GPa,泊松比ν=0.29,密度ρ=8 000 kg·m-3)中Lamb波的频散曲线。如图2所示，Lamb波具有多模态特性，随着频率增大，不同模态(如A1、S1、S2和A2模态)逐渐出现。对称模态S0和反对称模态A0的起点在低频区，随着频率增大，高阶模态(如A1、S1、S2和A2模态)逐渐出现。除多模态特性外，Lamb还具有频散特性，传播速度随频率变化：在低频区内，S0模态传播速度快，且群速度随频率变化较小；与之相反，A0模态传播速度慢，且群速度随频率变化较大。

图2 1 mm厚钢板中Lamb波的频散曲线

3 管道中的导波

管道中导波特征方程的推导，与平板中Lamb波特征方程的推导类似。从Navier运动方程出发，结合管道中不同模态的边界条件，可以推导得出管道中不同模态的特征方程。此小节给出了管道中纵向模态特征方程的推导过程。管道中的超声导波同样需要满足波动方程(3)和(4)。因为纵向模态为轴对称模态，所以沿z方向传播时，如图3所示(图中r为柱坐标系下的径向坐标，rin,rout分别为管道内径、外径)，管道中纵向模态的谐波解可表示为

(14)

将式(14)代入式(1)，结合应力-应变，应变-位移关系方程，可以求得纵向模态位移和应力的矩阵表达形式

(15)

(16)

对于图 3所示管道而言，其内外壁面为自由应力边界。利用边界条件及式(16)，可以求得管道纵向模态L(0,m)的特征方程为：

(17)

图3 管道三维圆柱坐标系示意

根据式(17)，可求得纵向模态L(0,m)的波数kz与角频率ω的关系，进而得到管道纵向模态的频散曲线。纵向模态同样具有多模态和频散特性。纵向模态频散曲线除受管道材料参数影响外，还随着管道尺寸变化而变化，如图 4所示，当管道内径不同时，管道的频散曲线不同。在低频区，随着管道内径的变化，频散曲线变化较大；然而在高频区，随着管道内径的变化，频散曲线变化不大。

4 自由平板和管道中的导波对比分析

4.1 频散曲线对比分析

图4比较了Lamb波与管道(材料属性同图2所示材料，管道壁厚1 mm)纵向模态的频散曲线。

图4 Lamb波与管道纵向模态频散曲线比较

管道中的纵向模态L(0,1)与自由平板中的A0模态近似，管道中的纵向模态L(0,2)与自由平板中的S0模态近似。当管道壁厚不变时，随着管道内径的增加，管道中纵向模态的频散曲线逐渐趋近于自由平板的频散曲线。

(18)

因而，随着kr的增大，Hankel函数的值与指数函数近似。如果频率不变，当r足够大时，可根据方程(18)对特征方程(17)化简为：

(19)

进一步化简后，可得：

(20)

式中:d为管道壁厚。

当管道内径足够大时，管道纵向模态的特征方程可化简为方程(20)。与平板中的特征方程(11)相比，化简后的管道纵向模态特征方程(20)与平板特征方程(11)一致。因而，在相同频率下，随着管道内径的增大，管道的特征方程逐渐趋近于平板的特征方程。也就是说，随着管道内径的增大，管道的频散关系逐渐趋近于平板的频散关系。

4.2 波场结构对比分析

将方程(18)代入方程(16)并化简，可得管道中的近似位移场表达式为：

(21)

而自由平板中：

(22)

比较式(22)与(21)，可以发现Lamb波与管道中纵向模态的位移表达式近似。图 5对比了1 mm厚钢板中A0模态与1 mm厚钢管道中的L(0,1)模态。如图 5所示，L (0, 1)模态与A0模态的波场结构近似，在壁厚一定的情况下，随着管道内径增大，管道中的L (0, 1)模态的波场结构越接近于A0模态的波场结构。图 6对比了1 mm厚钢板中S0模态与1 mm厚钢管道中的L(0,2)模态。如图 6所示，在壁厚一定的情况下，随着管道内径增大，管道中的L (0, 2)模态的波场结构越接近于S0模态的波场结构。

图5 f=2 000 kHz时A0模态和L(0,1)模态的位移场分布

图6 f=2 000 kHz时S0模态和L(0,2)模态的位移场分布

5 结论

(1) 平板Lamb波具有多模态特性和频散特性，随着频率增大，不同模态(如A1、S1、S2和A2模态)逐渐出现。对称模态S0和反对称模态A0的起点在低频区，在低频区内，S0模态传播速度快，且群速度随频率变化较小；与之相反，A0模态传播速度慢，且群速度随频率变化较大。

(2) 管道中的纵向模态同样具有多模态和频散特性。纵向模态频散曲线除受管道材料参数影响外，还随管道尺寸变化而变化。

(3) 通过对比分析管道中的纵向模态和平板中Lamb波的特征方程，发现如果管道和平板的材料和壁厚都一致，那么当管道内径足够大时，管道中纵向模态的特征方程可化简为平板中Lamb波的特征方程。相应地，如果管道和平板的材料和壁厚都一致，随着管道内径的增加，管道的频散关系逐渐趋近于平板的频散关系。

(4) 通过频散曲线和模态结构的对比发现，管道中的纵向模态L(0,1)趋近于平板中的A0模态，管道中的纵向模态L(0,2)趋近于平板中的S0模态。

(5) 对于大直径管道中的缺陷检测而言，可将其近似视为平板中的缺陷检测，直接利用平板缺陷检测的相关方法对大直径管道进行检测。另外对于管道中基于L(0,1)和L(0,2)模态的检测，可以分别借鉴平板中A0和S0模态的相关方法。

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Comparison Analysis of the Propagation Characteristics of Lamb Waves in Plates and Longitudinal Waves in Pipes

GUO Peng, TIAN Zhen-hua, LI Hong-yuan, XU Hong

(North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

This paper derives the characteristic equations, dispersion curves and mode shapes of Lamb waves in plates and longitudinal mode guided waves in pipes in details by solving the Navier equation for different waveguide structures and boundary conditions. By comparing the characteristic equations of Lamb waves and longitudinal mode guided waves, it can be found that for pipes and plates that have the same material and wall thickness, the characteristic equations of longitudinal modes in pipes can be simplified to the characteristic equations of Lamb waves in plates when the pipe radius is large enough. Moreover, through the comparison of dispersion curves, it has been found that the dispersion relations of pipes gradually approach to the dispersion relations of plates. Particularly, the longitudinal mode L (0, 1) in pipes approaches to the A0mode in plates, and the longitudinal mode L (0, 2) in pipes approaches to the S0mode in plates.

Lamb wave; Longitudinal mode; Dispersion curve; Mode shape

2016-11-02

国家自然科学基金资助项目(51134016)；中央高校基本科研业务专项资金资助项目(2016XS25)

郭 鹏(1986- )，男，博士研究生，研究方向为电站设备状态监测、结构健康监测和超声无损检测技术。

徐 鸿(1959-),男，教授，博士生导师，E-mail:xuhong@ncepu.edu.cn。

10.11973/wsjc201704009

TB559; TG115.28

A

1000-6656(2017)04-0042-07