导数在不等式中的应用

邹同俭　冯军年

利用导数解决不等式问题，实质上就是利用不等式与函数之间的紧密联系，将不等式的部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数，再运用导数知识来研究所构造的函数的单调性、极值和最值等，从而使问题得到解决. 其中，审题至关重要，构造出适当的函数是解题的关键，合理转化找到等价命题是基本要求.

巧用导数解不等式

例1 解关于[x]的不等式：ln[1x-1]>1-[1x-1].

分析 这是一个超越不等式，直接解不等式难度很大. 如果适当变形，构造函数[f（t）=lnt-1+t]，利用导数研究其单调性，进而转化为常规不等式，思路简洁，效果显著.

解 设[t=1x-1]，考查函数[f（t）=lnt-1+t（t>0）]，

则[f（t）=1t]+1.

对任意[t>0]，恒有[f（t）>0]，所以[f（t）]单调递增.

又[f（1）=0]，所以[f（t）>f（1）].

所以[t>1]， 即[1x-1]>1，即[2-xx-1]>0.

解得，[1

所以不等式的解集为（1，2）.

点评 对于超越不等式或直接解不等式很麻烦的，可以尝试构造函数，通过导数研究其单调性，再利用单调性的定义把它转化为常规不等式或比较简单的不等式，从而起到四两拨千斤的作用.

巧用导数的几何意义证明不等式

例2 函数[f（x）=13x3-x2+x+m]的定义域为（0，1），[x1，x2∈（0，1）]，[x1≠x2]，求证：[f（x1）-f（x2）

分析 将结论变形成[f（x1）-f（x2）x1-x2]<1，立马就会联想到直线的斜率，进而联想到导数的几何意义.

证明 因为[f（x1）-f（x2）

于是只需证明[f（x1）-f（x2）x1-x2]<1成立即可.

而[f（x1）-f（x2）x1-x2]表示的是曲线上任意两个点的斜率，即要证明函数[f（x）]图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1，也就是证明任意一点的切线的斜率的绝对值小于1.

由导数的几何意义可知，[f（x）]就是函数[f（x）]在定义域上任意一点的切线的斜率.

所以只需证明[f（x）=x2-x+1<1]即可.

由二次函數性质可知，[0

所以[f（x1）-f（x2）x1-x2]<1成立，

即[f（x1）-f（x2）

点评 审题时对命题中的部分角色进行再整理分析是必要的，等价变形后可以激发我们对知识的再联想，从而找到新的思路.

巧用函数的单调性证明不等式

例3 设函数[f（x）]是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为[f（x）]，且有[f（x）+xf（x）0]成立，求证：[x<-2016.]

分析 由[f（x）+xf（x）]及[（x+2014）f（x+2014）]可以联想到函数[g（x）=xf（x）]. 由[（x+2014）f（x+2014）+][2f（-2）>0]可得，[（x+2014）f（x+2014）>-2f（-2）]，即[g（x+2014）>g（-2）]，至此方向已经明确：根据[g（x）]的单调性即可证明.

证明 构造函数[g（x）=xf（x）]，则[g′（x）=f（x）+xf（x）].

因为[f（x）+xf（x）

所以[g（x）=xf（x）]在（-∞，0）上单调递减.

由[（x+2014）f（x+2014）+2f（-2）>0]成立可得，

[（x+2014）f（x+2014）>-2f（-2）]成立，

即[g（x+2014）>g（-2）]成立.

所以[x+2014<-2]，即[x<-2016]. 得证.

点评 运用函数的单调性证明不等式简单快捷，其一般步骤是：（1）构造函数（对不等式两边的代数式作差或作商）；（2）对函数求导，研究函数的单调性；（3）根据单调性的定义完成证明.

巧用函数的极值或最值证明不等式

例4 证明：当[x>0]时，[sinx

分析 作差、移项构造函数[f（x）=sinx-ex]，再通过导数研究函数的单调性，最后利用函数的有界性解题.

证明 令[f（x）=sinx-ex]，且[f（0）=-1]，

则[f（x）=cosx-ex].

由于当[x∈]（0，+∞）时，[cosx≤1]，[ex>1]，

从而[f（x）=cosx-ex<0].

则[f（x）=sinx-ex]在（0，+∞）上单调递减.

又[f（0）=-1]，

所以[f（x）=sinx-ex<0]在（0，+∞）上恒成立，从而[sinx

点评 运用函数的极值或最值证明不等式的一般步骤是：（1）构造函数（对不等式两边的代数式作差或作商）；（2）对函数求导，研究函数的单调性；（3）求函数在所求区间上的极值、最值或临界值，然后将它与需要证明的条件作比较，从而实现证明.

巧用导数解决不等式中的参数问题

例5 已知函数[f（x）=ln（1+x）+ax]在定义域上是单调递增的，求实数[a]的取值范围.

分析 函数[f（x）=ln（1+x）+ax]在定义域上是单调递增的，等价于函数[f（x）≥0]在定义域上恒成立，于是分离参数[a]，得到[a≥-1x+1]恒成立，只需求出[-1x+1]的最大值即可.

解 由题意得，函数定义域为（-1，+∞）.

因为函数[f（x）=ln（1+x）+ax]在定义域上是单调递增的，

所以[f（x）=1x+1+a≥0]在（-1，+∞）上恒成立，即[a≥-1x+1]对任意[x>-1]恒成立.

因为[-1x+1]<0，所以[a≥0].

所以实数[a]的取值范围是[0，+∞）.

点评 不等式恒成立问题，一般都涉及求参数的范围，有些变量分离后往往可以转化成[m>f（x）]或[m[f（x）]max]或[m<[f（x）]min]. 从而只需求出函数[f（x）]的最大值或最小值即可.

巧用导数定义证明不等式

例6 设函数[f（x）=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx]，且[f（x）≤sinx]，证明：[a1+2a2+…+nan≤1].

分析 因为[f（0）=a1+2a2+…+nan]，所以只需证明[f（0）]≤1即可，又[f（x）≤sinx]，运用导数定义及[limx→0sinxx]=1，正好可以完成证明.

证明 由[f（x）=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx]得，

[f（x）=a1cosx+2a2cos2x+…+nancosnx].

则[f（0）=0]，[f（0）=a1+2a2+…+nan].

由导数定义得，

[f（0）=limx→0f（x）-f（0）x-0]=[limx→0f（x）x]

=[limx→0f（x）x]≤[limx→0sinxx]=1.

所以[a1+2a2+…+nan≤1].

点评 此例非常经典，审题时要善于发现[f（0）= a1+][2a2+…+nan]， 巧妙地利用导数的定义实现转化，突破了难点.