初中应用题教学之探讨

林发辉

[摘 要] 一道应用题，首先要认真阅读，认真理解题意，将问题中的每一句话（主要是关系型陈述句）转译成文字型关系，再将文字型关系转译为文字型等式或不等式，最后将文字型等式或不等式转译为方程、函数、不等式等数学模型.

[关键词] 初中数学；应用题；教学；探讨

从教十余年，笔者深感应用题教学之难：教之重点，学之难点，考试之重要内容. 为了解决这个重要内容，初上讲坛时，笔者翻阅资料，向同仁们学习了画图分析法、列表分析法，但总觉得有些缺陷，因为这些方法只能解决一类问题或一些问题. 后来，笔者学习、探究、借鉴，形成了自己的教学模式. 现在，笔者总结出来，与方家讨论.

掌握必备的基础知识

如果厨房内没有各种食物原料，那么再高明的厨娘也做不出饭来，充其量只能烧水；反之，厨房内食物原料丰盛，那么再蹩脚的厨师也能把饭做出来，可能只是不可口而已. 各类基础的数学知识就是食物原料，掌握它们是解题的基础和依据.

解决应用题需要哪些必备的基础知识呢？数与式的化简和计算、方程的解法，一元一次不等式的解法，一次函数、反比例函数、二次函数的有关知识等. 下面重点说一些关系（包括相等关系和不等关系）.

1. 关系型基础知识

（1）总量=各个部分量之和.

（2）表示同一个量的两个不同的式子相等.

（3）甲比乙大丙：甲=乙+丙；甲比乙小丙：甲=乙-丙；甲是乙的k倍：甲=k乙.

（4）甲比乙多x% ： 甲=乙+x%乙=（1+x%）乙； 甲比乙少x%：甲=乙-x%乙=（1-x%）乙；甲是乙的x%：甲=x%乙.

（5）甲大于乙：甲>乙；甲小于乙：甲<乙；甲不大于乙：甲≤乙；甲不小于乙：甲≥乙.

2. 公式型基础知识

（2）行程问题中的公式：路程=速度×时间（S=vt）；平均速度=；顺风速度=静风速度+风速；逆风速度=静风速度-风速等.

（3）工程问题中的公式：工作量=工作效率×工作时间.

（4）经济问题中的公式：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间；利润=售价-进价；利润率=.

（5）浓度问题中的公式：溶液=溶质+溶剂；浓度=×100%.

3. 事实性基础知识

线段的和差倍分、各种图形的性质（如正方形的四条边相等，长方形的对边相等）、等式的有关性质（如对称性、传递性）、等量加（减）等量还得等量等.

问题的转译

一道应用题，首先要认真阅读，认真理解题意，将问题中的每一句话（主要是关系型陈述句）转译成文字型关系，再将文字型关系转译为文字型等式或不等式，最后将文字型等式或不等式转译为方程、函数、不等式等数学模型. 笔者将这个过程叫问题的转译.

因此，问题的转译包括如下程序：将问题中的每一句话（主要是关系型陈述句）转译成文字型关系，再将文字型关系转译为文字型等式或不等式，最后将文字型等式或不等式转译为方程、函数、不等式等数学模型.

1. 将问题中的每一句话（主要是关系型陈述句）转译成文字型关系，再将文字型关系转译为文字型等式或不等式

研究表明，成功的问题解决者比不成功者更清楚如何理解应用题中的句子，尤其是如何理解包含两个变量之间关系的陈述句. 不成功的问题解决者缺乏问题转译的技能.

那么，如何转译呢？

笔者以为，应该认真阅读题目，认真考虑每一个数据所表示的量的意义以及它们之间的关系，进而参照已经掌握的必备基础知识，选择适用于本题的关系式. 当确定了适用于本题的关系式后，再对照、模仿、考虑哪一个量相当于甲，哪一个量相当于乙……从而得出文字等式或不等式. 為了更好地说明笔者的思想，以下通过几个例子补充说明转译的方法.

例1 为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动. 某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%，25%，这两种型号的冰箱共售出1228台.

（1）在启动活动后的第一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？

（2）若Ⅰ型冰箱的价格是2298元/台，Ⅱ型冰箱的价格是1999元/台，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留两个有效数字）？

分析 第一句话是本题的背景. 由“某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台”得到“Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台”，即启动活动前一个月，Ⅰ型冰箱+Ⅱ型冰箱=960①. 由“启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%，25%”得到“Ⅰ型冰箱的销量比启动活动前一个月增长30%，Ⅱ型冰箱的销量比启动活动前一个月增长25%”，即启动活动后的第一个月，Ⅰ型冰箱的销量=（1+30%）×启动活动前一个月Ⅰ型冰箱的销量②；启动活动后第一个月Ⅱ型冰箱的销量=（1+25%）×启动活动前一个月Ⅱ型冰箱的销量③. 由“启动活动后的第一个月，两种型号的冰箱共售出1228台”得“启动活动后的第一个月，Ⅰ型冰箱的销量+Ⅱ型冰箱的销量=1228” ④. 由“政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴”得“政府每台冰箱的补贴=13%×每台冰箱的价格”⑤.

例2 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台. 三种家电的进价和售价如下表所示：

（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？

（2）国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴. 在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？

分析 由“某家电商场计划用32400元购进‘家电下乡指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台”得到“电视机、冰箱、洗衣机共15台”，即电视机的数量+冰箱的数量+洗衣机的数量=15①；“不超出现有资金”，即购电视机的费用+购冰箱的费用+购洗衣机的费用≤32400②. 由“购进电视机的数量和冰箱的数量相同”得“电视机的数量=冰箱的数量” ③；由“洗衣机数量不大于电视机数量的一半”得“洗衣机数量≤×电视机数量” ④；由“商场售价的13%领取补贴”得“补贴=13%×商场售价”④.

许多学生在解决应用题时，或者缺乏必要的阅读理解能力（语言性知识），或者不肯认真、仔细、耐心地分析，或者没有熟练掌握上述必备的基础知识，因此出现转译障碍，从而影响问题的解决. 长此以往，学生便会产生对应用题的畏难情绪. 调查研究发现，很多学生觉得应用题很难，很大的原因就是基于此.

为了克服这种障碍，教师至少应该培养学生做好三件事情：第一，培养学生的阅读习惯；第二，让学生熟练掌握必备的基础知识，对各种关系烂熟于心；第三，培养学生耐心分析问题的能力. 教师可以先分析几道题作为示范，然后学生尝试分析. 长此以往，学生便会自己分析问题. “磨刀不误砍柴工”，教师和学生千万不要觉得分析会浪费时间和精力.

2. 将文字型等式或不等式转译为方程、函数、不等式等数学模型

在这个转译过程中，首先需要确定未知数（变量），然后将文字等式（或不等式）转译成方程、函数、不等式.

（1）未知数的确定

未知数主要有两种设法：直接设元、间接设元. 所谓直接设元，就是问什么量设什么量；所谓间接设元，就是问这个量，设与之关联的另一个量. 无论哪种设法，都应该根据相等关系进行. 选择哪种设法，一般无定法，原则上哪一种设法利于解题（所谓利于解题指设未知数后，其余的量可以由它直接或简单变形得到），就选择哪种设法.

比如例1中就应该间接设元. 设在启动活动前的一个月，销售给农户Ⅰ型冰箱x台，则销售给农户的Ⅱ型冰箱有（960-x）台（由①得），启动活动后的第一个月Ⅰ型冰箱的销量为（1+30%）x台（由②得）， Ⅱ型冰箱的销量为（1+25%）·（960-x）台（由③得）. 若直接设启动活动后第一个月Ⅰ型冰箱的销量，则其余的量用它表示起来就复杂了，且方程也很复杂，不利于求解. 例2直接设元即可. 设购买电视机x台，则购买冰箱x台（由③得），购买洗衣机（15-2x）台（由①得）.

（2）方程、函数、不等式的确定

相等关系在设未知数时已经用掉一些，剩下的关系用于列方程（组）、不等式（组）、函数. 只需要把文字等式左右两边分别转译成相应的代数式即可.

如例1的第（1）问可以通过方程（1+30%）x+（1+25%）（960-x）=1228（由④得）解决；第（2）问可以通过算式13%×2298×（1+30%）x +13%×1999×（1+25%）·（960-x）解决. 例2的第（1）问可以通过不等式组 ，2000x+2400x+1600（15-2x）≤32400解决；第（2）问可以通过函数y（财政补贴）=13%×2100x+13%×2500x+13%×1700（15-2x）解決.

方案的执行

当方程、不等式、函数解析式得到以后，利用它们求解是比较容易的. 当求出未知数后，需要检验解的合理性，同时写出答案. 最后，笔者再通过一例说明笔者的应用题教学思路.

例3 某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品. 小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元.

（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元；

（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80个，总金额不超过320元，请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案.

分析1 （1）由“买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元”得“20本甲种笔记本的钱+10本乙种笔记本的钱=110元”；由“买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元”得“30本甲种笔记本的钱=20本乙种笔记本的钱-10”.

解答 （1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意可得20x+10y=110，

所以甲种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是5元.

分析2 （2）由“本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个”得“甲种笔记本的数量=2×乙种笔记本的数量-10”；由“购进两种笔记本的总数量不少于80本”得“甲种笔记本的数量+乙种笔记本的数量≥80”；由“总金额不超过320元”得“买甲种笔记本的钱+买乙种笔记本的钱≤320”.

总之，笔者在应用题教学时，以基础知识和基本关系为依据，以练习和训练为桥梁，通过分析、设元、建模、解模、检验、答案等步骤，将应用题这一重点和难点化解于无形.