基于常微分方程的常数变易法的探讨

唐天国

【摘要】常数变易法是从数学角度出发推导出特解的，实际上，它有明确的物理背景，简单地说，它来自下面的动量守恒定律：物体在某一时段内的动量的增量等于作用在该物体上所有外力在这一时段内的冲量.在求一阶非齐次线性方程的通解时，我们曾对其对应的齐次线性方程的通解利用常数变易法求得非齐次线性方程的通解，本文将针对基于常微分方程的常数变易法进行探讨.

【关键词】常数变易法；常微分方程；定律

线性齐次微分方程的解乘以任意常数仍为原齐次方程的解，如果求解线性非齐次微分方程时，将对应的齐次线性微分方程的通解中的常数设想为待定函数或者说将待定函数乘以对应齐次方程的解，以此形式作为非齐次线性微分方程的解，代入非齐次方程确定待定函数.这就是在推求一阶线性微分方程的求解公式时，用过的常数变易法[1].

一阶线性微分方程可以写成[2]

dydx+P（x）y=Q（x），（1）

简称一阶线性方程，其中P（x），Q（x）都是x的已知连续函数.

当Q（x）=0时，方程（1）变为[3]

dydx+P（x）y=0，（2）

称为方程（1）对应的线性齐次方程，而当Q（x）≠0时，方程（1）称为一阶线性非齐次方程[4].

线性齐次方程（2），实质上是可分离变量方程，分离变量，得

dyy=-P（x）dx，

两边积分，得ln|y|=-∫P（x）dx+lnC，

得通解为y=Ce-∫P（x）dx，其中C为任意常数.

不难看出，线性非齐次方程（1）与对应的齐次方程（2）既有联系又有区别.因此，猜想它们的解也应该既有联系又有区别，由此可以得到线性非齐次方程（1）的通解：

y=e-∫P（x）dx[∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C].

这种将常数变易为待定函数的方法称为常数变易法.

定理告诉我们，要解非齐次线性方程，只需知道它的一个解和对应的齐次线性方程的基本解组.我们进一步指出，只要知道对应的齐次线性方程的基本解组，就可以利用常数变易法求得非齐次线性方程的解.

为求出非齐次线性微分方程的通解，只需求出其对应齐次线性微分方程的通解，然后，用常数变易法求解即可，因而从理论上说，线性微分方程的通解结构问题已彻底解决，但怎样求出变系数齐次线性微分方程的通解却又是一个十分棘手而艰难的问题.事实上，对一般的高阶微分方程（即便是二阶微分方程），并不存在求通解的一般方法.但当线性微分方程中的系数都是常数时，称该方程为常系数线性微分方程，所对应的齐次方程的通解可以通过代数方法来求解.

降阶法是对齐次线性方程L（y）=0已找到一个特解的情形，通过作未知函数变换，将求解n阶齐次线性方程的问题化为求解n-1阶的齐次线性方程.常数变易法是在已知非齐次线性方程的对应的齐次线性方程L（y）=0的通解的情形下，求出L（y）=q（x）的一个特解的方法.

上述在求解一阶非齐次线性微分方程时，我们就已使用过常数变易法.其特点是，若y=Cy1（x）是齐次线性微分方程的通解，则可将其中的常数C变易为未知函数C（x），使y=C（x）·y1（x）成为非齐次线性微分方程的通解，将其代入到非齐次线性微分方程中从而求出C（x）（这也是这一方法名称的由来）.这一方法也适用于求解高阶线性微分方程，下面就二阶线性微分方程的情形讨论如下.

设齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=0的通解为y=C1y1+C2y2.非齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解为

y=u1y1+u2y2，（3）

其中函数u1=u1（x）及u2=u2（x）待定.由式（3）求导，得

y′=u′1y1+u′2y2+u1y′1+u2y′2.

如果式（3）代入非齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）中去，则可得到u1（x），u2（x）的一个关系式，但是这里有两个未知函数，所以，还需要附加一个条件，为计算方便，特补充如下条件：

u′1y1+u′2y2=0.（4）

从而y′=u1y′1+u2y′2，

再求导得y″=u′1y′1+u′2y′2+y″1u1+y″2u2.

将y，y′，y″代入非齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）中可得

y″=u′1y′1+u′2y′2+[y″1+p（x）y′1+q（x）y1]u1+[y″2+p（x）y′2+q（x）y2]u2=f（x）.

注意到y1，y2是齐次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=0的解，由上式得

u′1y′1+u′2y′2=f（x）.

联立方程（3）和（4），当系数行列式

w=y1y2y′1 y′2=y1y′2-y′1y2=0.

从而得出非齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解为

y=C1y1+C2y2-y1∫y2f（x）wdx+y2∫y1f（x）wdx.

當非齐次项不属于上述几类函数，或二阶线性方程的系数不是常数时，有时可用常数变易法来求非齐次方程的特解.求线性非齐次微分方程的通解，只要先求出其对应的线性齐次方程的通解，然后，再求出非齐次方程的一个特解，两者之和即为非齐次线性微分方程的通解.而定理指出，当自由项复杂时，可以考虑把自由项分解成若干个简单函数的和.通常，以这些简单函数作自由项重新构造的微分方程容易求特解，这些特解之和即为原微分方程的特解，从而使得求解的范围进一步扩大.

总之，常数变易法是求线性非齐次微分方程、线性非齐次微分方程组的通解的主要方法.其理论基础是线性微分方程解的结构定理，其方法是先求出对应齐次方程或齐次方程组的通解，将其中的任意常数Ci视为自变量的函数Ci（x），代入原方程，求出Ci（x），将Ci（x）代回齐次方程或齐次方程组的通解中，即得原方程的通解.因而，通过探讨基于常微分方程的常数变易法，能够更好地对常微分方程的通解有一个深刻的了解.

【参考文献】

[1]汤维曦.一阶线性非齐次微分方程的解法探析[J].福建教育学院学报，2013（01）：122-124.

[2]张衡.关于n阶线性常微分方程常数变易法的评注[J].福建师大福清分校学报，2013（02）：111-112.

[3]徐新荣.关于常微分方程的常数变易法[J].高等数学研究，2013（03）：227-229.

[4]Ma Ruyun，Wang Haiyan.On the existence of positive solutions fourth-order ordinary differential equations[J].Appl.Anales，2010（20）：876-877.