基于Bezier曲线的多边形图像骨架矩的研究

段 汕，张 洪，王小凡，张 晔，张彬彬

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

基于Bezier曲线的多边形图像骨架矩的研究

段 汕，张 洪，王小凡，张 晔，张彬彬

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

在Hu矩与Chen边界矩方法的基础上，将骨架矩理论融入多边形图像的骨架处理中，通过一次与二次Bezier曲线将多边形骨架用控制点表示，推导了基于控制点表示的骨架矩不变量，为多边形图像的分类与识别提供了一种统计特征提取方法.

多边形；骨架；Bezier曲线；矩不变量

图像的特征提取是图像分析的关键，常用的图像形状特征提取算法有Fourier描述子、Hough变换、形状矩阵和矩不变量等方法.矩特征以图像分布的各阶矩来描述图像的形状特征，具有较好的抗噪性和稳定性.Hu[1]首先将矩用于目标识别，提出了矩不变量的概念.矩不变量是一种比较经典的特征指标，它提取的是物体的全局特征.矩不变量具有平移、旋转和尺度变换不变性，被广泛应用在图像分类与识别、图像检索与匹配、图像分析等领域[2,3].Hu矩实际上是针对目标区域的矩，所以又称区域矩，它需要对整个图像存在的区域进行计算，计算量大，不利于实时处理.为了快速计算区域矩不变量，近年来研究者提出了很多矩的快速算法.因为人的视觉系统对物体认识的初级阶段是对其形状的认识，而边界中含有图像形状的重要信息，因此在图像处理与模式识别领域经常根据图像的边界来识别图像或对其分类.Chen[4,5]提出的利用区域边界来计算区域矩的快速算法即其中一个，这种边界矩不变量与Hu矩相比计算量较小，大大减少计算时间，提高了计算效率.

骨架是图像形状的曲线表述方式，描述的是图像的几何与拓扑性质.基于骨架的图像识别往往需要对骨架进行演化、近似、标注等繁琐的编码工作，而采用合适的骨架矩技术可以定量描述骨架的整体分布、骨架的弯曲程度、骨架的长短情况等信息[6].本文结合Hu区域矩与Chen边界矩的思想，研究了多边形图像骨架的特点，在多边形图像的骨架问题中建立了骨架矩理论，通过Bezier曲线推导了基于控制点表示的骨架矩，为多边形图像的分类与识别建立了一种定量表示方法.

1 多边形图像的骨架

设M⊂R2是欧式空间中的任一多边形，边界为∂M.对任意r≥0和p∈R2，以p为圆心，r为半径的圆盘为：

Kr(p)={q|d(p,q)≤r}.

点p处的半径函数为[7]：

规定多边形的外边界以逆时针方向为正方向，内边界以顺时针方向为正方向，多边形的所有顶点p1,p2,…,pn将构成一个有向点列.多边形在凸顶点处内角0<α<π，凹顶点处内角π<α<2π.多边形图像的骨架是由多边形的点与点、点与边、边与边的平分线构成.

(2)对于点A(x1，y1)，B(x2，y2),点A与边AB的平分线是过点A且垂直于AB的直线，方程为：

(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)=0.

(3)对于点F(x0,y0)与直线L:ax+by+c=0，a2+b2=1，F∉L，点F与边L的平分线是以点F为焦点，L为准线的抛物线，方程为：

(a1±a2)x+(b1±b2)y+(c1±c2)=0，

其中正负号的选取保证角平分线位于多边形的内部.

当L1‖L2时，两直线方程可写为Li:a1x+b1y+ci=0(i=1,2)，平分线方程为：

2 多边形骨架的Bezier曲线表示

根据上述分析，多边形图像M的骨架，是由直线和抛物线构成的连续曲线.设其中的直线部分为L={li|i=1,2,…,m}，抛物线部分为Q={qj|j=1,2,…,n}，则多边形图像M的骨架可以表示为S(M)=L∪Q.其中，骨架S(M)的直线与抛物线部分即一次与二次Bezier曲线[8].

2.1 Bezier曲线的定义与性质

对于点V0,V1，称下列参数多项式：

V(t)=(1-t)V0+tV1,0≤t≤1.

是以点V0,V1为控制点的一次Bezier曲线，它表现为以V0,V1为两端点的线段.

对于点V0,V1,V2，称下列参数多项式：

V(t)=(1-t)2V0+2t(1-t)V1+t2V2,0≤t≤1.

是以点V0,V1,V2为控制点的二次Bezier曲线，V0,V2分别为曲线的两端点，V1为二次Bezier曲线V(t)在点V0与V2的切线的交点[7].

设控制点坐标为V0(x0,y0)、V1(x1,y1)、V2(x2,y2)，则一次Bezier曲线的参数方程为：

二次Bezier曲线的参数方程为：

它们分别表示一条控制点为V0,V1的直线和一条控制点为V0,V1,V2的抛物线.

2.2 控制点的求取

一次Bezier曲线的控制点即为两端点，二次Bezier曲线的控制点为其两端点及Bezier曲线在两端点处切线的交点[8].对于多边形图像M，只有凹顶点与边的平分线才是二次Bezier曲线.

Lk,k+1:ak,k+1x+bk,k+1y+ck,k+1=0,

若记:

且抛物线在点V0、V2处的切线分别为L0、L2，则L0、L2上的方向向量分别为：

因此，抛物线qj过点V0、V2的切线方程分别为：

由L0、L2的方程，可求得控制点V1的坐标(xV1,yV1)

3 骨架矩不变量

3.1 一次Bezier曲线的骨架矩

对多边形图像M的一次Bezier曲线骨架L={li|i=1,2,…,m}，设骨架段li的控制点为V0i(x0i,y0i)、V1i(x1i，y1i)，i=1,2,…,m,则骨架段li的方程为：

骨架段li的p+q阶中心矩为：

p+q=2,3,…，

于是，骨架段li的7个具有平移、旋转和尺度变换不变性的矩不变量为：

3.2 二次Bezier曲线的骨架矩

对多边形图像M的二次Bezier曲线骨架为Q={qj|j=1,2,…,n}，设骨架段qj的控制点为V0j(x0j,y0j)、V1j(x1j,y1j)、V2j(x2j,y2j)，j=1,2,…,n，则骨架段qj的方程为：

骨架段qj的p+q阶原点矩为：

x0j)t+x0j]p[(y0j+y2j-2y1j)t2+2(y1j-y0j)t+

y0j]qdt,

qj的p+q阶中心矩为：

p+q阶归一化中心矩为：

其中p+q=2,3,…，这样骨架段qj的7个具有平移、旋转和尺度变换不变性的矩不变量为：

多边形图像M的骨架被多边形的点与点、点与边、边与边的平分线的交点分割成若干个骨架段，即一次与二次Bezier曲线，将一次与二次Bezier曲线的骨架矩相加构成多边形图像M的骨架矩，给出多边形图像M的7个具有平移、旋转和尺度变换不变性的骨架矩：

待测图像N与参考图像M的矩不变量距离d(M,N)表示了M与N的相似程度，矩不变量距离越小，代表待测图像N与参考图像M越接近，相似程度越高.

4 实验结果及分析

本文在Matlab7.10.0环境下，对3个具有代表性的多边形图像进行仿真实验.图1给出了3个多边形图像，区别在于图像的左下方是否有凹顶点与凹顶点处内角的大小，其中图1(1)的多边形顶点坐标为(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6),(2.5, 4)，图1(2)的多边形顶点坐标为(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6),(2, 4)，图1(3)的多边形顶点坐标为(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6).图2为将相应多边形图像的边界均匀离散化，其离散点集构成的Voronoi图.图3为多边形图像的骨架及控制点图，其中蓝色曲线为多边形的骨架，红色的点为控制点.表1给出了三幅多边形骨架图的所有控制点坐标.表2是根据表1的控制点坐标计算出的多边形图像的骨架矩.

图1 3个形状相近的多边形Fig.1 There polygons of similar shape

图2 图1中对应的边界离散点集的Voronoi图Fig.2 The corresponding Voronoi diagram of a set of boundary discrete points in Fig.1

图3 图1中对应的多边形的骨架及控制点图Fig.3 The corresponding skeletons and the control points graphs of polygons in Fig.1

表1 图3中对应的多边形骨架的控制点Tab.1 The control points of the corresponding polygonal skeletons in Fig.3

表2 图1中对应的多边形图像的骨架矩Tab.2 The corresponding skeleton moment invariants of polygonal images in Fig.1

5 结束语

本文研究了多边形图像骨架的特点，在Hu区域矩与Chen边界矩思想的基础上，通过一次与二次Bezier曲线推导了基于控制点表示的多边形图像的骨架矩不变量，为多边形图像的分类与识别建立了一种定量表示方法.实验结果表明该方法可以有效地应用于多边形图像的分类、识别与匹配.

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Study of Skeleton Moments of Polygonal Images Based on Bezier Curves

DuanShan,ZhangHong,WangXiaofan,ZhangYe,ZhangBinbin

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we use the theory of skeleton moments to process polygonal images′ skeletons based on the theories of Hu′s moment invariants and Chen′s boundary moment invariants.We express polygonal skeletons with a few of control points by the first-order and second-order Bezier curves, deduce skeleton moment invariants expressed by control points, which provides a statistical feature extraction method for the classification and recognition of polygon images.

polygon;skeleton;Bezier curve;moment invariant

2016-12-27

段 汕(1962-)，女，教授，博士，研究方向：数学应用方法与图像处理，E-mail:duanshan@mail.scuec.edu.cn

国家自然科学基金资助项目(61374085，11301552)

TP751;O143

A

1672-4321(2017)01-0113-06