利用函数解答实际问题要充分考虑自变量的实际意义——对一道教材例题解答的剖析

马世江

(甘肃省天祝县西大滩镇初级中学,甘肃 武威 733205)

利用函数解答实际问题要充分考虑自变量的实际意义
——对一道教材例题解答的剖析

马世江

(甘肃省天祝县西大滩镇初级中学,甘肃 武威 733205)

数学来源于生活，最终回归于生活，初中数学中利用二次函数的性质，解决实际问题的事例很普遍；利用二次函数求利润最大值时，我们必须得考虑自变量取值的实际意义.

教材例题；解答；质疑

一、问题来源

人教版义务教育教科书，九年级数学上册第二十二章《二次函数〈22.3实际问题与二次函数〉》，第50页探究2.

(一)教材展示的问题

某商品现在的售价为每件60元，每星期可出售300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

(二)教材展示的分析

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来看涨价的情况.

(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数式.涨价x元时，每星期少卖出10x件，实际卖出(300-10x)件，销售额为(60+x)(300-10x)元，买进商品需付40(300-10x)元.因此，所得利润y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),即y=-10x2+100x+6000,其中，0≤x≤30(注：教材通过对话框提出了问题——“怎样确定x的取值范围？”)

根据上面的函数，填空：当x=____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价____元时，利润最大，最大利润是____.

(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论自己得出答案.

由(1)的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大吗？

二、笔者质疑

(一)质疑之点

怎样确定x的取值范围？教材在问题(1)分析当中提供的答案合理吗？(笔者所加划线部分)，真是笔者质疑的问题.

(二)笔者分析

问题一:不调整原来价格能使利润最大吗？

不调整原来价格能使利润最大吗？这一种可能是有的，请看下例.

某商品现在的售价为每件65元，每星期可出售250件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，根据题意得y=(65+x-40)(250-10x),化简得，y=-10x2+6250.此时，当x=0时，y有最大值6250.即，该商品按原来售价出售时，利润最大为6250元.(6250元也真是按65元销售的利润.)

看来调整价格的过程中，有时保持原价(涨价为0元)时利润是最大的.

问题二：教材问题中，涨价能达到30元吗？

根据题意可知，价格未调整时的利润为(60-40)×300=6000元.该题目探究的是如何定价才能使利润最大？问题可理解为两层意思：在价格调整过程中原售价获得的利润是否为最大利润？如果是，则该定价就是获得最大利润的定价；如果不是,又该如何定价？ 现在售价上涨时，根据市场调查发现销售量却在减少.设每件涨价x元，每星期少卖出10x件，实际卖出300-10x件.结合实际，我们知道只有销售量大于0，才能保证有获得利润的前提；即300-10x必须大于0，且满足300-10x>0中存在一个恰当的x，使y=-10x2+100x+6000有最大值.

本题目中，若300-10x等于0，即x=30时，销售量为0了，无利润可谈，更别谈追求最大利润了.在开始获利6000元的情况下，要想追求最大利润，因此在调整价格时，售价说什么也不能定为90元，即涨价不会达到30元，否则销售量为0了，涨价始终是低于30元的.

当x=5时，y=-10x2+100x+6000有最大值为6250.虽然x=5既满足取值范围x≤30，也满足取值范围x<30.但x≤30 与x<30是两个完全不同的取值范围，前者x有等于30的可能，而后者没有.

综合问题一、二，结合实际情况，笔者认为应将教材提供的x取值范围“0≤x≤30”改为“0≤x<30”.

[1]张劲松.义务教育教科书九年级上册数学[M].北京：人教版义务教育出版社，2014:50.

[责任编辑：李克柏]

2017-06-01

马世江(1982.10-)，男，甘肃省天祝县人，中学一级，本科，从事中小学数学教学。

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