可穿透腔体外有裂缝的正散射问题

彭超权，陶 婷，蔡明建

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

可穿透腔体外有裂缝的正散射问题

彭超权，陶 婷，蔡明建

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

研究了时间调和的点源入射平面波通过腔体和裂缝的正散射问题，认为散射体是由一个可穿透腔体和一个外部不可穿透的裂缝构成，该问题归结为对具有一定边界条件的Helmholtz方程的求解.通过边界积分方程的方法,利用位势理论和Fredholm定理，证明了该问题解的存在唯一性.

边界积分方程的方法；Helmholtz方程；Fredholm定理；腔体；裂缝

1 主要问题及结论

(1)

(2)

1995年，Kress研究了裂缝散射的正反散射问题，他利用边界积分方程的方法，得到了解的存在唯一性[1].1997年，Monch考虑了具有Neumann边界条件的裂缝散射问题，之后在2000年，Kirsch和Ritter通过远场信息对裂缝进行了重构.2003年，Cakoni和Colton考虑了裂缝两边具有不同边界条件的裂缝散射问题[2,3].2009年，Krutitskii研究了平面上一类裂缝的Helmholtz方程的边界值问题.更多关于裂缝散射的问题大家可以参见文献[4-8].通常腔体的散射问题可用有界障碍物内的有界区域的Helmholtz方程来刻画, 腔体外有障碍物的正散射问题在文献[9]有详细的讨论，更多关于腔体的正反散射问题的研究可参见文献[10-14], 由于反散射问题的研究需要以正散射问题作为坚实的理论基础，本文将借助Kress的边界积分方程的方法，在恰当的Sobolev空间中考虑腔体外有裂缝的正散射问题，将问题(1)、(2)转化为一个边界积分系统，并证明边界积分算子Fredholm性和单射性，从而得到解的存在唯一性及连续依赖性结论.

H-1/2(∑).

(3)

并且u满足Sommerfeld衰减条件(2).

本文的主要结果是定理1和定理2.

定理1 问题(2)、(3)至多有一个解.

C(‖p‖H1/2(S1)+‖q‖H-1/2(S1)+‖f‖H1/2(Γ)).

(4)

2 定理1的证明

定理1的证明 事实上，如果h=p=q=f=0，我们若能证明u≡0，则结论成立.

(5)

3 定理2的证明

利用边界积分方程的方法来证明问题(2)、(3)解的存在性.由Green表示公式有：u(x)=

利用单双层位势穿过边界S1的跳跃关系(参见文献[16]的第三章)，在区域D1上，考虑当u从D1逼近边界S1时，有：

T1,S1S1u-,x∈S1,

(7)

在区域D上，考虑u从D逼近边界S1，有：

K2,S2S1u+),x∈S1,

(8)

T2,S2S1u+),x∈S1,

(9)

在区域D上，考虑u从D逼近边界S2，有：

K2,S2S2u+),x∈S2,

(10)

T2,S2S2u+),x∈S2,

(11)

在区域D2上，考虑当u从D2逼近边界S2时，有：

T1,S2S2u-,x∈S2,

(12)

其中：

现在再来建立边界积分系统.

在边界S1上定义：

[u]|Γ=(u+-u-)|Γ=c=0,

把c,d延拓到整个边界S2：

由(7)、(10)式以及S1上的边界条件，我们有：

(u+-u-)|S1=-(S1,S1S1+S2,S1S1)a+(K1,S1S1+

(13)

证明 参考文献[3]，利用Green表示公式即证.

定义r1=+S2,S1S1q-K2,S1S1p+p,(13)式即可写成：

(14)

由(7)、(9)式以及S1上的边界条件有：

(15)

(16)

由(9)、(11)式以及S2上的边界条件，有：

(17)

(18)

为了表述清楚，我们令：

由(14)、(16)、(18)式，有边界积分系统：

(19)

其他的算子在积分系统(19)有连续的积分核.故A从H连续映射到H*.

引理4 算子A:H|→H*是具有零指标的Fredholm算子，且具有平凡核.

证明 分为两步：第一步，证明算子A:H|→H*是具有零指标的Fredholm算子.第二步，证明KernA={0}.

第一步.参考文献[15],我们知道存在相应的紧算子：Li,S:H-1/2(S1)→H1/2(S1),Li,T:H1/2(S1)→H-1/2(S1),

J2,S:H-1/2(S2)→H1/2(S2),J2,T:H1/2(S2)→H-1/2(S2),

其中i=1,2，使得：

ψ∈H-1/2(S1),

(20)

ψ∈H1/2(S1),

(21)

ψ∈H-1/2(S2),

(22)

ψ∈H1/2(S2),

(23)

(24)

(25)

b)]=0.

(26)

(27)

构造位势：

(28)

(29)

位势v(x)和w(x)在D和D1满足不同的Helmholtz方程:

由单双层位势在S1的跳跃关系，有：

2v+(x)|S1=S1,S1S1a-K1,S1S1b-b,2w-(x)|S1=

(30)

(31)

由(30)式和方程组(27)的第一个式子可知：

(v+-w-)|S1=0.

(32)

由(31)式和方程组(27)的第二个式子可知：

(33)

定理2的证明 由引理4知：A的逆算子A-1:H*→H存在且有界，再由位势函数(6)式即可得证.

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[16] Colton D L, Kress R.Integral equation methods in scattering theory[M].New York: Springer-Verlag, 1983:1-271.

The Direct Scattering Problem for a Penetrable Cavity and a Crack

PengChaoquan，TaoTing，CaiMingjian

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, by using a time harmonic point source as the incident wave, we consider the scattering problem of a mixed scatterer composed of a penetrable cavity and an external impenetrable crack.The problem comes down to solving the Helmholtz equation with certain boundary conditions.By using the boundary integral equation method, based on the potential theory and Fredholm theorem, we prove that the scattering problem has a unique solution.

boundary integral equation method;Helmholtz equation;Fredholm theorem;cavity;crack

2016-07-30

彭超权(1979-)，男，副教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail：pcq1979@163.com

国家自然科学基金数学天元基金(11526196)

O175.25

A

1672-4321(2017)01-0123-05