基于学生经验促进自主建构和自觉生成

徐晓蓉+施俊进

[摘 要] 数学教学中，在学生已有的知识经验和教材原有知识结构的基础上，应尽力让学生充分经历实践、体验、内化、表达的过程. 在这样的过程中，师生互动，生生互动，深度交流，引导学生自主建构，自我完善“用方程表示实际问题中的数量关系”的方法和能力，甚至直达数学本质的自觉生成，从而优化学生的思维品质.

[关键词] 生生互动；自主建构；自我完善；自觉生成；思维品质

《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. 2016年10月14日，在首届全国基础教育国家级成果一等奖《初中数学“自学·议论·引导”教学法》研修与推广中心成立暨第一期推广活动中，笔者聆听了施俊进老师执教的“从算式到方程（一）”（人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册）一课. 施老师在认真分析了学生已有的知识经验和教材原有知识结构的基础上，以发展的观点，以学定教，引导学生直达数学本质的自主建构、自我完善、自觉生成，力图体现“自学·议论·引导”教学法的基本理念和价值追求. 现将教学设计、课堂生成，以及反思启示整理成文，与各位同行交流.

教学过程简录

（一）通过引例研究，初步认识从算式到方程是数学的进步

1. 引例研究

引例 快、慢两车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是70 km/h，慢车的行驶速度是60 km/h，快车比慢车早1 h到B地. A，B两地间的路程是多少？

（1）引导学生认真读题，分析题意，说出问题中已知什么，求什么，它们之间有怎样的关系.

（2）引导学生列出算式进行求解.

（3）引导学生用方程来求解.

师：还有什么方法可用于求解？

（部分）生：用方程.

師：什么叫方程？

生1：含有未知数的等式叫方程.

师：方程含有未知数，那么本题怎么设未知数？方程还是一个等式，等式表示一个相等的关系，那么本题中的相等关系是什么？

生2：我设慢车走完全程所花的时间为x小时，则快车走完全程所花的时间为（x-1）小时. 相等关系是“慢车走的路程=快车走的路程”，由此得到方程60x=70（x-1）.

师：如果求得x的值，问题能得以解决了吗？

生（齐）：不能，还要进一步求A，B两地之间的路程.

师：还有什么方法？

生3：我设A，B两地之间的路程为x km，由相等关系“慢车走完全程所花的时间-快车走完全程所花的时间=1”，

师：刚才我们用两种方法列出了方程，那么用方程表示实际问题中的数量关系的一般步骤（或方法）是什么？列方程的关键是什么？

生4：列方程的步骤是设未知数、找相等关系、列方程. 最关键的是找相等关系.

师：根据问题中的数量关系，我们分别列出算式和方程来求解，请大家比较一下，算式和方程各有什么特点？

生5：方程是一个等式，等号两边分别是一个整式，而算式是一个整式.

生6：列算式时只能用已知数，是逆向思考；而列方程时是顺着思考，既含有已知数，又含有未知数. 我觉得列方程比较简便，也容易想到.

师：思路清晰，表达清楚！大家既能从思维上比较它们的不同点，还能从形式上比较它们的不同点. 列方程和列算式都是依据问题中的数量关系，算式表示用算术方法进行计算的程序（或者是运算顺序），它只含有已知数；而方程中既含有已知数，又含有未知数，打破了列算式时只能用已知数的限制，这为我们解决许多问题带来了方便. 一般来说，列方程比列算式有更多的优越性. 通过以后的学习，我们将会逐步认识到方程是刻画现实世界的一种有效数学模型，从算式到方程是数学的进步，这就是我们今天要研究的课题——从算式到方程.

点评 引导学生分别用算式、方程表示问题中的数量关系并作比较，突出了方程的根本特征，使学生认识到从算式到方程使我们有了更加有力、更加方便的数学工具，进而认识到从算术方法到代数方法是一个进步，从而调动了学生学习“用方程表示问题中的数量关系”的积极性.

2. “方程”史话

中国人对方程的研究有着悠久的历史. 两千年前，《九章算术》中有专门研究“方程”的一章，记载了用一组方程解决实际问题的方法. 这不但是我国古代数学的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产. 法国数学家笛卡尔最早用x，y，z等字母表示未知数，方程才逐渐演变成现在的表达形式.

点评 了解方程的发展文化，能直接感受到中华民族的文化成就，产生民族自豪感，更重要的是，激发了学生学习方程、学好方程的情感.

（二）通过例题研究，初步掌握用方程表示实际问题中的数量关系的方法

例1 根据下列问题，设未知数并列出方程.

（1）一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h？

方式：学生代表读题，同时学生审题、思考，并说出问题中的“已知”“求”“相等关系”分别是什么，接着独立思考设未知数列方程，然后展示交流. 最后，教师投影解题过程.

（2）某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

师：请大家自己读题、审题，思考并说出问题中的“已知”“求”和“相等关系”分别是什么.

生1：已知女生占全体学生人数的百分比，女生比男生多的人数；求学校总人数；相等关系是“女生人数-男生人数=80”.

师：还有什么要补充的吗？

生2：相等关系还有“女生人数=学校总人数×52%”.

师：下面请同学们先独立设未知数、列方程，然后小组交流（交流的内容为你是怎么思考的？还有什么方法），比一比哪个小组思路最清晰、方法最多.

（独立思考2分钟、小组交流3分钟）

生3：我们小组有三种方法，分别为设这个学校的学生共有x人，则女生有52%x人，男生有（1-52%）x人，根据相等关系“女生人数比男生人数多80人”得52%x-（1-52%）x=80或（1-52%）x+80=52%x；第三种方法是设男生有x人，但方程还没列好.

师：设这个学校的学生共有x人，列出的方程怎么会有两个？

生4：一样的.

师：两个方程形式不同，但是依据的相等关系一样，它们之间可以相互转化. 若设男生有x人，则根据哪个相等关系可列出怎样的方程？

生5：如果设男生有x人，那么女生有（x+80）人，根据相等关系“女生人数=学校总人数×52%”得x+80=52%（x+x+80）.

师：还有不同的方法或思路吗？

生6：我也设这个学校的学生共有x人，根据“男生人数=男生人数”来列方程. （众生笑）

生6：因为这个学校的学生共有x人，由“女生人数=学校总人数×52%”可以知道女生有52%x和男生人数=学校总人数×48%，那么男生人数有48%x人，又根据相等关系“女生人数比男生人数多80人”知道男生人数为（52%x-80）. 这样，48%x和（52%x-80）都表示男生人数，从而可得方程48%x=52%x-80.

师：非常好！生6同时根据两个相等关系，分别用不同的式子表示相同的量，即男生的人数，从而列出方程，为我们列方程提供了一个新的思路.

在这个问题的解决中，我们可以发现：如果求什么设什么，那是直接设元，可以直接求出问题的结果；但是间接设元则不能直接求出问题的结果，需要进一步计算.

（3）甲种铅筆每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？

方式：师生共同分析，学生形成两种思路.

思路一：设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了（20-x）支，根据相等关系“甲种铅笔用的钱数+乙种铅笔用的钱数=9”可列出方程0.3x+0.6（20-x）=9.

思路二：设甲种铅笔用的钱数为x元，则乙种铅笔用的钱数为（9-x）元，根据相等关系“甲种铅笔的支数+乙种铅笔的支数=20”

追问：问题（2）和问题（3）都有两个相等关系，应如何处理？

教师强调：当问题中出现两个相等关系时，可以用其中一个相等关系表示两个未知数，再根据另外一个相等关系列方程；列方程的关键是找相等关系.

点评 设置这样三个由浅入深的例题，让学生自主找相等关系、设未知数、列方程，这样符合学生的认知规律，分散了列方程这一教学难点，化整为零地培养学生的建模能力. 同时为学生自主建构一元一次方程及其相关概念作准备. 整个过程中，交替灵活地使用“个人学习、小组学习、全班学习”三结合的形式，让学生充分经历实践（思维或操作）、体验（发现、归纳、论证、概括）、内化（掌握了什么？为什么？）、表达（说出来，用起来）的过程. 在这个过程中，师生互动，生生互动，深度交流，达到知识、技能、方法、经验、能力、情感、态度以及价值观的自主建构、自觉生成. 注重了学生读题审题能力及分析问题、解决问题能力的培养；鼓励学生用不同方法体验解决问题策略的多样性，优化了学生的发散性思维品质. 引导学生自觉地先找相等关系，再列方程，让学生明确找相等关系是列方程的关键，渗透数学建模思想，让学生从现实表述到符号表述的情境中深刻理解方程的意义，培养学生的创造性和发散性思维.

（三）在列方程的基础上，自主建立一元一次方程及其相关概念

师：观察以上列出的方程，它们有什么共同的特征？

生1：只含有一个未知数；未知数的次数都是1.

生2：等号两边都是整式.

师：我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数，因此我们把同时具备以上三个特征的方程叫做一元一次方程. 你能用自己的语言说说什么叫一元一次方程吗？

生3：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.

生6：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

师：求出方程的解的过程叫解方程. 一般地，要检验某个值是不是方程的解，怎么办？

生7：用这个值代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等. 如果相等，那么这个值是方程的解；如果不相等，那么这个值不是方程的解.

师：那么如何把方程 有根有据地化为x=420的形式呢？这是我们下一节课要研究的内容——方程的解法.

点评 通过具体问题，引导学生自主建构相关概念，是学生原有基础上的自然提高，符合学生从特殊到一般、具体到抽象的认识过程；同时有利于归纳、概括能力的提高.

（四）师生共同总结

引导学生围绕以下问题进行思考、交流：

（1）怎么认识“从算式到方程”是数学的进步？

（2）如何用方程表示实际问题中的数量关系？

（3）通过今天的学习，你觉得最大的收获是什么？还有什么疑问或想法？

师：用方程表示实际问题中的数量关系，为我们解决问题提供了更多的方法和途径；从算式到方程使我们有了更有力、更加方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步，如果学会了正确地解方程，那么解决问题的能力就更强了.

点评 “问题化”引领学生自主总结，有利于发挥学生的主体作用，有利于学生归纳、整理和表达能力的提高，有利于增强学生自主反思学习过程的意识和能力. 通过学生的自主反思，使得学生自主建构自己的经验世界和认知结构，自觉地达到知识、方法、技能、情感、态度和价值观的生成.

（五）课后作业

必做题：书P83～84的5～9；选做题：书P84的10、11.

附板书设计： 如图1.

点评 根据学生已有“列算式和方程”解决实际问题的经验构建本课的知识框图，有利于整体把握有关知识和方法，有利于能力的提高和素质的发展. 同时，以知识结构框图的形式展现给学生，新颖、系统、醒目，且突出了知识的生成过程和包含关系，学生看了一目了然，便于整体理解和记忆.

反思和启示

1. 鼓励解法多样化，强化“数学建模思想”

学生在小学阶段已学习了用简易方程解决实际问题，学生已经对方程有了初步的认识，积累了一些用方程表示简单情境中的数量关系的经验（但根据相等关系列方程的意识不够强烈）. 即学生在学习之前，习惯于算术方法解决实际问题以及模糊的方程意识. 为强化“数学建模思想”，在教学过程中，对每个实际问题，都提出相同的问题：“本题的相等关系是什么或它们之间有什么关系？”看似“牵着学生走”，实质是突出教学重点、分散教学难点. “用方程表示实际问题中的数量关系，体会建立数学模型思想”，对后继内容的学习具有重要的基础作用. 为强化“先找问题中的相等关系，再设未知数，利用相等关系列出方程”的意识和能力，应鼓励学生用不同的方法解决各个问题. 在这样的过程中，通过对话、追问、启发、思辨等，能自主思考、表达、操作、发现并修正自身的不足乃至错误. 民主、开放的课堂氛围让学生身心愉悦，能带给学生深入细致的思考、无拘无束的交流，使得人人都能积极参与、积极思考. 学生自主探究多种方法后的展示、交流、评价、互纠，教师综合评价，不仅能让学生积累相互协作、相互启发、用方程表示数量关系的方法和经验，还能提高其数学表达和分享交流的能力，这无疑有利于学生思维品质的提升.

2. 基于经验，自主构建、自觉生成

所谓“生成”，是指学生知识、能力的自主生长，逐渐生成（即“产生、生长、成型”等意思；绝不止于教师预设之外、出乎意料的课堂学习情态）. 生成的过程，是智慧，是一段独特的学习经历，是学生“生产知识”（郭思乐语）的一种形态. 教学中，从学生已有经验出发展开学习，方程模型的建立及相关方法、概念的得出都是在教师的引导下，自主构建、自我完善、自觉生成. 通过“算式和方程各有什么特点”，帮助所有学生自主生成“一般地，列方程比列算式更方便，从算式到方程是数学的进步”. 通过“如何用方程表示实际问题中的数量关系”“观察列出的方程，它们有什么共同的特征”“问题中含有两个相等关系，如何来处理”等，引领学生自主建构、自觉生成认知结构和经验世界. 尤其在例题教学中，通过先独立、再交流的方式，引导学生自主建构“用方程表示问题中数量关系”的经验，使得学生获得自觉利用方程模型解决问题（模型思想）的意识和能力，从而使学生的逻辑思维从经验型逐步走向理论型. 通过不断追问“你还有其他方法或思路嗎”，引导学生自觉地探究不同的设元方法，拓展了例题的教学功能，让学生通过做一题，学会如何处理含有“两个相等关系”的一类实际问题.

3. 关注教学的“后半段”，主动建构

心理学家波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的认识. 有效引导学生进行自我反思，有利于学生学习力的自主提升. 为此，“后半段”的教学应该是“生长”在学生“最近发展区”上进行的，使得学生在教师的有效引导下不断地在“原有认知基础上主动建构”，不断完善知识结构体系，提升思维品质，发展学习力. 本课中，教师就任何一个相对独立的教学阶段，通过“问题”引领，有效引导学生进行自我反思，尽力发挥“后半段”教学的有效性. 通过“算式和方程各有什么特点”，引导所有学生感知“一般地，列方程比列算式更方便”. 通过问题（含课堂总结等），引领学生自主建构、自觉生成认知结构和经验世界，反思、巩固知识与技能，体会数学思想与方法，形成基本的活动经验；通过“自评、互评”，引导学生积极参与，增进师生、生生之间的多向交流，取长补短，有利于激励学生不断认识掌握，完善学习；同时又关注了个体差异，真正保护不同层次学生学习数学的信心，使得不同的学生都可以在数学学习上获得不同程度的成功感.