漂移和波动控制下的委托投资组合管理问题

聂霞 常佳佳 胡支军

摘 要 考虑委托人和代理人都是风险厌恶的，代理人可私下选择或控制输出现金流的漂移和波动，现金流的整个波动由外生因素和代理人的内生控制因素组成，委托人只能观察到现金流过程，然后采用一阶方法，讨论连续时间框架下的委托投资组合管理问题.研究发现：最优波动控制要求代理人根据外生因子来进行调整，最优报酬函数的形式由市场决定的保留效用，努力成本，激励代理人工作的风险补偿以及利用风险补偿支付给代理人的的风险溢价四部分构成.最后对模型进行实例分析，得到最优努力是一个常数，并得到最优合约的显示解.

关键词 投资学;动态合约;博弈论;波动控制

中图分类号 F830文献标识码 A

Abstract The principal and the agent are risk averse，and the agent can privately select or control the drift and volatility of the output of cash flow.However，the overall diffusion term of the cash flow consists of exogenous and endogenous factors of the agent，and the principal can only observe the cash flow process.Then the first-order method was used to discuss the delegated portfolio management problem under a continuous time frame.The study finds that the optimal volatility control requires the agent to adjust according to the exogenous factors，and the form of the optimal compensation function consists of four parts;the reserve utility of the market decision，the cost of the effort，the risk compensation of encouraging agents to work，and the risk premium paid to the agents by the risk compensation.Finally，the result shows the optimal effort is a constant by analyzing the model using an example and the explicit solution of the optimal contract is obtained.

Key words investments;dynamic contracting;Game Theory;volatility control

1 引 言

最近幾十年来，随着证券投资基金等机构投资的快速发展，大量金融财富的所有权和管理权相分离.因为相对于一般的投资者，通常，专业的投资管理者具有较为丰富的科学投资知识，有更多技能去搜集、解释和处理有关资产收益和风险的信息，委托投资组合管理已成为金融资产管理的重要形式[1].但是在委托投资组合管理的问题中，委托人和代理人各自从自己的利益出发，可能会产生冲突，所以委托人有必要通过适当的设计契约，来诱导代理人的投资行为，使得在代理人选择自己最优行动的同时，尽可能最大化自己的利益.

在委托投资组合管理中，不管是实践者还是理论研究的学者，都对基金管理者的报酬方案深感兴趣.HOLMSTROM等（1987）[2]认为线性合同是最优的，因为线性合同能够很好的解决风险分担和管理者的激励问题，增加管理者的收益分享比例可以激励管理者按照委托方的利益努力工作.SCHATTLER等（1993）[3]在委托人和代理人都具有指数效用的情况下，提供了一种解连续时间委托代理问题的一阶方法，OUYANG（2003）[4]得出最优合同具有对称的形式，即基金经理被支付一个固定的费用，加上被管理总资产的一定比例以及依赖于组合超额收益的奖励或惩罚.DEMARZO等（2006）[5]考虑了代理人控制漂移过程的连续时间委托代理问题[6]，但都没有考虑波动控制，在某些基金投资管理中，现金流的波动是由外生因素和代理人可选择的内生因素共同决定的，即便委托人能观察到整个现金流过程，并算出现金流的二次变差，但仍然不知道代理人选择的波动影响.事实上，许多文献已经意识到风险转移，即被管理的现金流的波动变化是道德风险的一个重要来源.如STOUGHTON（1993）[7]指出：事实上在委托组合管理中代理人控制努力也可以影响风险，使得委托人从自己的利益最大化出发，给出激励相容的合约更难[8-9].CUOCO等（2011）[10]也指出：投资组合管理中代理问题的一个显著特征是，代理人的行动（投资策略和获得证券收益信息可能花费的努力）影响相关的状态变量（所管理的投资组合的价值）的漂移和波动.但对具有波动控制的委托代理问题的研究较少.直到LEUNG（2014）[11]用鞅方法开创性地研究了风险中性条件下，具有随机波动控制的委托投资组合管理问题，提出委托人给代理人的资金激励很大程度上依赖于波动性选择、委托人的内生准风险规避与外生因子水平的弹性.通过引入这种有意义的波动控制思想，为研究者研究连续时间委托代理问题开辟了一个新的渠道.在最近FENG（2016）[12]的研究中，也考虑了代理人能够私下控制波动的情形，讨论了资本预算与要求报酬率和代理人的风险承担与工资绩效之间的关系，有助于协调企业规模、企业风险和管理报酬三者之间的关系.

借鉴LEUNG（2014）的波动控制的思想，现金流的整个波动由外生因素和代理人的内生控制因素组成，代理人可以私下选择或控制输出现金流的漂移和波动，委托人只能观察整个现金流过程，不能观察代理人的行动过程，也不能观察外生因子过程.与前面考虑波动控制的文献不同的是，假设努力控制是某一区间上的连续变量，委托人和代理人都是风险厌恶的，其效用函数为指数效用函数，更加具有理论和现实意义，然后采用一阶方法，讨论了连续时间框架下的委托投资组合管理問题.结果表明最优努力和波动是一个二元方程组的解，相对于LEUNG（2014）具有更简单的表示，并能够得出最优合约，最优波动控制要求代理人根据外生因子来进行调整，最优报酬函数的形式由市场决定的保留效用，努力成本，激励代理人工作的风险补偿以及利用风险补偿支付给代理人的的风险溢价四部分构成.对模型进行实例分析，推出了最优努力和波动控制，得到最优合约的显示解.

5 结 论

假设代理人可以私下不断地选择或控制输出的现金流的漂移和波动，现金流过程对委托人和代理人都是可观察的，但委托人不能观察代理人的行动过程.在这样的连续时间委托代理投资组合问题的研究中，委托人必须提供激励去诱导代理人发挥和选择他所期望的努力和波动.研究发现最优努力控制和最优波动控制具有较为简单的表示，给出了最优合约的表达式，特别地，最优波动控制要求代理人根据外生因子来进行调整.这一情况适用于对冲基金，私募股权基金等非透明投资基金的委托投资组合管理问题.最后，通过符合文中假设的回报函数к（et，σt）和成本函数C（et），推导出具体的报酬函数的形式，说明在一定的条件下，此模型可以得出报酬函数的显示解.引入波动控制和参与人风险厌恶的假设使得模型更加具有理论和现实意义，进一步丰富了委托投资组合管理问题的讨论.但是只考虑到终止时间是固定的情况，进一步的研究可以考虑波动控制下不确定性终止时间的委托投资组合管理问题，另外，进一步的工作也可以考虑努力和波动控制相互作用下的委托投资组合管理问题.

参考文献

[1] 盛积良，马永开.总风险约束的委托组合投资管理激励契约[J].系统工程理论与实践，2012（3）：589-596.

[2] B HOLMSTROM，P MILGROM.Aggregation and linearity in the provision of intertemporal incentives[J].Econometrica：Journal of the Econometric Society，1987：303-328.

[3] H SCHATTLER，J SUNG.The first-order approach to the continuous-time principal-agent problem with exponential utility[J].Journal of Economic Theory，1993，61（2）：331-371.

[4] Hui OUYANG.Optimal Contracts in a Continuous-Time Delegated Portfolio Management Problem[J].Review of Financial Studies，2003，16（1）：173-208.

[5] P M DEMARZO，Y SANNIKOV.Optimal Security Design and Dynamic Capital Structure in a Continuous‐Time Agency Model[J].The Journal of Finance，2006，61（6）：2681-2724.

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[7] N M STOUGHTON.Moral Hazard and the Portfolio Management Problem[J].The Journal of Finance，1993，48（5）：2009-2028.

[8] A R ADMATI，P PFLEIDERER.Does It All Add Up？ Benchmarks and the Compensation of Active Portfolio Managers.[J].Journal of Business，1997，70（3）：323-350.

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[10] D CUOCO，R KANIEL.Equilibrium prices in the presence of delegated portfolio management.[J].Journal of Financial Economics，2009，101（2）：264-296.

[11] R C W LEUNG.Continuous-time principal-agent problem with drift and stochastic volatility control：with applications to delegated portfolio management[R].Working paper，2014，Available at SSRN：https：//ssrn.com/abstract=2482009.

[12] F Z FENG，M M WESTERFIELD.Dynamic asset allocation with hidden volatility[R].Working paper，2016，Available at SSRN：https：//ssrn.com/abstract=2874612.