黎曼—勒贝格定理几何意义的实验教学法探讨

梁海华+黄凤英+张冰

【摘要】本文探讨了在数学分析课堂中，利用计算机软件探索黎曼-勒贝格定理几何意义的实验教学法，给出了实验步骤和Mathematica程序设计以及教学方法.

【关键词】黎曼-勒贝格定理；几何意义；教学探讨

【基金项目】本文系2016年广东省高等教育教学改革项目《基于数学实验的数学专业分析类课程的教学改革探索》（粤教高函[2016]236号）成果之一.

一、引言

在华东师大版《数学分析》教材下册，为了证明傅里叶收敛定理，需要用到贝塞尔（Bessel）不等式.而后者可以直接推出如下著名的结论：

定理A若函数f在[-π，π]上（黎曼）可积，则

limn→∞∫π-πf（x）cosnxdx=0，limn→∞∫π-πf（x）sinnxdx=0.

这个结论称为黎曼-勒贝格定理.

定理B若f∈L1（[a，b]），则limλ→+∞∫baf（x）cosλxdx=0，limλ→+∞∫baf（x）sinλxdx=0.

此外，人们还把该定理拓广到更广泛的情形（如cosλx可换成普通的周期函数）并应用它来解决诸多重要问题.

由此可见，黎曼-勒贝格定理是分析学中一个非常重要的定理.然而，在数学分析的课程体系中，它仅仅是作为傅里叶级数收敛定理的预备定理的一个推论出现.因此，通常的教学中，绝大部分教师往往一笔带过，学生也没有留下多少印象.而在实变函数的课程中，教师往往注重讲解定理的证明和应用，忽视了对定理深层含义的挖掘.

那么，教师在数学分析课堂中该如何讲授这个定理，才能让学生理解它的深刻本质呢？我们注意到，定理A有着很强的几何意义，只要由浅入深把它的几何意义展示给学生，就能取得非常好的教学效果.下面将介绍我们在实践中利用数学软件Mathematica开展的实验教学方法.据我们所知，目前尚未有文献涉及这样的探讨.

二、黎曼-勒贝格定理的实验教学法

在教学过程中，我们在完整地讲完用贝塞尔不等式证明傅里叶收敛定理后，以一个小专题的形式探讨黎曼-勒贝格定理几何意义，整个教学课程大约需要25分钟.首先提出实验目的：探讨黎曼-勒贝格定理（定理A）的几何意义.

然后给出如下实验步骤：

1.取f（x）≡1.观察函数f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在区间[-π，π]上的图像；从几何角度思考∫π-πcosnxdx=0的原因.

2.取f（x）=（x-1）2.作出函数f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在区间[-π，π]上的图像；用Mathematica软件计算数列an=∫π-πf（x）cosnxdx；观察{an}的趋势并从几何角度思考产生这种趋势的原因.

3.任取其他可积函数f（x），作出f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在区间[-π，π]上的图像；从几何角度思考∫π-πf（x）cosnxdx是否趋于零.

4.从以上三个步骤的探讨中，你发现∫π-πf（x）cosnxdx趋于零的原因是什么？

教師在课堂上引导学生按照上述步骤展开思考，进行启发式教学.

探讨：1.取若干正整数n，用Mathematica作出函数cosnx在区间[-π，π]上的图像.例如，以n=5和n=20为例，得到如下图像：

观察发现：cosnx在[-π，π]上下等幅振动，上半平面的曲线与x轴围成的“正”面积恰好等于下半平面的曲线与x轴围成的“负”面积的绝对值.而∫π-πcosnxdx=0就是正负面积完全抵消的结果.

2.取若干正整数n，作出函数（x-1）2cosnx在区间[-π，π]上的图像.例如，当n=9时，图像如下：

再用Mathematica计算出n=51，52，…，59时∫π-πf（x）cosnxdx的准确值和及n=1001，1002，…，1010时的数值近似值，分别如下：

从计算结果可以看出，随着n不断增大，积分值越来越接近0.

提问学生：为什么此时，积分值不为零，但又趋于零呢？原来，与f（x）≡1的情形不同，此时被积函数的图像虽然上下振动，但正负面积却不能完全抵消.这就是积分不为零的原因.然而，随着n的增大，cosnx的频率越来越大.在它的带动下，（x-1）2cosnx图像上下振动越来越频繁，曲线夹成的“拱桥”越来越狭窄，导致正负面积差别越来越小直至微乎其微，从而积分值越来越接近零.

3.请学生任取其他函数，例如，取f（x）≡ex/15sinx3ln（x2+1），得到n=1，2，…时函数f（x）cosnx的图像系列.以下我们仅给出n=20时函数的图像：

引导学生观察：随着n越来越大，曲线与x轴围成的图形的正负面积，在很大程度上可以互相抵消.因此，函数在[-π，π]上的积分越来越接近零.

4.经过以上三步由浅入深的观察和探讨，我们发现，黎曼-勒贝格定理中，积分趋于零的几何意义是：当n很大的时候，曲线cosnx在区间[-π，π]上高频振动，不管曲线f（x）是何种可积函数，它与cosnx相乘后也高频振动起来.由此产生的结果是：曲线f（x）cosnx与x轴围成的图形的正负面积可以大幅度抵消，导致f（x）cosnx在[-π，π]上的积分越来越小直至为零.

三、结语

通过上述实验教学，我们清晰地向学生揭示了黎曼-勒贝格定理的几何意义，也让学生理解了这个定理的深刻意义.另外，数学分析课程中还有不少定理和概念也可以借助计算机软件来探讨它们几何意义.这种教学方法，让原本枯燥无味的课堂变得生动有趣，给学生创造了很大的观察和思考空间.因此，这无疑是培养创新性数学人才的一个有效途径.