敲定时间为随机变量的情况下奇异期权定价问题研究

贾兆丽 杨舒荃 华铎

摘 要 受保险精算中定价最小死亡保证金的启发，当死亡发生时，会收到一定数额的财富作为补偿，而这笔财富当作是一种支付，它不仅依赖于原生资产的当前价格，还依赖于之前的价格信息.可以把这个支付函数看做是一种特殊期权的收益函数.又由于随机变量Tx（表示年龄为x的顾客从购买合约到死亡的时间段）的分布可以被近似地看做是几个指数分布的线性组合.假设股票价格变化服从双指数跳扩散过程.利用Lévy过程的指数停时的有关结果，给出敲定时间为随机变量的情况下累计期权的价格公式的显式解.这些定价方法可以用于与死亡相关的未定权益的定价，如各种养老金保险等.

关键词 金融数学;奇异期权定价;数学分析;跳扩散过程;显式解

中图分类号 60J30文献标识码 A

Abstract At the time of death，a benefit payment is due，and the benefit payment is regarded as a payment function，which depends not only on the price of a stock at that time，but also on prior prices.The payment turns out to be the payoff of an option，because the distribution of the time of death Tx（that is the time-until-death random variable for a life age x from buying the contracts） can be approximated by a linear combination of exponential distributions.For simplicity，the analysis is made for the case where the time until death is exponentially distributed，which is independent with the stock price process.In this paper，stock price was assumed to follow a double exponential jump diffusion process.The results for exponential stopping of a Lévy process were used to derive a closed-form formula for a Knock Out Discount Accumulator，under the strike time is the random variable.The pricing method of this paper can be used for value equity-linked death benefits such as various annuities and so on.

Key words Financial mathematics;price of exotic options;process of jump diffusion model;Mathematical analysis;closed-form solution

1 引 言

在各種养老金保险及股指年金合约中，定价最小死亡保证金[1，2]支付（Guaranteed Minimum Death Benefits，简称GMDB）是保险精算的重要内容之一.受这种定价思想的启发，定价与“死亡”相依的未定权益的收益.当死亡发生时，会收到相应的财富作为支付函数，而这种支付不仅依赖于当前的原生资产的价格，还依赖于之前标的资产的价格.可以把这个支付看作是一种特殊的期权收益.

在金融学中，将跳扩散过程用于描述原生资产的价格过程，这方面的文献很多.Merton（1973）[3]首次在Black-Scholes[4]模型中引入复合Poisson跳，将跳扩散模型应用于股票价格模型中，并假设股票的跳跃幅度仍为正态分布，给出了标准欧式期权价格的显示解.这是一个很重要的进步，它克服了几何布朗运动不能解释诸如厚尾分布等不足.

文章是按如下内容组织的：在第2部分预备知识中给出了一些有关随机变量的分布.在第3部分中分别研究了与死亡相依的回望期权、障碍期权和累计期权的定价问题.这部分的创新之处在于敲定时间不是常量，而是随机变量（指的是年龄为x的顾客从购买合约到死亡的时间段），处理方法在于用指数分布的组合去逼近该随机变量.第4部分总结了主要结果，方法及贡献.

2 预备知识

3 主要结果及其证明

3.1 回望期权的定价问题

3.2 障碍期权的定价问题

3.3 累计期权的定价问题

累计期权简写为KODA，累计期权包含两个障碍一个向上敲出型障碍和一个向下确定执行价格的障碍上障碍由合约签订时依据当时股票价格加成一定百分比确定，在整个合约存续期间保持不变;下障碍由合约签订时依据当时股票价格一定的折扣率确定（即执行价格），在整个合约存续期间保持不变.它给投资者这样的权利：在一年中的每个交易日里，只要标的股票的当日收市价高于下障碍，投资者可以按照事先约定好的折扣率购买一定数量（例如100股）的股票，这时投资者是盈利的;如果标的股票的当日收市价低于这个下障碍，投资者必须仍然按照约定的执行价格（高于结算日的即时价格）购买双倍数量的股票（200股），这时投资者是亏损的;合约存续期间一旦标的股票价格超过上障碍，则合约自动终止.由合约的条款可以看出，投资这种衍生产品，收益是有限的（因为存在敲出价格），风险却是无限的.