一道习题的多角度分析

张忠才

【摘要】有些习题看似平常，实则内涵丰富，若对其进行挖掘、提炼，有助于加深对知识理解的深度，使学生思维的触角伸向不同的方向，不同的层次，有利于培养学生的创新意识和探究能力.

【关键词】解法策略；数列；思想

【课题】甘肃省教育科学“十二五”规划课题：民族地区高中数学高效课堂探究（课题批准号：GS[2015]GHB0563）成果.

笔者在高中数学必修5“数列”的教学中看到这样一道题：在等差数列{an}，Sm=30，S2m=100，求S3m=？

仔细观察此题，本道题在教材必修5“数列”中能找到它的影子，教材例题：在等差数列{an}中，S10=310，S20=1220，求S30=？，此题的教材解法是化归为a1，d的方程思想.

解法策略1依照教材解法解答此题.

∵Sn=na1+n（n-1）2d，

∴ma1+m×（m-1）2d=30，①

2ma1+2m×（2m-1）2d=100，②

解得d=40m2，a1=10m+20m2，

∴Sn=3ma1+3m（3m-1）2d=210.

点评：本题的解题通法是化归为a1，d的方程思想.

解法策略2能否对通法的解题过程进行化简运算呢？

S3m=3ma1+3m（3m-1）2d=3ma1+m（3m-1）2d.

将②-①得：ma1+m（3m-1）2d=70，

∴S3m=3×70=210.

点评：此解法是设而不求，整体代入思想，简化了运算.

解法策略3等差数列的前n项和Sn是关于n的无常数项二次函数，可令Sn=An2+Bn，

∴Sm=Am2+Bm=30，S3m=A（2m）2+B（2m）=100，

∴A=20m2，B=10m，

∴S3m=A（3m）2+B（3m）=210.

点评：此方法利用了待定系数法，函数的思想.

解法策略4若{an}是等差数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.构造新数列，巧用性质解答此题.

由等差中项可得：2（S2m-Sm）=（S3m-S2m）+Sm，可得S3m=210.

解法策略5若{an}是等差数列，Sn是关于n的无常数项二次函数，可以构造一个关于n的新函数Snn.

∵Sn=na1+n（n-1）2d，

∴Snn=a1+（n-1）2d=d2·n+a1-d2，

則n，Snn是直线L：y=d2x+a1-d2上的一群孤立点.

由三点m，Smm，2m，S2m2m，3m，S3m3m共线，斜率相等可得S3m=210.

点评：公式合理化的变形，数列变成点列，实现数形结合的思想.

解法策略6小题不大做，特值代入法.

令m=1，∴S1=30，S2=100得a1=30，a2=70.

从而得a3=a2+（a2-a1）=110，

S3=a1+a2+a3=210.

点评：特殊化法难在不怕做不到，就怕想不到.

对同一道题，从不同的角度去分析研究，探求多种解题思路，从而得到多种解题方法，加深了学生对知识理解的深度，使学生思维的触角伸向不同的方向，不同的层次，有利于培养学生的创新意识和探究能力.